概率统计第8章参数估计

1、第八章 参数估计 8.1点估计 2021-4-241概率统计第8章参数估计 估计量估计量 n定义定义8.1 设总体设总体X的分布函数为的分布函数为),( xF 从总体从总体X中抽取样本中抽取样本 n XXX,., 21 其观测其观测 值为值为 n xxx,., 21 构造某个统计量构造某个统计量 ),.,( 21n XXX 用它的观测值用它的观测值 ),.,( 21n xxx 来估计未知参数来估计未知参数 ，则，则 称称 ),.,( 21n xxx 为为 的估计值的估计值 ),.,( 21n XXX 为为 的估计量。的估计量。 2021-4-24 2 概率统计第8章参数估计 8.1.1 矩估计

2、法矩估计法 设总体设总体X有分布函数有分布函数),( xF，其中，其中 为一维未知参数，若为一维未知参数，若 )(XE 存在，则存在，则 )(XEm 一般是一般是 的函数，即的函数，即 )( mm由此反解出由此反解出)(mg 再由样本均值再由样本均值 X 代替代替m，就得到，就得到 的一个估计量的一个估计量 )( Xg )X(EmX,mA P k P k 注注： 2021-4-24 3 概率统计第8章参数估计 例例8.1 设总体设总体X的密度为的密度为 0, 0 0, ),( 2 2 x xe x xf x 未知，求未知，求 的矩估计量。 的矩估计量。 解解：（：（1）先求总体期望。）先求总体

3、期望。 0 2 x 2 0 2 x 0 dxe 2 1 x 2 dxe x x dx), x( f x)X(Em 22 2021-4-24 4 概率统计第8章参数估计 例例8.1 2 2 2 2 222 )X(D)X(E,), 0(NX 时时当当 果：果：注意：这里用到一个结注意：这里用到一个结 2 2 x 0 2 2 x 22 dxe 2 1 x2 dxe 2 1 x)X(E 2 2 2 2 而而 2021-4-24 5 概率统计第8章参数估计 例例8.1 反解反解 得到得到 2 m 2 用用 X 替换替换m，得，得 的矩估计量的矩估计量 2 2 X . 4 . 5 , 1 . 4 , 2

4、. 6 , 5 . 7 , 4 . 4 , 1 . 2 , 3 . 5 , 2 . 4 , 5 . 3)2( 的的矩矩估估计计值值一一组组样样本本观观测测值值，求求 作作为为若若 34.1474. 4 14. 3 2 x 2 ,74. 4x 9 1 x 2 2 9 1i i 解解： 2021-4-24 6 概率统计第8章参数估计 多个未知参数时的矩估计多个未知参数时的矩估计 一般地设总体一般地设总体X有分布函数有分布函数),( xF，若，若 ),.,( 21k 为为 维未知参数，且维未知参数，且 k X的直到的直到k 阶原点矩存在，则有阶原点矩存在，则有 ),.,()( ),.,()( ),.

5、,()( 1 12 2 2 111 nk k k n n mXEm mXEm mXEm 2021-4-24 7 概率统计第8章参数估计 多个未知参数时的矩估计多个未知参数时的矩估计 反解出反解出 kk mmm,.,., 2121 为为 的函数的函数 再用再用r阶样本原点矩阶样本原点矩 n i r ir X n A 1 1 替代替代 r m 则得到矩估计量则得到矩估计量 ).,( ).,( ).,( 21 2122 2111 kkk k k AAAg AAAg AAAg 2021-4-24 8 概率统计第8章参数估计 例例8.2 设总体设总体X服从任何分布，且服从任何分布，且X的期望与方差均的期

6、望与方差均 存在，记存在，记)(),( 2 XDXE 未知，求未知，求 2 , 的矩估计量。的矩估计量。 解：因为有两个参数，故将总体前二阶矩表解：因为有两个参数，故将总体前二阶矩表 为参数的函数，即为参数的函数，即 222 2 1 )( )( XEm XEm 2021-4-24 9 概率统计第8章参数估计 例例8.2 2 12 2 1 mm m 反解得反解得 再用再用2阶样本原点矩替代对应的总体矩得阶样本原点矩替代对应的总体矩得 2 2 2 2 BXA X 2021-4-24 10 概率统计第8章参数估计 .),(g :, ,)(g 的的矩矩估估计计量量为为量量为为 的的矩矩估估计计容容易易

