材料力学 孙训方 习题答案

1、lldl =dx =12习题 2-2一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力 f=kx*2，试做木桩的后 力图。解：由题意可得：01fdx =f , 有 kl33=f , k =3 f / l3f ( x ) = n 103 fx2/ l3dx =f ( x / l )13习题 2-3 石砌桥墩的墩身高l =10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载f =1000kn，材料的密度r=2.35 kg / m3，试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为：n =-(f +g ) =-f -alrg2-3 图=-1000 -(3 2 +3.14 12) 10 2.35 9.8 =-3104

2、.942( kn )墩身底面积：a =(3 2 +3.14 12 ) =9.14( m 2)因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。s=n -3104.942 kn=a 9.14 m 2=-339.71kpa -0.34 mpa习题 2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。2-7 图解：取长度为 dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：d (dl) =fdx l f f l dx ，ea( x ) 0 ea( x) e 0 a( x )r -r x1 =r -r l2 1，r -r d -d d r = 2 1 x+r = 2 1 x + 1l 2l 2，a( x)

3、=pd -d d 2 1 x + 1 =pu 2l 2 2，d (d -d d d -d 2 1 x + 1 ) =du = 22l 2 2l1dxldx =( - )l 122l2l dx d -d dx = du ， = 2 1d -d a( x) pu2 2 12l du du = (- )p(d -d ) u 2 1 2因此，dl =0f f l dx 2fl l du=ea( x) e 0 a( x) pe ( d -d ) 0 u 21 2l=2fl 1 2 fl = pe( d 1 -d 2 ) u0 pe( d 1 -d 2 ) 1d -d2 12ldx + 12 0=p2 f

4、l e ( d -d )1 2 1 1 - d -d d d2 1 l + 1 1 2l 2 2=p2fl 2 2 - =e ( d -d ) d d1 2 2 1p4fled d1 2习题 2-10 受轴向拉力 f 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为 e ,n ，试求 c 与 d 两点间的距离改变量dcd。解：f / a nfe=-ne=-n=-e eaa =( a +d)2 -( a -d)2 =4ad 式中，故：e=-fn4eadda fn=e =-a 4ead，da =a-a =-fn4eda =a -fn4ed，145cd = ( 2 a) 2 +( 3 a) 2 =

5、a 3 4cd= ( 2 a ) 32+( 3 a )42=14512ad(cd ) =c d -cd =145 145 fn( a -a ) =- =-1.003 12 12 4edfn4ed受力图1习题 2-11 图示结构中， ab 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量e =210gpa，已知l =1m，a = a =100 mm 1 22，a =150 mm32，f =20 kn。试求 c点的水平位移和铅垂位移。2-11 图解：（1）求各杆的轴力以 ab 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为 ab 平衡，所以x =0，n cos 45 o =0 3，n =03变形协

6、调图由对称性可知，dch=0，n =n =0.5 f =0.5 20 =10( kn ) 1 2（2）求 c 点的水平位移与铅垂位移。a 点的铅垂位移：n l 10000 n 1000 mm dl = 1 =ea 210000 n / mm 2 100 mm 12=0.476 mmb 点的铅垂位移：dl =2n l 10000 n 1000 mm 2 =ea 210000 n / mm 2 100 mm 22=0.476 mm1、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3 杆的变形协（谐）调条件， 并且考虑到 ab 为刚性杆，可以得到c 点的水平位移：dch=dah=dbh=dl

7、tan 45 o =0.476( mm ) 1c 点的铅垂位移：dc=dl =0.476( mm ) 1 习题 2-12 图示实心圆杆 ab 和 ac 在 a 点以铰相连接，在 a 点作用有铅垂向下的力f =35kn。已知杆 ab 和 ac 的直径分别为d =12 mm1和d =15mm2，钢的弹性模量e =210gpa。试求 a 点在铅垂方向的位移。解：（1）求 ab、ac 杆的轴力以节点 a 为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：aax =0：nsin 30 o -n ac absin 45o=0nac= 2 nab(a)y =0 ： naccos 30o+nabcos 45o-

