山东实验中学2013届高三12月份第三次诊断性检测(数学理)

1、山东省实验中学2010 级第三次诊断性测试数学试题（理科） （ 2012.12）注意事项： 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题），共两卷。其中第卷为第1 页至第 2 页，共 60 分；第卷为第3 页至第 6 页，共 90 分；两卷合计150 分。考试时间为120 分钟。本科考试不允许使用计算器。第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1、设 M1,2， N a2 ，则是的（）“a1” “ NM ”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2、下列函数中，在其定义域

2、内，既是奇函数又是减函数的是（）A.f ( x)1B.f ( x)xC.f ( x)2 x2xD.f ( x)tan xx3. 若 tan(4)3，则 cot等于（）11A.2B.C.D.-2224. 函数 f ( x)(x1) ln x 的零点有（）A.0个B.1个C.2个D.3个5. 已知两条直线 yax2 和 3x(a2) y10 互相平行，则 a 等于（）A.1或 -3B.-1或 3C.1或 3D.-1或 36. 设命题p：曲线yex1eyexqa, b在点（；命题:是任意实数， ）处的切线方程是：若 ab ，则11，则（）a 1b 1A.“ p 或 q ”为真B.“ p 且 q ”为

3、真C.p 假 q 真D.p ， q 均为假命题7. 已知函数f ( x)1x2sin x ，则 f (x) 的大致图象是（）28. 在等差数列 an 中， a12013S12S102，则 S2013 的值等于，其前 n 项和为 Sn ，若1012（）A.-2012B.-2013C.2012D.20139. 已知 P（ x,y) 是直线 kxy4 0( k0) 上一动点， PA，PB是圆 C： x2y 22 y0 的两条切线， A、B 是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则 k 的值为（）A.3B.21C.22D.2210. 已知等差数列an的公差 d 不为 0，等比数列bn 的公比 q 是

4、小于 1 的正有理数。 若 a1 d ，b1d2, 且a 2a 2a2q 的值可以是（）123是正整数，则b1b2b3A.1B.-1C.1D.-1772211. 已知二次函数f (x)ax2bxc 的导数 f ( x), f (0)0 ，且 f ( x) 的值域为 0,) ，则f (1)的最小值为（）f (0)A.3B.5C.2D.32212. 已知椭圆 x2y21(ab0)的左、右焦点分别为（,0),( ,0)，若椭圆上存在点 PcF2ca 2b2F1使ac，则该椭圆的离心率的取值范围为（）sin PF1F2sin PF2 F1A. （ 0， 21） B.（2 ，1）C.（ 0，2 ）D.（

5、 21 ， 1）22第卷（非选择题 90分）题号二171819202122总分分数二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分。13.若焦点在 x 轴上的椭圆 x2y21的离心率为1 ，则 m =.2m214.若直线 y2a 与函数 y | a x1| （ a0且 a1) 的图像有两个公共点，则a 的取值范围是 .15. 若 不 等 式 组x2x 20,的 解 集 中 所 含 整 数 解 只 有 -2 ， 求 k 的 取 值 范2x2(52k) x 5k0围.x016. 当实数 x, y 满足约束条件yx（ a 为常数）时 zx 3y 有最大值为12，则实2x2 ya 0数 a

6、的值为.三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。得分评卷人17. （本小题满分 12 分）记 f ( x)ax2bxc ，若不等式 f (x)0 的解集为（ 1， 3），试解关于 t 的不等式f (| t |8)f (2 t 2 ) .得分评卷人18. （本小题满分 12 分）在 ABC 内， a, b, c 分别为角 A，B，C 所对的边，a,b,c 成等差数列，且 a=2c。（1）求 cos A 的值；（）若315S ABC，求 b 的值。4得分评卷人cos2 x a .19. （本小题满分 12 分）设函数f ( x)3 sin x cos x（

7、）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（）当 x 6, 时，函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为3 ，求 f ( x) 的解析式；32（）将满足（）的函数f ( x) 的图像向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2112倍，再向下平移，得到函数 g( x) ，求 g(x) 图像与 x 轴的正半轴、直线 x所围成图形的22面积。得分评卷人20. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 单 调 递 增 的 等 比 数 列 an 满 足 ：a2 a3a428 ，且 a3 2 是 a2 , a4 的等差中项。（）求数列 a 的通项公式；n（）若 bn an log 1 an , Snb

8、1b2bn ，求 Sn n 2n 150 成立的正整数 n 的最小值。2得分评卷人21. （本小题满分12 分）已知长方形 ABCD， AB 2 2， BC=1。以 AB 的中点 O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.（）求以 A、 B 为焦点，且过C、 D 两点的椭圆的标准方程；（）过点 P（ 0， 2）的直线 l 交（）中椭圆于M，N 两点，是否存在直线l ，使得弦 MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。22. （ 本 小 题 满 分14 分 ） 已 知 函 数f ( x) 的 导 数得分评卷人f ( x) 3x23ax, f ( 0)b, a,

9、b 为实数， 1 a 2 .（）若 f (x) 在区间 -1 ， 1上的最小值、最大值分别为-2 、 1，求 a、 b的值；（）在（）的条件下，求经过点且与曲线f ( x)相切的直线l的方程；P（2,1）（）设函数 F ( x) f (x) 6x1 e2 x ，试判断函数F ( x) 的极值点个数。实验中学三诊数学（理）参考答案及评分标准2012.2一、选择题题号12答案AC3456789101112DBAABBDCCD二、填空题： 13.32；14. 0 a13,2）； 16.-12； 15.2三、解答题（本大题共6 小题，共74 分）17. 由题意知 f (x)a( xx )( x2)a(