7、证证明明也也是是一一个个未未知知参参数数 则则的的连连续续函函数数为为未未知知参参数数若若 参数函数的矩估计参数函数的矩估计 .X )2( ;p)1( .X, ,X,N),p,N(BX. 3 . 8 2 n 2 的的函函数数为为 的的矩矩估估计计量量并并将将其其表表示示求求总总体体方方差差 的的矩矩估估计计量量求求参参数数 为为样样本本 为为已已知知总总体体例例 2021-4-24 11 概率统计第8章参数估计 例例8.3 . )p,N(B 族分布族分布 服从自然指数分布服从自然指数分布解：二项分布解：二项分布 矩矩估估计计量量为为： 的的于于是是故故p, N m p,Np)X(Em N X

8、p N m mNpNp)p1(Np)X(D ,m)2( 2 22 2 即即的函数的函数表示为表示为要将总体方差要将总体方差 2021-4-24 12 概率统计第8章参数估计 例例8.3 . N X X)X(V 2 )m(V 2 2 的的矩矩估估计计量量为为：则则 . X,X,X, ),(UX. 4 . 8 21 n2121 21 的的矩矩估估计计量量，本本，求求 为为样样为为两两个个未未知知参参数数 其其中中服服从从均均匀匀分分布布总总体体例例 2021-4-24 13 概率统计第8章参数估计 例例8.4 12 )( )X(D , 2 )X(Em : 2 222 21 解解 2 12 121

9、32 m2 :故有故有 2 2 2 1 3m 3m :解得解得 2021-4-24 14 概率统计第8章参数估计 例例8.4 的矩估计量的矩估计量 得得及及的矩估计量的矩估计量及及代入代入 212 2 ,BXm 2 2 2 1 B3X ,B3X ., ,),2 .8 ( : 故故有有时时精精度度较较差差利利用用到到已已知知分分布布的的信信息息 但但它它未未充充分分使使用用起起来来简简单单可可以以看看出出 从从例例总总体体的的分分布布矩矩估估计计一一般般不不要要求求知知道道 矩矩估估计计的的特特点点和和缺缺陷陷 2021-4-24 15 概率统计第8章参数估计 ._ )0)(1,(U X,X,X

10、 n21 的的矩矩估估计计是是 上上的的一一个个样样本本，则则 是是来来自自均均匀匀分分布布总总体体设设 练习练习 2 1 X 2 12 X 2 12 )X(Em 1 故故矩矩估估计计量量为为： 令令： ，解解： 2021-4-24 16 概率统计第8章参数估计 8.1.2 极大似然法极大似然法 n设总体设总体X是离散型随机变量，分布律为是离散型随机变量，分布律为 ),()( xpxXP 则样本取某组观测值则样本取某组观测值 的概率为的概率为 )(),( ,., 1 2211 2211 Lxp xXPxXPxXP xXxXxXP n i i nn nn 称函数称函数)( L为似然函数。为似然函

11、数。 2021-4-24 17 概率统计第8章参数估计 极大似然估计引例极大似然估计引例 n设一袋中装有黑白、两种球。设设一袋中装有黑白、两种球。设 是从袋是从袋 中随机摸得一个白球的概率，现估计中随机摸得一个白球的概率，现估计p p 解：根据问题，我们令总体解：根据问题，我们令总体X为为 从袋中取得一黑球从袋中取得一黑球 从袋中取得一白球从袋中取得一白球 , 0 , 1 X 则则X服从服从0-1分布，其中分布，其中 pXPpXP 1)0(,)1( 2021-4-24 18 概率统计第8章参数估计 极大似然估计引例极大似然估计引例 为估计为估计p，我们有放回摸球，我们有放回摸球10次，其结果可

12、次，其结果可 用随机变量表示如下：用随机变量表示如下： 10,.,2 , 1 , 0 , 1 i i i X i 次次摸摸得得黑黑球球第第 次次摸摸得得白白球球第第 则则 X 1021 ,.,XXX 是来自总体是来自总体X的样本。若的样本。若 10次的结果为次的结果为 )0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1(),.,( 1021 xxx (数据数据,样本观测值样本观测值) 2021-4-24 19 概率统计第8章参数估计 极大似然估计引例极大似然估计引例 问问:10次摸球的所有可能的结果有多少个次摸球的所有可能的结果有多少个? )0 , 0 , 0 , 1