8、35 =03 nac+ 2 nab=70(b)(a) (b)联立解得：nab=n =18.117 kn ； n 1ac=n =25.621kn 2（2）由变形能原理求 a 点的铅垂方向的位移 1 n 2 l n 2 lfd = 1 1 + 2 22 2 ea 2ea1 21 n 2 l n 2 l d = ( 1 1 + 2 2f ea ea1 2)式中，l =1000 / sin 45 1o =1414( mm ) ； l =800 / sin 30 o2=1600( mm )a =0.25 3.14 12 12 =113mm 2 ； a =0.25 3.14 15 2 =177 mm 22

9、故：da=1 18117 2 1414 256212 1600 ( +35000 210000 113 210000 177) =1.366( mm)习题 2-13 图示 a 和 b 两点之间原有水平方向的一根直径d =1mm的钢丝，在钢丝的中点 c 加一 竖 向荷 载 f 。 已 知 钢丝 产生 的 线应变 为 e =210gpa，e=0.0035， 其 材 料的 弹 性模量钢丝的自重不计。试求：（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；（2）钢丝在 c 点下降的距离 （3）荷载 f 的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力d；s =ee=210000 0.003

10、5 =735( mpa )（2）求钢丝在 c 点下降的距离ddl =nl l 2000=s =735 =7( mm ) ea e 210000。其中，ac 和 bc 各3.5mm。1000cos a = =0.996512207 1003.51000a =arccos( ) =4.78673391003.5od =1000 tan 4.7867339 （3）求荷载 f 的值o=83.7( mm )以 c 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：y =0：2 n sin a -p =0p =2 n sin a =2sasina=2 735 0.25 3.14 12 sin 4.787 0 =96.2

11、39( n )习题 2-15水平刚性杆 ab 由三根 bc,bd 和 ed 支撑，如图，在杆的a 端承受铅垂荷载 f=20kn,三根钢杆的横截面积分别为 a1=12 平方毫米，a2=6 平方毫米，a,3=9 平方毫米，杆的弹性模 量 e=210gpa，求：（1） 端点 a 的水平和铅垂位移。（2） 应用功能原理求端点 a 的铅垂位移。解：（1）ll0oo1201fdx =f , 有 kl33=fk =3 f / l3f ( x ) =3fx 2 / l 3 dx =f ( x / l )n 1 1 f cos 45 =0n 3-f +f -f sin 45 +f =0 n 1 2 n 3-f

12、0.45 +f 0.15 =0 n 13 f =-60kn , f =-401kn , f =0 kn , 1 1 1由胡克定理，f l -60 10 7 0.15 dl = n 1 =ea 210 109 12 10 1-6=3.87f l 40 10 7 0.15 dl = n 2 =ea 210 109 12 10 2从而得，da =dl =4.76，x 2-6=4.76da =dl 2 +dl 3 =20.23（ ）y 2 1（2）v =f da -f dl +f dl =0e y 1 1 2 2da =20.33（ ）y习题 2-17 简单桁架及其受力如图所示，水平杆 bc 的长度l

13、保持不变，斜杆 ab 的长度可随夹角 q 的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。 要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：（1） 两杆的夹角；（2） 两杆横截面面积的比值。解：（1）求轴力取节点 b 为研究对象，由其平衡条件得：y =0nsinabq-f =0nab=fsinqabbcabbcabbcabbc=x =0-nabcos q -nbc=0nbc=-nabcos q=fsinqcos q=f cot q2-17（2）求工作应力sabn f= ab =a a sinab abqsbcn f cot= bc =a abc bcq（

14、3）求杆系的总重量w =gv =g( a lab ab+a lbc bc)。g是重力密度（简称重度，单位：kn / m3）。=g=gl( a +a l ) cos q1l( a +a )cos q（4）代入题设条件求两杆的夹角条件：sabn f= ab = =s ， a = a a sin qab abfssin qsbc=n f cot q bc = =sa abc bc，abc=f cotsq条件：w的总重量为最小。w =gl(aab1cosq1+a ) =gl(a +a )cos q=gl(f 1 f cot q flg + ) = (ssin q cos q s s sin1 cos

