数值计算方法习题答案第二版绪论

1、（p11 页）4试证：对任给初值Xk+ -（XXL）, k数值分析X0,求开方值 ja（a 0）的牛顿迭代公式= 0,1,2,恒成立下列关系式：（1）XkH4 -=舟区-需）2, k =0,1,2,.Xk 苗k =1,2,证明:（1）X”7aXk+旦21人丿石 _ 兀227aXk+a （Xk - 苗）取初值Xo A 0，显然有兀A 0，对任意k 0 ,2 Xk + a2 I Xk 丿_ 12JXT-芈十扁4IJXk 丿6证明:若Xk有n位有效数字，则 1x78Xk丄吨2 2天25- Xk +必有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解法根据本章中所给出的定理：兰1X101.2（Xk

2、-V8）2Xk（设X的近似数X*可表示为X* = 0耳&2.a 10m，如果X具有I位有效数字，则其相X*-X*X对误差限为丄咒10，），其中a1为X*中第一个非零数）2a1则Xi =2.7，有两位有效数字，相对误差限为e -XiXi兰加O025X2 =2.71，有两位有效数字，相对误差限为eX21X2 X10=0.025 2x2X3 =2.718，有两位有效数字，其相对误差限为:X3 -eX3 丄咒10山=0.00025 2咒2第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于 Xr = 2.7，X! -e 0.0183/.其相对误差限为口 J0183 7006782.7Xi同理对于X2 =2.7

3、1，有X20.0083 上 0.0030632.71对于X3 =2.718，有X3 -e|0.0003X37000122.718备注：（1）两种方法均可得出相对误差限， 但第一种是对于所有具有 n位有效数字的近似数 都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大， 但计算略简单些；而第二种方法给出较好的 误差限估计，但计算稍复杂。（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五 入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11.解：22一止 3.1428577255 上 3.1415929113227丄勺0，具有3位有效数字22551131 6一兀-x10 -,具有7

4、位有效数字29.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。令Xi ,X2 , X3所对应的真实值分别为Xi , X2 , X3，则1 X1-X*1 W1 X 10=2s in - =-X 10，221 x1 / 11X1 1 _2X 10/2.72 0.00184*1 X2 -X21 W1 x10L =1 x10“22*1 X2 -X21 /1X2 l -X 10/2.71828 0.000001841 X3-X31 丄“。1亠1咒10鼻221 X3-x31 / 11X3 l -X 10/0.0718 k 时，f (n)(x)=(xk (n)=0;当 n=k 时，f (n)

5、(x)=(xk (k)=k!；/0,当nAk时gj.xN 1,当 n 时13.解：由题意知，给定插值点为X0=O.32, y0 =0.314567; X1 =0.34, y1 =0.333487; X2=0.36, y2 =0.352274由线性插值公式知线性插值函数为Rw 憑 y0+庶”=需 g4567+ 0333487当 x=0.3367 时,sin 0.3367 R (0.3367)0.0519036+0.2784616 0.330365其截断误差为I R1(x) I I(X -Xo)(x-X1)I,其中 M2= max I f2(x) I2Xo童弐2丁 f(x) = sin(x)，二

6、f (x)=- sin(x)M2= I sin 0.34 I 0.3334871于是 I R1 (0.3367) Iw X 0.333487 X 0.0167 X 0.0033 0.92 X 15 2若用二次插值，则得P2(x)= (x-X1)(x-X2)y0 +(X Xo)(XX2) y 1 + )y2(Xo X1)(Xo X2)(X1 Xo)(X1 X2)(X2 Xo)(X2 X1)sin O.3367 -P2(0.3367)0.330374其截断误差为M36其中 M 3 = max IXo空空2I R2(x) |wI（X-XO）（X-X1）（X-X2）If 7x) I = max I cosx I =cosO.32 O.95OXo童童21于是 I R2(O.3367) |w 丄 x| O.95O X O.O167 x O.OO33 X O.O233 I =汀2+款仆小3)(5)(7)(9)2 2V2222 )101 1 (2 2=+X I + 120 2 V35+-+-U 1.6289687 9丿精确解为：1.60943817解：首先将区间0，1变换为-1，1，令x=t +1，则t壬1,1】2 2兀=I ydx =01 + x241 11+ -t +-12三点高斯公式为:+ 8 f(0)+5 f/ J 1V5丿99点5丿1 5 f