第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

1、第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘 要：本文主要利用化为参数的定积分法，恪林公式，积分与路径无关的方法解答 第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解 答第二型曲面积分的题目关财：曲面积分；曲线积分1引W第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点学握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难. 本文通过针对近年来誇研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目 进行了认真分析，并结合具体实例以尺教材总结出其特点，得出具体的计算方法. 对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义.2第二型曲

2、线积分例1求/-b(x+y)dx+ex(cosy-ax)dy ,其中 a, b 为正的常数,L为从点A (2a, 0)沿曲线y= lax-x1到点o (), 0)的弧.方法一：利用格林公式法则由格林公式得:憎增网飞,y),Qg y)以及它们的一阶偏导数在解：添加从点o (0,()沿)=()到点A ( 2a,0)的有向直线段厶， / = | 乙(Q sin y-b(x + ydx + (ex cosy-axdy_(e，sin y -b(x + ydx + (ex cos y-axdy记为心人一厶，D上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.dxdy = jj ” - cos y - a -

3、(ex cos y - 方)dxdy Dox dy)=心=(b_a) d2其中d为厶U厶所围成的半圆域，直接计算厶，因为在厶时，y = o,所以心二() 因而：/2 = j(bxix = -2a2b ,从而( I = I- I2=a2 (b a) + 2a2b = + 2 (rb- a2 12 丿 2方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解(1) 若 (与路径无关的条件)，则 dy oxC； W+Qg I： PZM+J： Q(g)dy(2) x = 0(/),y = e(/)L严x+Qy = J*：P(0(/),卩(/)” (f)+Q(0(f)w(”)0 (/)G是起点 0是终点解：I

4、 = j (” siny-Z?(x + y)肚+(Q cosy-or)心= ex sin ydx + ex cos ydy - J/ (x + y )心 + cixdy对于/| ,积分与路径无关，所以Jex sin yclx + ex cos ydy = ex sin y鵲)=0对于人，取L的参数方程广心+处山二t从()到龙，得y = asntJ b(x+ y)dxaxdy= (-/bsin/ -/bsin/cos / -%sin t + cr cos2 t + ci cos/jt/Z,1 J 13=-2crh/r(r +7ta2 2对于空间第二曲线一般的解题过程为:,Pdx + Qdy +

5、Rdzdydz.dz.dxdxdyddddxdzpQR若L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续 Pdx + Qdy + Rdz = Jj*z若L非闭，其参数方程为J?P(W)，y(/)，z(f)M)+Q(W)，y(/)，z )r(/) + R(x(,(/),?(/)疋力其中： = y(r) a, 0分别为L的起点，终点参数值.z = zt)例2计算空间曲线积分1=扌(y-z)/： + (z-x)y + (x-y)z ,其中曲线L为圆柱面扌+员=/与平面丄+ f = 1的交线仗0,/70),从X轴正向看， a n曲线是逆时针方向.方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用0,2刃上三

6、角函数的正交性.解：令 x = u cost, y = a sin t ,则于是匸Jasin/-/2（l-cosf）（一asinf） + /z（l - cos/）-acos/dcos/ + （acos/ - asin/）sinfd/ = -2/ra（a + ）方法二：解：/=JJzdydzddxy-zdz,dxd勿-2J ,0,1=nQdxdyd冠一2” + 1 Ixdy = -2ra (h + a)=-2 JJ dydz + dzdx + dxdy z3第二型曲面积分例3计算曲面积分口（/+护球-沁心，其中工为錠转抛物面 EZ = |（X2 + b）介于平面2=（）及2=1之间的部分的下侧.

7、方法一：利用两类曲面积分的联系JJ Pdydz, + Qdzdx + Rdxdy = Jj(P cos a + Q cos p + R cos / )ds其中cos a, cos 0, cos厂是有向曲面工上点（x, y, z）处的法向量的方向余弦.解:n = x9y,-,n = cos a、cos 队 cos /%yz_y/l + x2 + y2 Jl + 十 + y2 Jl + x + )Fds=y=rr a-2 + z /c717777 片+宀 y厂 1 / f fff / 2_、_ - J1+F+ 皿心 d Ji+对 + 厂dxdyrdr = 8/r方法二：分面投影法如果工由z = z

8、(x,y)给出，则E%如果工由A = A-(,2)给岀，则 jj P(x,y,z)ydz = Jj*Px(y,z),X%如果工由y = y(z,x)给出，则 JJ Q(x,y.z,)dz.clx =ES等式右端的符号这样规定：如果积分曲面工 是由方程x = x(z,y)(y = y(x,z),z = z(x,y)所给出的曲面上(前，右)狈IJ,应取“ + ”，否则取“-”=川 / + J2z-y*dydz._ Jj*(F -雄_才)dydz方法三：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必 须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种 方式形式

9、上虽然简单但计算比较繁琐.事实上，如果工的方程z = z(x,y),(x,y)e2), (,是刀在my面上的投影区域)，函数PR在工上连续时，则单位法向量为Jz2 + z、2 +1 Jz,2 + z： +1 Jz： + Z： + 1由于扌殳影元素 dydz, = cos ads ,dz,dx = cos pds , dxdy = cos yds ,于是得到所以如 ” Z(X, y) -乙(X, y) + Q x, y. z (x,y) -Zy (x, y) + /?%, y, z (兀 y)dxdy= JJP(Zj + 0(Zj+R如y等式右端的符号这样确定：如果工是由方程所给出的曲面上侧，取

10、否则取“-” 当工可用显示方程y = (z,A)或x = x(y,z)表示时，只需注意到 此时工的法向量为-儿,1 -”-儿或1,-勺-亠,可得相应公式 上述方法将上 式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合一投影法.解：乙=；(十+)，2),工在xoy面上的投影区域：Dn.二(x,y)卜2+亡4,又工的下侧，Zx=X,故由上式可得:x2 + y2dxdy乂陋-zJxJy=-JJ 十+,2 )2+彳(一刃_(十r2 cos2 8 + Vdr = 82方法四：高斯公式曲 Pdyclz, + Qdz,dx + Rdxdy = JJJ ( #,譽,讐”解：曲面不是封闭曲面，不能直接利

11、用高斯公式，应补面为2的上侧，则用高斯公式 JJ (Z2 + xlydz. - zdxcly = JJJ Odv = 0比n所以JJ(Z2 + Xlydz -zdxdy = - (z2 + xlydz. - zdxdy又加+ xlydz, 一 zdxdy = 0-zdxdy- 2JJdxdy = -8;rX.入所以%+ xlydz - z.dxdy = 8/rz4小结从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且 吻合于通用教材教学中的难点重点，虽然誇试题目千变万化，但教材的内容相对 稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动过本 文的分析，希望对大家有一定的指导作用.(指导教师：吕国亮)参考文献1华东师大教学系.数学分析（下）M,第三版.高等教育出版社，2001, 224-231.2刘玉琏，傅沛仁等数学分析讲义（下）M,第四版.高等教育出版社，2003,375-388.3林源渠，方企勤.数学分析解题指南ML北京大学出版社，2001, 338-362.4陈文灯.数学复习指南M世界图书出版社，2000, 276-287.5田勇硕士研究生