13、 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1(),.,( 1021 xxx )0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0(),.,( 1021 xxx )0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1(),.,( 1021 xxx )1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1(),.,( 1021 xxx 10 2 个个 注意到注意到:每一个结果都有自己发生的概率每一个结果都有自己发生的概率, 2021-4-24 20 概率统计第8章参数估计 极大似然估计的思想极大似然估计的思想 似然函数为似然函数

14、为 73 1021 )1( 001)( pp XPXPXPpL 极大似然估计的思想是：一随机试验有若干极大似然估计的思想是：一随机试验有若干 个可能的结果，如果在一次试验中某一结果出个可能的结果，如果在一次试验中某一结果出 现了，我们便认为这一结果是所有可能出现的现了，我们便认为这一结果是所有可能出现的 结果中，出现概率最大的一个。因此结果中，出现概率最大的一个。因此p应该应该 是使是使 )(pL 达到最大的估计。达到最大的估计。 3 . 00/)( pdppLd令令 2021-4-24 21 概率统计第8章参数估计 n设总体设总体X是连续型随机变量，密度函数为是连续型随机变量，密度函数为 总

15、体为连续型时的似然函数总体为连续型时的似然函数 ),( xf 若取得样本观测值若取得样本观测值 n xxx,., 21 则因为随机变量则因为随机变量 i X 落在点落在点 i x的邻域内的邻域内 的概率近似于的概率近似于 ii xxf ),(则似然函数则似然函数 可写为可写为 n i ii xxf 1 ),( 因为因为 i x 与与 无关，故只要使无关，故只要使 n i i xfL 1 ),()( 达到极大即可。达到极大即可。 2021-4-24 22 概率统计第8章参数估计 Maximum Likelihood Estimation 定义定义8.2 设总体设总体X仅含一个未知参数，并且仅含一

16、个未知参数，并且 总体的分布律或者密度函数已知，总体的分布律或者密度函数已知， n xxx,., 21 为一组样本观测值，若存在为一组样本观测值，若存在 的一个值的一个值 ),.,( 21 n xxx 使得使得 )(max) ( LL 则称则称 ),.,( 21n xxx 是是 的极大似然估计值，的极大似然估计值， 而统计量而统计量 ),.,( 21n XXX 称为称为 的极大似的极大似 然估计量。然估计量。 2021-4-24 23 概率统计第8章参数估计 极大释然估计求解极大释然估计求解 (1)写出似然函数；写出似然函数； (2)对似然函数求对数；对似然函数求对数； 1 ( )( , ).

17、 n i i Lf x 1 ( , ). n i i p x 或 (4)令导数为令导数为0；解方程；解方程 ln ( )0. d L d (5) 方程的解为未知参数的极大似然估计方程的解为未知参数的极大似然估计。 (3)对求对数后的似然函数求导；对求对数后的似然函数求导； 2021-4-24 24 概率统计第8章参数估计 例例8.5 设总体设总体X的密度为的密度为 0, 0 0, ),( 2 2 x xe x xf x 的极大似然估计。的极大似然估计。 解解：（：（1）写出似然函数）写出似然函数 求求 n i i n x n i i n i i xe e x xfL n i i x i 1 2

18、 11 1 2 2 1 2 ),()( 2021-4-24 25 概率统计第8章参数估计 例例8.5 (2)对似然函数取对数，对似然函数取对数， n i i n i i xxnL 1 1 2 ln 2 1 ln)(ln （3）写出对数似然方程）写出对数似然方程 0 2 1)(ln 1 2 2 n i i x n d Ld （4）求极大似然估计值，写出估计量）求极大似然估计值，写出估计量 n i i x n 1 2 2 1 n i i X n 1 2 2 1 而估计量为而估计量为 2021-4-24 26 概率统计第8章参数估计 ).(g ,)(g ,),(g 估估计计量量为为 的的极极大大似似