15、q+ ) qcos q sin q=flg1+cos 2 q 2 flg1+cos 2 q = s sin qcos q s sin 2q从w的表达式可知，w 是 q 角的一元函数。当w的一阶导数等于零时，w取得最小值。dw 2flg dq s-2cos qsin qsin 2q-(1 +cos 2 q) cos 2q2 sin 2 2q=0-sin22q-3 +cos 2q 2cos 2q2=0-sin22q-3cos 2q-cos22q=03cos 2q=-1，cos 2q=-0.33332q=arccos( -0.3333) =109.47o，q=54.74o=54o44（5）求两杆横截

16、面面积的比值aab=fssin q，a =bcf cotsqfaababcssin q= =f cot qssin1 1=qcot q cosq因为：3cos 2q=-1，2 cos2q-1 =-1 1 ， cos 2 q =3 3cosq=13，1cosq= 3所以：aababc= 3 习题 2-18 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力s =170 mpa，试选择 ac 和 cd 的角钢型号。解：（1）求支座反力由对称性可知，r =r =220 kn ()a b（2）求 ac 杆和 cd 杆的轴力以 a 节点为研究对象，由其平 衡条件得：y =02-18r -naa

17、ccosa =0nac=r 220a = =366.667( kn ) sin a 3 / 5以 c 节点为研究对象，由其平衡条件得：x =0ncd-naccos a =0ncd=naccos a =2203 / 54 / 5 =293.333( kn )（3）由强度条件确定 ac、cd 杆的角钢型号 ac 杆：aacn 366667 n ac =s 170 n / mm2=2156.86mm2=21.569 cm2选用 280 7（面积2 10.86 =21.72cm2）。cd 杆：acdn 293333 n cd =s 170 n / mm2=1725.488mm2=17.255cm2选用

18、 275 6（面积2 8.797 =17.594cm2）。习题 2-19 一结构受力如图所示，杆件 ab、cd、ef、gh 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力s =170 mpa，材料的弹性模量e =210gpa，杆ac 及 eg 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点 d、c、a 处的铅垂位移dd、dc、da。解：（1）求各杆的轴力nab=3.24300 =240(kn )ncd0.8= 300 =60( kn ) 4m =0fngh3 -300 1.5 -60 1.2 =02-19ngh1= (450 +72) =174( kn ) 3y =0nef+174 -60 -30

19、0 =0nef=186( kn )（2）由强度条件确定 ac、cd 杆的角钢型号ab 杆：aabn 240000 n ab =s 170 n / mm2=1411.765mm2=14.12 cm2选用 290 56 5（面积2 7.212 =14.424cm2）。cd 杆：acdn 60000 n cd =s 170 n / mm2=352.941mm2=3.529cm2选用 240 25 3（面积2 1.89 =3.78cm2）。ef 杆：aefn 186000 n ef =s 170 n / mm2=1094.118mm2=10.412 cm2选用 270 45 5（面积2 5.609 =

20、11.218cm2）。gh 杆：aghn 174000 ngh =s 170 n / mm2=1023.529 mm2=10.353cm2选用 270 45 5（面积2 5.609 =11.218cm2）。（3）求点 d、c、a 处的铅垂位移 d 、 d 、 dd cadlabn l 240000 3400= ab ab = =2.694 2.7( mm) ea 210000 1442.4abdlcd=n l 60000 1200cd cd = =0.907( mm) ea 210000 378cddlefn l 186000 2000= ef ef = =1.580( mm) ea 2100

21、00 1121.8efdlgh=n l 174000 2000gh gh = =1.477( mm ) ea 210000 1121.8gheg 杆的变形协调图如图所示。d -ld ghl -lef gh=1.83d -1.477 1.8d =1.580 -1.477 3d =1.54( mm ) dd =d +l c dcd=1.54 +0.907 =2.45( mm )d =laab=2.7( mm )习题 2-21 （1）刚性梁 ab 用两根钢杆 ac、bd 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆 ac 和bd 的直径分别为d =25mm 和 d =18mm 1 2，钢的许用应力s =170

22、mpa，弹性模量e =210gpa。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形dlac、dlbd及 a、b 两点的竖向位移da、db。解：（1）校核钢杆的强度 求轴力nac3= 100 =66.667( kn ) 4.5nbc=1.54.5100 =33.333( kn ) 计算工作应力sacn 66667 n= ac =a 0.25 3.14 25 2 mm ac2=135.882 mpapsbdn 33333 n= bd =a 0.25 3.14 18 2 mm bd22-21=131.057 mpa因为以上二 杆的工作 应力均未 超过 许用应力 170mpa ，即sacs；sbds，所以 ac

