基本不等式专题完整非常全面

1、基本不等式专题 完整版（非常全面）作者:日期:#基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若 a,b R，则 a2b22ab二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式 21、设a,b均为正数，证明不等式：.ab -1 1222、基本不等式一般形式（均值不等式）(2)右 a, b R，则 ab7若 a,b R ,则 a b 2 . ab3、基本不等式的两个重要变形(1)若 a,bR*，则ab22、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：(2)若 a, b R ,则 ab2 2 2a b c ab bc ca总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植

2、时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(1)若 x 0，则 x 2（当且仅当x1时取“=”)x1(2)若 x 0,则 X -2（当且仅当x1时取“=”)X(3)若 ab 0,则-2（当且仅当ab时取“=”)b a22(4)若 a, b R，则 ab（旦b)2 ab2 2(5)若 a, b R，贝U1ab ab2 .2Ja b112 22 2 2 13、已知a b c 1，求证：a b c34、已知 a,b,c R(1 a )(1 b)(1 c) 8abca b特别说明：以上不等式中，当且仅当a b时取“=”6

3、、柯西不等式(1) 若 a, b,c, d R，则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)25、已知 a,b,c R且a b c 1，求证：(2) 若 a1, a2, a3, bi, b2, b3 R，则有：22 2 2 2 22(a1 a2a3 )(柑b? b3 ) (aQ a?b2 asbs)(3) 设a1,a2, ,an与db, ,b是两组实数，则有/2222222佝 a2a. )(d b2bn ) (a a2b2an bn)6、（ 2013年新课 标H卷数学（理）选修4 5 :不等式选 讲设a,b,c均为正数,且a b c 1,证明：1、求下列函数的值域(1)y 3x2 -2(2)

4、题型二：利用不等式求函数值域yx(4 x)(i) ab bc ca3；（2 , 2 2a b c , n)1.b c a7、（ 2013年江苏卷（数学） 选修4 5 :不等式选讲已知 a b 0,求证：2a3 b3 2ab2 a2b1(3) y x - (x 0)x题型三：利用不等式求最值1、已知变式1：变式2:x 2，求函数y 2x已知x 2，求函数已知x 2，求函数(4) y x 1 (x 0)x2x2x）（凑项）4的最小值;2x 4的最小值;2x 44 的最大值;2x 4练习：1、已知x5，求函数y 4x 2 的最小值;44x 52、若0 x 2，求y x(63x)的最大值;2、已知x5

5、，求函数y 4x 2- 的最大值;44x 5变式：若0 x 4，求y x(8 2x)的最大值;题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当LI，一I时，求y x(82x)的最大值;3、求函数y 、2x 15 2x(x -)的最大值;2 2(提示：平方，利用基本不等式)变式1:当二时，求y4x(8 2x)的最大值;变式：求函数yx 11)的最大值;43变式2：设0 x -，求函数y 4x(32x)的最大值。题型五：巧用“屮”的代换求最值问题1 11、已知a,b 0,a 2b 1，求t 11的最小值;a b法一：变式1：已知a,b 0,a 2b 2，求t 11的最小值;a b变式2：已知x, y

6、0,2 8x y1，求xy的最小值；变式3：已知x, y0，且119，求x y的最小值。xy19变式4：已知x, y 0，且_ 一 4，求x y的最小值;x y（1 ）若 x, y 0 且 2x y4予111，求一一xy的最小值；（2）若 a,b,x, y R 且？ x卫1,求x yy的最小值；变式6：已知正项等比数列 an满足：a7a6 2a5，若存在两项am，an，使得aman4d，求丄m4的最小值；n6变式5：题型六：分离换元法求最值（了解）题型七：基本不等式的综合应用171、求函数yx2 7x 10“(x1）的值域;ab1、已知log 2 a log 2 b 1，求39的最小值变式：求

7、函数yx28(xx 11）的值域;2、（ 2009天津）已知a, b 0，求1 1 2, ab的最小值;a b2、求函数y黑的最大值；（提示：换元法）变式1： （2010四川）如果a b 0，求关于a,b的表达2 1 1式a 的最小值;ab a(a b):-x 1变式：求函数y 4n的最大值;变式2： （2012湖北武汉诊断）已知，当 a 0, a 1时， 函数y loga（x 1） 1的图像恒过定点 A，若点A在直 线mx y n 0上，求4m 2n的最小值；3、已知 x, y 0 , x2y 2xy 8，求x 2y最小值;4、（ 2013年山东（理）设正实数x, y, z满足 x2 3xy

8、 4y2 z 0 ,则当里取得最大值z2 1 2时，的最大值为（）x y zA. 0 B. 1C. - D 34（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）变式1:已知a,b 0，满足ab a b 3，求ab范围;变式2: （2010山东）求xy最大值；（提示:已知x, y通分或三角换元）2变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0,求y的 xz最小值；变式3: （ 2011浙江）求xy最大值；已知 x, y 0 , x2 y2 xy 1 ,题型八：利用基本不等式求参数范围1 a1、（ 2012沈阳检测）已知x,# 0,且（x y）（）9x y恒成立，求正实数 a的最小值；题型九：利

9、用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式a b（a,b,c,d R,当且仅当 一；即ad be时等号成立）c d若 a, b,c,d R，则（a2 b2）（c2 d2） （ac bd）22、二维形式的柯西不等式的变式（1）Ja2 b2 Jc2 d2|ac bd（a,b,c,d R,当且仅当a b ;即ad be时等号成立）c d屮 b2 -Jc2疋岡 |bd|11 n2、已知x y z 0且恒成立,x y y z x z如果n N ，求n的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）（a,b,c,d R,当且仅当a b ;即ad be时等号成立）c d（a b）（c d） G ac bd）2（a

10、,b, c, d 0,当且仅当-;即ad bc时等号成立）c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式（当且仅当0,或存在实数k,使a k时,等号成立）4、三维柯西不等式若 an ,a2, a3,b1,b2,b3 R，则有:14变式：已知a,b 0满则142，若a b c恒成立,a b求c的取值范围；/ 2 2(a1a2adM2b22 b32)(晌a?b2a3b3)2(ai,biR ,当且仅当a1b1a2a3时等号成立）b2b35、一般n维柯西不等式设a1 ,a2, ,an与d,b2, ,bn是两组实数，则有an2)(b12 b22bn2)(晌 a2b.a b )2nn /（aR,当且仅当亡養an

11、时等号成立）bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y, z R，若 x2 y2 z24，则 x 2y 2z 的4、（ 2013 年湖南卷（理）已知 a, b, c , a 2b 3c 6,则a2 4b2 9c2的最小值是（Ans:12）最小值为时,(x, y,z)析：（x2y2z)2 (x2 y2 z2)12 (2)2 224936x 2y2z最小值为6此时xyz6 212212(2)2223244x,yz 33，32、设 x, y, zR,2xy 2z 6，求 x22 2y z的最小值m ,并求此时x,y,z之值。424Ans : m 4; (x, y, z)(3, 3, 3)5、（ 2013年湖北卷（理）设x,y,z R ,且满足：x2 y2 z21, x 2y 3z .14,求 x y z