19、然然则则具具有有单单值值反反函函数数 且且的的极极大大似似然然估估计计量量是是若若设设 参数函数的极大释然估计参数函数的极大释然估计 例例8.68.6：设：设X X1 1， ， ， X Xn n为取自总体为取自总体B(N,p),B(N,p), 的样本，其中的样本，其中m m已知，已知，0p10p1未知，求未知，求p p的极的极 大似然估计及大似然估计及m=E(X)m=E(X)的极大释然估计的极大释然估计。 2021-4-24 27 概率统计第8章参数估计 例例8.6 )N, 1 , 0 x( ,)p1(pC)p,x(p :X: xNxx N 的的分分布布律律为为总总体体解解 n 1i x N

20、xnNx n 1i n 1i xNxx Ni i n 1i i n 1i i iii C)p1(p )p1(pC)p,x(p)p(L : 所所以以似似然然函函数数为为 2021-4-24 28 概率统计第8章参数估计 例例8.6 ),Cln( )p1ln()xnN(plnx)p(LnL n 1i x N n 1i i n 1i i i ,0 p1 xnN p x dp )p(Llnd : n 1i i n 1i i 令令 N x nN x p :p n 1i i 的的极极大大似似然然估估计计值值为为得得 2021-4-24 29 概率统计第8章参数估计 例例8.6 N X p: 极极大大释释然

21、然估估计计量量为为 Xmm , xpNm mNp)X(Em 的的极极大大释释然然估估计计量量为为 然然估估计计值值为为： 的的极极大大释释，故故又又因因 2021-4-24 30 概率统计第8章参数估计 自然指数族分布均值的自然指数族分布均值的MLE 定理定理8.1 若总体若总体X服从自然指数族分布，则均值服从自然指数族分布，则均值 参数参数 )(XEm 的极大似然估计量为样本均值，的极大似然估计量为样本均值， 即即 Xm 证：总体证：总体X的概率分布和密度函数为的概率分布和密度函数为 )x(he), x( f )(x :)m( m,x,x,x n21 ，故故得得释释然然函函数数函函数数 的的

22、是是注注意意取取样样本本观观测测值值 2021-4-24 31 概率统计第8章参数估计 定理定理8.1 n 1i i )m(nx)m( n 1i i )m(x)m( ),x(he )x(he)m(L n 1i i i n 1i i n 1i i )x(hln)m(nx)m()m(Lln 的对数释然方程的对数释然方程得到关于得到关于m 2021-4-24 32 概率统计第8章参数估计 定理定理8.1 , 0)m()m(nx)m( dm )m(L(lnd n 1i i , 0)m(nx)m( n 1i i 即即 :, 0 dm d )m( , 0)X(D)( d dm ,m)(, 9 . 5 故对

23、数释然方程简化为故对数释然方程简化为从而从而 有有由定理由定理 2021-4-24 33 概率统计第8章参数估计 定理定理8.1 xm:m ,0nmx n 1i i 的的极极大大释释然然估估计计值值为为从从而而 对自然指数分布族，均值参数对自然指数分布族，均值参数m的矩估计量的矩估计量 与极大似然估计量都是样本均值与极大似然估计量都是样本均值 X ，而总体，而总体 方差函数方差函数 )( 2 mV 有单值反函数时，方差有单值反函数时，方差 )(mV函数函数的极大似然估计量为的极大似然估计量为)(XV 2021-4-24 34 概率统计第8章参数估计 例例8.7 未知，未知，与与 22 ),(

24、NX 求求 及及 的最大似然估计量。的最大似然估计量。 2 n i i xfL 1 22 ),;(),( n i xi e 1 2 )( 2 2 2 1 n i i xn e 1 2 2 )( 2 1 2 2 )2( 解：解： 2021-4-24 35 概率统计第8章参数估计 n i i x nn L 1 2 2 2 2 )( 2 1 ln 2 )2ln( 2 ),(ln 对对 和和 求偏导数得似然方程组求偏导数得似然方程组 2 n i i x L 1 2 )( 1ln n i i x nL 1 2 2222 )( )(2 1 2 ln 0 0 例例8.7 （续）（续） 2021-4-24 3

25、6 概率统计第8章参数估计 n i i xx n x 1 22 )( 1 , n i i XX n X 1 22 )( 1 , 得得 及及 的最大似然估计量：的最大似然估计量： 2 得得 及及 的最大似然估计值：的最大似然估计值： 2 例例8.7 （续）（续） 2021-4-24 37 概率统计第8章参数估计 例例8.8 设总体设总体 0), 0( UX n xxx,., 21 为一组样本观测值，求为一组样本观测值，求 ， 的极大似然估计。的极大似然估计。 解：解：X的密度函数的密度函数 其它其它, 0 0 , 1 );( x xf 则似然函数则似然函数 i n n i i xxfL0 ,),