23、及 bd 杆的强度足够，不会发生破坏。（2）计算dlac、dlbddldlaabb=n l 66667 2500ac ac = =1.618( mm ) ea 210000 490.625acn l 33333 2500bd bd = =1.560( mm ) ea 210000 254.34bd（3）计算 a、b 两点的竖向位移da、dbd =dlaac=1.618( mm ) ， d =dlbbd=1.560( mm )习题 3-2 实心圆轴的直径d =100mm，长l =1m，其两端所受外力偶矩m =14 kn m e，材料的切变模量g =80gpa。试求：（1） 最大切应力及两端面间的

24、相对转角；（2） 图示截面上 a、b、c 三点处切应力的数值及方向； （3）c 点处的切应变。解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角tmaxt m= =w wpep。式中，w =p1 1pd3 = 3.14159 100 3 =196349(mm 3 ) 16 16。 3-2故：tmaxm 14 10 6 n mm = e =w 196349mm 3p=71.302 mpaj=t lgip1 1，式中， i = pd4 = 32 323.14159 1004=9817469( mm4)。故：j =t l 14000 n m1m=gi 80 10 9 n / m 2 9817469 10

25、-12 m 4 p=0.0178254( rad ) =1.02o（2）求图示截面上 a、b、c 三点处切应力的数值及方向ta=tb=tmax=71.302 mpa， 由横截面上切应力分布规律可知：tc1= t2b=0.5 71.302 =35.66 mpa， a、b、c 三点的切应力方向如图所示。（3）计算 c 点处的切应变gc=tcg=35.66 mpa 80 10 3 mpa=4.4575 10 -4 0.446 10-3习题 3-3 空心钢轴的外径d =100 mm ，内径 d =50 mm 。已知间距为 l =2.7 m的两横截面的相对扭转角j =1.8o，材料的切变模量g =80g

26、pa。试求：（1）轴内的最大切应力；（2）当轴以n =80r / min的速度旋转时，轴所传递的功率。解；（1）计算轴内的最大切应力i =pw =p1 1pd4 (1 -a4) = 3.14159 100 4 (1 -0.5 4 ) =9203877(mm 4 ) 。 32 321 1pd3 (1 -a4) = 3.14159 100 3 (1 -0.5 4 ) =184078( mm 3 ) 16 16式中，a=d / d。j=t lgip，t =jgilp=1.8 3.14159 /180 80000 n / mm2700 mm29203877 mm4=8563014.45 n mm =8

27、.563( kn m)tmax=t 8563014.45 n mm =w 184078 mm 3p=46.518 mpa（2）当轴以n =80r / min的速度旋转时，轴所传递的功率t =m =9.549 en n k =9.549 kn 80=8.563( kn m)=3n =8.563 80 / 9.549 =71.74( kw ) k习题 3-5 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 f 均为，已知轴材料的许用切应力t =40 mpa，试求：（1） ab 轴的直径；（2） 绞车所能吊起的最大重量。解：（1）计算 ab 轴的直径ab 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加

28、的外力偶 矩相等：me左=me右=0.2 0.4 =0.08( kn m)me主动轮=2 me右=0.16( kn m)扭矩图如图所示。 3-5 由 ab 轴的强度条件得：tmax=m 16 m e右 = e右 tw pd3pd 316m 16 80000 n mm e右pt 3.14159 40 n / mm2=21.7 mm（2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：me主动轮0.2=me从动轮0.35，me从动轮0.35= 0.16 =0.28(kn m) 0.20由卷扬机转筒的平衡条件得：p 0.25 =me从动轮，p 0.25 =0.28 p =0.28 / 0.