10、 x1)( x3).1且 a0 故二次函数在区间2,) 上是增函数 . 4 分又因为 8| t |8,2t 22 ，6 分故由二次函数的单调性知不等式f(| t |8)f (2t 2 )等价于8| t |2t 2 即 | t |2| t |60 10 分故 |t |3即不等的解为：3 t 3 . 12 分18. 解：（）因为 a,b,c成等差数列，所以a+c=2b， 2 分又 a2c，可得 b3 c ， 4 分2b2c2a 29c2c24c21所以 cosA46 分2bc3，224c2（）由（） cos A1 , A( 0,) ，所以 sin A15， 8 分44因为 S ABC3 15 ,

11、S ABC1 bc sin A ，42所以 S ABC1 bc sin A13 c 215315 ，10 分22244得 c24,即 c2, b 3 .12分19. 解（） f (x)3 sin 2x1cos2xasin( 2x) a1 ，（ 2分）2262 T.由2k2x32k，得kxx2k .22636故函数 f (x) 的单调递减区间是 k , 2k( kZ) .（ 6 分）63（2） Q6x3,2x5 .1sin(2x)1 .66626当 x,时，原函数的最大值与最小值的和（1 a1(1136)a)，32222a 0,f (x)sin( 2x1（ 8 分）).62（3）由题意知 g(x

12、)sin x（ 10 分）2 sin xdxcosx |2=1（12 分）0020、解：（）设等比数列an的首项为 a1 ，公比为 q，依题意，有 （2 a32)a2a4 ，代入 aa3a28,得 a8,a2a4202 分243a1q a1q320q 2或 q14 分aa q28解之得a123a1321又 an单调递增，q2,a2,a2n6 分1n（） bn2nlog 1 2nn2n ，7 分2sn1 2 2 223 23n 2n2sn1 222 23 3 24(n 1) 2nn2n 1 - 得 sn222232nn 2n12(12n )n 2n 12n 1n 2n 121012分snn 2n

13、 150 ，2n1250,2n152又当 n4 2n1253252，11 分时，当 n5 时， 2n 1266452 . 故使 snn 2n150 ，成立的正整数 n 的最小值为 5. 12分21. 解：（）由题意可得点A， B， C 的坐标分别为 (2，0)，( 2，0)，(2，1）.设椭圆的标准方程是x2y21(ab 0).a2b2则 2a AC BC( 2 ( 2 ) 2(1 0)2( 22 )2(1 0)24 2 2, a 22 分b2a2c2422 .椭圆的标准方程是x2y2 4 分41.2（）由题意直线的斜率存在，可设直线l 的方程为 y kx 2(k0) . 5 分设 M， N

14、两点的坐标分别为 (x1, y1 ), (x2 , y2 ) .联立方程：ykx2x22 y24消去y整理得，(122)x28kx40k有 x1x28k2 , x1 x24 7 分12k12k2若以 MN为直径的圆恰好过原点，则OMON ，所以 x1 x2 y1y20 ， 8 分所以， x x2(kx2)(kx22)0 ，11即 1k2 )x1 x22k(x1x2)40（所以， 4(1 k2 )16k24012k212k 2即 84k 20 ， 9 分12k 2得 k22, k2. 10 分所以直线 l的方程为 y2 x2 ，或 y2 x 2 . 11 分所在存在过 P（0， 2）的直线 l

15、： y2 x2 使得以弦 MN为直径的圆恰好过原点。12 分22. 解：（）由已知得，f ( x)x3 3 ax 2b ，1 分2由 f (x)0, 得 x10, x2a .Q x 1,1,1a2 ，当 x1,0) 时， f (x) 0, f ( x) 递增；当 x(0,1 时， f (x)0 ， f (x) 递减 .f (x) 在区间 -1 ， 1上的最大值为f (0)b,b 1. 3 分又f (1)13123a, f ( 1)1313,f(1)f(1).a2a2a22由题意得 f (1)2 ，即3a2 ，得 a441 为所求。 5 分2,故 a, b33（）解：由（1）得 f ( x)x3

16、2x21, f (x)3x24 x，点 P（2， 1）在曲线 f (x) 上。（1）当切点为P（ 2， 1）时，切线l 的斜率 kf ( x) x 24 ，l的方程为 y14( x2),即4xy70. 6 分（2）当 切 点 P不 是 切 点 时 ， 设 切 点 为 Q( x0 , y0 )( x02), 切 线 l的 余 率kf ( x) x x3x024x0 ，0l 的方程为 yy0(3x24x )( xx ) 。又点 P（ 2，1）在 l 上， 1y(3x24x0)(2 x) ，0000001( x32x21)(3x 24x0)( 2 x),x2(2x)(3x24x0)( 2x) ，00000000x23x24x ,即2x0(x02)0,x00 .切线 l 的方程为 y1.000故所求切线 l的方程为 4xy70 或 y 1. 8分（）解： F ( x)(3x23ax6x 1)e2 x3x23(a2) x1e2 x .F (x) 6x 3(a 2) e2 x2 3x 23( a 2) x 1 e2x . 6