26、()( 1 2021-4-24 38 概率统计第8章参数估计 例例8.8 （续）（续） 由于似然方程由于似然方程 0 )( 1 n n d dL 无解无解 所以应考虑极大似然估计的定义，因为函数所以应考虑极大似然估计的定义，因为函数 ,)( n L 在在 时时为为, 0 的单调减函数的单调减函数 另一方面另一方面nixi,.,2 , 1,0 故有故有 ,max0 1 i ni x max 1 i ni x 因此因此 2021-4-24 39 概率统计第8章参数估计 练习练习 量量分分别别是是： 的的极极大大似似然然估估计计则则参参数数本本观观测测值值 的的样样为为来来自自总总体体设设 b, a

27、, )b, a(Ux,x,x n21 ._,_a b X,X,Xmax X,X,Xmin n21 n21 b a 答答： 2021-4-24 40 概率统计第8章参数估计 8.2 估计量的评选标准估计量的评选标准 定义定义8.3 若未知参数若未知参数的估计量的估计量 ) (E),( 21n XXX 有有 则称则称 是参数是参数 的无偏估计量。的无偏估计量。 对有偏估计量对有偏估计量 ，称，称 ) () (Eb 为为 的偏差，若样本容量的偏差，若样本容量 n时有时有 0) ( b 则称则称 为为 的渐近无偏估计。的渐近无偏估计。 2021-4-24 41 概率统计第8章参数估计 k n i k

28、ik mXE n AE 1 )( 1 )( 例例8.9 )(XE设总体设总体X服从任何分布，且服从任何分布，且 nk k XXXDmXE,.,)(,)( 1 2 是样本是样本 证明：样本均值证明：样本均值X样本样本k阶矩阶矩 k A 和样本方和样本方 差差 2 S 分别是分别是 2 , k m的无偏估计量。的无偏估计量。 证证：（：（1） n i i EX n XE 1 1 2021-4-24 42 概率统计第8章参数估计 2 1 22 1 )( 1 1 B n n XX nn n S n i i 2 1 2 1 2 2 1 )( 1 XnX n XX n B n i i n i i 例例8.

29、9 （2） 22 )( iii EXDXEX 而而 2 2 )(XEXDXE , 22 2 2 n 2021-4-24 43 概率统计第8章参数估计 例例8.9 （2） )()( 1 2 2 22 n nn n 2 1 n n 2 1 2 2 1 XnEEX n EB n i i 22 2 2 , 1 SEB n n ES 是无偏的。是无偏的。 2021-4-24 44 概率统计第8章参数估计 8.2.2 有效性标准有效性标准 定义定义8.4 设设 ),.,( 2122n XXX 都是都是 估计量，若估计量，若 ) () ( 21 DD 则称则称 21 比比 更有效。更有效。 ),.,( 21

30、11n XXX 的无偏的无偏 2021-4-24 45 概率统计第8章参数估计 例例8.10 证明：证明：是常数是常数 是样本，是样本，是未知参数是未知参数 服从任何分布服从任何分布设总体设总体 , ,X,X,X, )X(D),X(E,X n 21n21 2 . X, 1).1( n 1i ii n 1i i 的的线线性性无无偏偏估估计计估估计计，称称为为 的的无无偏偏是是则则若若 估估计计。是是方方差差最最小小的的线线性性无无偏偏 n 1i i X n 1 X).2( 2021-4-24 46 概率统计第8章参数估计 例例8.10（2） n 1i i n 1i i n 1i ii )X(E)

31、(E)1(:证证 n 1i n 1i 2 i 2 i 2 i n 1i ii )X(D)X(D)(D)2( n 1 , n )X(D n 1i 2 i 2 下下面面证证明明特特别别 2021-4-24 47 概率统计第8章参数估计 例例8.10（3） :0 ),1(F i n 1i i n 1i 2 i ，有，有并令其为并令其为 求导，求导，和和对对令令 取取到到这这时时解解得得： n 1i 2 ii n 1i i i , n 2 , n 1 01 n, 2 , 1i , 02 2021-4-24 48 概率统计第8章参数估计 例例8.10（4） n 1 极小值极小值 .X(D)(D: ）从而