29、25 =1.12( kn )习题 3-6 已知钻探机钻杆（参看题 3-2 图）的外径d =60mm，内径d =50 mm，功率p =7.355kw ，转速 n =180r / min，钻杆入土深度l =40m ，钻杆材料的 g =80gmpa，许用切应力t =40mpa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1） 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度（2） 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。m；解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mm =9.549en 7.355k =9.549 =0.390( kn m) n 180设钻杆轴为x轴，则：m =0x，m

30、l =me，m =m 0.390e = =0.00975( kn / m ) l 40（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 作钻杆扭矩图t ( x ) =-mx =-0.3940x =-0.00975 x。x 0,40t (0) =0 ； t (40) =m =-0.390( kn m)e扭矩图如图所示。强度校核，tmax=mwep式中，w =p1 1 50pd3 (1 -a4) = 3.14159 60 3 1 -( ) 4 =21958( mm 3 ) 16 16 60tmax=m 390000 n mm e =w 21958mm 3p=17.761mpa因为tmax=17.761mpa

31、， t =40 mpa ，即 tmaxt，所以轴的强度足够，不会发生破坏。（3）计算两端截面的相对扭转角j=400t ( x) dx gip式中，ip1 1 50 = pd4 (1 -a4) = 3.14159 60 4 1 -( )32 32 604 =658752( mm4)j=400| t ( x) | dx 1=gi gipp4000.00975 xdx =0.00975 x 2 80 10 6 kn / m 2 658752 10 -12 m 4 2400=0.148( rad ) 8.50习题 3-8 直径d =50 mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶m =6 kn m e，

32、而在圆杆表面上的 a 点将移动到 a 点，如图所示。已知1ds =aa =3mm1，圆杆材料的弹性模量e =210gpa，试求泊松比n（提示：各向同性材料的三个弹性常数 e、g、n间存在如下关系：g =e2(1 +n)。解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：t =m =6 kn m。设 o, o e 1两截面之间的相对对转角 为 j ， 则ds =jd 2 ds， j = ， j = 2 dt l 2ds =gi dp式中 ，i =p1 1pd 4 = 3.14159 50 4 =613592( mm 4 ) 32 323-8t ld 6 10 6 n mm 1000 mm 50 mm g = =2

33、i ds 2 613592mm 4 3mm p=81487.372mpa =81.4874gpa由g =e2(1 +n)得：ne 210= -1 = -1 =0.289 2g 2 81.4874习题 3-10 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为 d；空心轴的外径为 d，内径为 d ，且0d0d=0.8。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（tmax=t），扭矩t 相等时的重量比和刚度比。解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求 d。p=p实t=max式中，twpw =p116pd3 (1 -a4) ，故：tmax,空

34、=16tpd3 (1 -0.8 4 )=27.1tpd3=td3=27.1tpt3-10（1）求实心圆轴的最大切应力tmax=twp，式中，1w = p16d3，故：tmax,实16t 16t = = =tpd3 pd3d3=16t d 27.1t pt d， ( ) 3 = =1.69375 ， =1.192 pt d pt 16t d（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比w 0.25p( d 2 -d 2 ) l 空 0w 0.25pd2 lg 实gd d=( ) 2 (1 -0.8 2 ) =0.36( ) 2 =0.36 1.192 2 =0.512 d d（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度

35、比ip空1 1 = pd4 (1 -0.8 4 ) =0.01845pd4 ， i = pd32 324=0.03125pd4gigip空p实=0.01845pd4 d=0.5904( )0.03125pd4 d4=0.5904 1.1924=1.192习题 3-11 全长为 l ，两端面直径分别为d , d12的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩me，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体dx，则其两端面之间的扭转角为：dj=m dxegip式中，i =p132pd41 ellll01d -dl1 pr -r x1 =r -r l2 1r =r -r d -d d 2 1

36、 x+r = 2 1 x + 1l 2l 2d =2r =d -d2 1lx +d1d 4 =(d -d2l1x +d ) 4 =u 4 1d -ddu = 2 1ldx，ldx = dud -d2 1故：j=l m dx m= e0 gi gp0dx m= ei gp032 dx 32m= pd4 pge 01 l 32 m l du = eu 4 d -d pg( d -d ) 2 1 2 10duu 4 l=32 m l l du e pg( d -d ) 0 u 42 1=32 m l 1 32 m l e - l =- epg( d -d ) 3u 3 3pg( d -d ) 2 1 2 1 3 2 1 x +d 0=-32m l 1 1 32m l d 3 -d 3 32m l d 2 +d d +d 2 e - = e 1 2 = e 1 1 2 2 3pg( d -d ) d 3 d 3 3pg( d -d ) d