32、从而 2021-4-24 49 概率统计第8章参数估计 8.2.3 一致性标准一致性标准 定义定义8.5 n 是是 的估计量，若的估计量，若 P n 则称则称 n 是是 的一致估计量（相合估计量）。的一致估计量（相合估计量）。 由独立同分布大数定律，可知当总体由独立同分布大数定律，可知当总体X有有 )( k XD 存在时，则样本存在时，则样本k阶原点矩阶原点矩 k kP k mXEA )( 2021-4-24 50 概率统计第8章参数估计 则则下下列列结结论论正正确确的的是是： 和和满满足足设设随随机机变变量量 , 0)Y(D ,)Y(EY n n nn lim 的有效估计量；的有效估计量；是

33、是 n Y)(A 有偏估计量；有偏估计量；是是 n Y)B( 一致估计量；一致估计量；是是 n Y)C( 矩矩估估计计量量。是是 n Y)D( 例子例子 2021-4-24 51 概率统计第8章参数估计 8.2.4 均方误差标准均方误差标准 定义定义8.6 对于总体对于总体X的未知参数的未知参数 , 是是 的估计量，称的估计量，称 2 ) () ( Em 为均方误差。若两个估计量为均方误差。若两个估计量 21 , 有有 ) () ( 21 MM 则称则称 1 在均方误差下比在均方误差下比 2 更有效。更有效。 2021-4-24 52 概率统计第8章参数估计 均方误差与偏差、方差的关系均方误差

34、与偏差、方差的关系 定理定理8.2 在定义在定义8.6下，有下，有 ) () () ( 2 bDM 2 ) () ( ED 证：证： 2 ) () ( EM 2 ) () ( EEE 将上述完全平方式展开，注意到交叉项为将上述完全平方式展开，注意到交叉项为0， 可验证。可验证。 2021-4-24 53 概率统计第8章参数估计 例例8.11 . BS7 . 89 . 8 ,),(NX 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 22 的均方误差的均方误差和和 然估计量，请比较然估计量，请比较的无偏估计量和极大释的无偏估计量和极大释 分别为分别为和和知知和例和例由例由例 是无知参数是无知参数和和

35、其中其中设总体设总体 所以所以解：因为解：因为,)S(E)(E 22 2 1 2021-4-24 54 概率统计第8章参数估计 例例8.11(2) )S(D)S(M)(M 22 2 1 4 . 7由由抽抽样样分分布布定定理理 )1n( S)1n( 2 2 2 )1n(2)S(D )1n( ) S)1n( (D: 2 4 2 2 2 于于是是 1n 2 )S(D)(M: 4 2 2 1 故故得得 2021-4-24 55 概率统计第8章参数估计 例例8.11(3) 2 2 2 2 2 n 1n )S n 1n (E)B(E)(E 又又因因为为 2 4 2 2 2 2 2 2 2 n )1n(2

36、)S(D n )1n( )S n 1n (D)B(D)(D 2021-4-24 56 概率统计第8章参数估计 例例8.11(4) 2 4 222 2 4 2 2 2 2 2 2 2 n )1n2( ) n 1n ( n )1n(2 )(b)(D)(M 故故： )(M)(M: n 1n2 1n 2 : 2 1 2 2 2 故有故有 由于由于 2021-4-24 57 概率统计第8章参数估计 8.3 区间估计区间估计 定义定义8.7 设总体设总体X的分布函数的分布函数),( xF，其中，其中 为未知参数，若为未知参数，若 ),.,( 2122n XXX ),.,( 2111n XXX 是两个统计量

37、，对是两个统计量，对 给定的概率给定的概率)10( ,1 有有 1) ( 21 P 则称随机区间则称随机区间 ) , ( 21 为参数为参数 的置信度为的置信度为 1的置信区间。的置信区间。 2021-4-24 58 概率统计第8章参数估计 区间估计的区间估计的5个步骤个步骤 ),.,( 21n XXX （1）取）取 的较优点估计量的较优点估计量 （2）由）由 出发，找一个样本函数出发，找一个样本函数 ), ( WW 其分布已知，且只含一个未知参数其分布已知，且只含一个未知参数 （3）查表求得）查表求得W的分位点，使得的分位点，使得 1)( 2 1 2 WWWP （4）反解（）反解（3）中的不

38、等式，即得）中的不等式，即得 1) ( 21 P （5）将样本值代入）将样本值代入 21 , ，得置信区间，得置信区间) , ( 21 2021-4-24 59 概率统计第8章参数估计 8.3.2 一个正态总体下参数的置信区间一个正态总体下参数的置信区间 的的区区间间估估计计 . 1 已已知知 2 )1( 未未知知 2 )2( 2021-4-24 60 概率统计第8章参数估计 ,)1( 2 已知已知 的区间估计的区间估计 我们知道我们知道 X 是是 的无偏估计，取样本函数的无偏估计，取样本函数 )1 , 0( / 0 N n X U 1 2 1 2 uUuP 查标准正态分布表查标准正态分布表,

39、得两个分位点得两个分位点,使使 仅仅 未知未知 可查表得到可查表得到 给定的置信度给定的置信度 2021-4-24 61 概率统计第8章参数估计 2 1 u 2 1 2 uu 标准正态分布密度函数曲线关于纵轴对称标准正态分布密度函数曲线关于纵轴对称 2021-4-24 62 概率统计第8章参数估计 1)( 0 2 1 0 2 1 n ux n uxP 1) / ( 2 1 02 1 u n x uP 即有即有 将括号中变换为与将括号中变换为与 有关的不等式有关的不等式 故故 的区间估计为的区间估计为 ),( 0 2 1 0 2 1 n ux n ux 2021-4-24 63 概率统计第8章参

40、数估计 例例8.12 从某厂生产的钢球中随机抽取从某厂生产的钢球中随机抽取7个个,测得它们的测得它们的 直径为直径为5.53,5.43,5.17,5.32,5.65,5.22,5.76 若钢球直径服从正态分布若钢球直径服从正态分布),16. 0 ,( 2 N 求平均求平均 直径直径 的置信度为的置信度为95%的置信区间的置信区间. 解解:(1)计算样本均值计算样本均值44. 5 x (2)置信度置信度975. 0 2 1 ,05. 0,95. 01 查标准正态分布表查标准正态分布表,得得96. 1 975. 0 2 1 uu (3)代入公式得置信区间代入公式得置信区间 7 16. 0 96.

41、1, 7 16. 0 96. 1xx 2021-4-24 64 概率统计第8章参数估计 例例8.12(2) )56. 5 ,32. 5( ).56. 5 ,32. 5( %95 的的置置信信区区间间为为 的的置置信信度度为为故故这这种种钢钢球球平平均均直直径径 2021-4-24 65 概率统计第8章参数估计 ,)2( 2 未未知知 的区间估计的区间估计 我们知道我们知道 X 是是 的无偏估计，取样本函数的无偏估计，取样本函数 )1( / nt nS X t 查查t分布表分布表,得两个分位点得两个分位点,使使 1)1n(tt)1n(t P 2 1 2 得得t的区间估计为的区间估计为 ) n s

42、 ) 1n(tx n s ) 1n(tx( 2 1 2 1 ， 2021-4-24 66 概率统计第8章参数估计 例例8.13 从某厂生产的钢球中随机抽取从某厂生产的钢球中随机抽取7个个,测得它们的测得它们的 直径为直径为5.53,5.43,5.17,5.32,5.65,5.22,5.76 若钢球直径服从正态分布若钢球直径服从正态分布 ),( 2 N 求平均求平均 直径直径 的置信度为的置信度为95%的置信区间的置信区间. 解解:(1)计算样本均值和样本方差计算样本均值和样本方差 22. 0,44. 5 sx (2)查自由度查自由度n-1的的t分布表分布表,得得45. 2)6( 975. 0

43、t (3)代入公式得置信区间代入公式得置信区间 7 22. 0 45. 2, 7 22. 0 45. 2xx 2021-4-24 67 概率统计第8章参数估计 例例8.13(2) )64. 5 ,24. 5( ）。）。，的置信区间为的置信区间为 的置信度为的置信度为径径此时，这种钢球平均直此时，这种钢球平均直 64. 524. 5(%95 2021-4-24 68 概率统计第8章参数估计 例例8.14(参数函数的置信区间参数函数的置信区间) .%95b)3( ;%95)2( );X(Eb)1( ).1 ,(NXlnY X00. 2 , 8 . 0 ,25. 1 , 5 . 0 的的置置信信区区

44、间间的的置置信信度度为为求求 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为求求 求求 值值，已已知知 的的样样本本观观测测是是来来自自总总体体设设 dye 2 1 e)e(E)X(Eb ,e,XlnY: 2 )y( yY Y 2 得得由由解解 2021-4-24 69 概率统计第8章参数估计 例例8.14(2) 2 1 2 )1(y 2 1 12)1(y( 2 1 edye 2 1 e dye 2 1 2 2 ,05. 0, 4n, 0y2lny, 8 . 0lny ,25. 1lny, 5 . 0lnyY)2( 43 21 ，得得 的的观观测测值值为为 2021-4-24 70 概率统计第8章参

45、数估计 例例8.14(3) ,98. 0 4 1 96. 10 n y ,98. 0 4 1 96. 10 n y ,96. 1: 0 2 1 0 2 1 975. 0 2 1 于于是是：查查表表得得 )98. 0 ,98. 0(%95 的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为即即 2021-4-24 71 概率统计第8章参数估计 例例8.14(4) ).39. 4 ,62. 0( )e ,e ()(g),(g()b,b( :%95b )(geb)3( 2 1 98. 0 2 1 98. 0 2 1 2 1 2 1 的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为 的的单单调调上上升升函函数数

46、，故故是是 2021-4-24 72 概率统计第8章参数估计 2 ,)3( 未未知知 的区间估计的区间估计 ) 1( ) 1( 2 2 2 2 n Sn 我们知道我们知道 2 S 是是 2 的无偏估计，取样本函数的无偏估计，取样本函数 1)1()1( 2 2 1 22 2 nnP 查卡方分布表的分位点，使得查卡方分布表的分位点，使得 注意，卡方分布密度函数不对称。需要得出两注意，卡方分布密度函数不对称。需要得出两 个分位点的值个分位点的值. 2021-4-24 73 概率统计第8章参数估计 )1( 2 2 1 n )1( 2 2 n 需查两个分位点需查两个分位点 2021-4-24 74 概率

47、统计第8章参数估计 将括号中变换为与将括号中变换为与 2 有关的不等式有关的不等式 故故 的区间估计为的区间估计为 1 )1( )1( )1( )1( 2 2 2 2 2 2 1 2 n Sn n Sn P 2 )1( )1( , )1( )1( 2 2 2 2 2 1 2 n Sn n Sn 2 ,)3( 未未知知 的区间估计的区间估计2021-4-24 75 概率统计第8章参数估计 ,)3(未未知知的区间估计的区间估计 )1n( S)1-n )1n( S)1-n 1 2 2 2 2 2 1 2 22 （ ， （ 的置信区间为：的置信区间为：的置信度为的置信度为此时此时 的单调递增函数，于是

48、的单调递增函数，于是是是由于由于 2021-4-24 76 概率统计第8章参数估计 例例8.15 从某厂生产的钢球中随机抽取从某厂生产的钢球中随机抽取7个个,测得它们的测得它们的 直径为直径为5.53,5.43,5.17,5.32,5.65,5.22,5.76 若钢球直径服从正态分布若钢球直径服从正态分布 ),( 2 N 求平均求平均 直径直径 2 的置信度为的置信度为95%的置信区间的置信区间. 解解:(1)计算样本方差计算样本方差 2 22. 0s , 4 .14)6()1n(24. 1 61-n,05. 0,7n 2 975. 0 2 2 -1 2 025. 0 2 2 ， ）（）（查查

49、表表： 2021-4-24 77 概率统计第8章参数估计 23. 0 24. 1 22. 06 )1n( s )1n( ,02. 0 4 .14 22. 06 )1n( s )1n( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ).23. 0 ,02. 0( %95 2 的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为于于是是 例例8.15(2) 2021-4-24 78 概率统计第8章参数估计 8.3.3 两个正态总体下参数的置信区间两个正态总体下参数的置信区间 都已知，总体均值差的区间估计都已知，总体均值差的区间估计 2 2 2 1 ,)1( )1 , 0( )()( 2 2 2 1 2 1 21 N nn YX U 可知可知 YX 是是 21 的无偏估计，取的无偏估计，取 查标准正态分布表，使得