1.1参考系 1.2质点运动的矢量描述

1、第一章第一章 质点运动学质点运动学 运动学： 动力学： 以牛顿运动定律为基础，研究物体 运动状态发生变化时所遵循的规律的 学科. 研究物体在空间的位置随时间的变 化规律，并不涉及物体发生机械运动 的变化原因. 1. 参考系(frame of reference) 参考系: 为描述物体的运动 而选取的参考物体. 注: 任何物体均可被选 作参考系.参考系的选择是 任意的。 默认: 地面参考系 2. 坐标系(system of coordinates) 定量描述物体的运动. 主要坐标系 直角坐标系 球坐标系 柱坐标系 极坐标系 自然坐标系 z x y O P(x,y,z) 直角坐标系 r 1.2.1

2、 质点(particle) : 只具有质量, 大小和形状可 以忽略的几何点 研究问题中物体的形状和 大小可以忽略不计； 物体上各点的运动情况相同(平动)； 各点运动对总体运动影响不大. (1) 理想模型 (为了简化问题) (2) 条件 1. 位置矢量(矢径,位矢) (position vector) r P(x,y,z) z y x O k j i 1.2.2 位矢 运动方程与轨迹方程 从坐标原点O出发,指向质点所在 位置P的一有向线段. 直角坐标系中位矢表示为: kzj yi xr 大小 222 zyxr 方向 r z r y r x coscoscos 1coscoscos 222 位置矢

3、量与坐标原点的选择有关 2.运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时间变化的规律. )(trr 建立了坐标系后 运动方程可以写为 ktzjtyitxr )()()( 3.轨迹方程(equation of orbit) )( )( )( tzz tyy txx 消去参数 t 0),(zyxF 0 r x P y 4 2 Q -2 O 轨迹图： 解：(1) 先写参数方程 .已知质点的运动方程 jti tr )2(2 2 SI 消去 t 得 轨道方程 2 r 位置矢量的大小和方向 (m)47. 4)2(4 (m)2 22 22 00 rr rr m2 0 jr m24

4、2 jir 则 求：(1) 质点的轨迹. (2) t = 0 及t = 2s 时,质点 的位置矢量. tx2 2 2ty 4 2 2 x y (2) 位置矢量 0t20yx 2t 24yx 0 r 与x轴的夹角 2 r 与x轴的夹角 0 90 2326 4 2 arctan 2 2 0 0 r 1.2.3 速度 加速度 1)位移(displacement) 描述质点位置改变的物理量 设质点作曲线运动: 从A至B点 z y x O B r A r B A r 即：t 时刻位于A点,位矢 A r t +t 时刻位于B点,位矢 B r 在t 时间内,位矢的增量称 为. 1. 位移 路程 ABrrr

5、AB 即A到B的有向线段 在直角坐标系中 AB rrr kzzjyyixx ABABAB )()()( kzj yi x 222 zyxr 位移是矢量 2) 路程(path): 质点实际行程的 长度(正标量)称为 s 位移与路程的区别 (1) 两点间位移是唯一的 (2) 一般情况 sr (3) 位移是矢量，路程是标量 (speed) 描述质点运动的快慢和方向 的物理量. 定义: 单位时间内质点所发生 的位移. 1)平均速度 t r vk t z j t y i t x kji zyx vvv 单位: ms-1 2) 瞬时速度(速度) 精细地描述质点在某时刻的 运动情况. t r t r t d

6、 d lim 0 v k t z j t y i t x d d d d d d kji zyx vvvv A B 3) 瞬时速率(速率)(velocity) t s v t s t s t d d lim 0 v 注意: 速率是标量 讨论： 因此平均速度的大小因此平均速度的大小 (1) rs r v t 不等于平均速率不等于平均速率 t s v (2)当当 t 0时时: ddrrs dr v dt 等于瞬时速率等于瞬时速率 ds v dt t r t r d d d d (3) v t r d d r v t r d d x O z y 2 v 1 v t1 t2 t 时间内,速度增量为：

7、12 vvv t a v 单位: ms-2 平均加速度 的方向与速 度增量的方 向一致. (acceleration) -描述质点速度的变化 1)平均加速度(mean acceleration) 1 v 2 v v t v 2) 瞬时加速度 当t 0时,平均加速度的极 限即为瞬时加速度. 2 2 0 d d d d lim t r tt a t vv k t j t i tt a z y x d d d d d d d dv v vv k t z j t y i t x 2 2 2 2 2 2 d d d d d d kajaiaa zyx 222 zyx aaaa 当 t 趋向零时,速度增

8、量 的极限方向.v 4. 运动学的两类问题 1) 已知运动方程,求质点任意时 刻的位置、速度以及加速度 trr t r d d v 2 2 d d d d t r t a v 2)已知质点的加速度以及初始 速度和初始位置, 可求质点速度 及其运动方程 taa t a d dv tadd v t t ta 00 dd v v v t r d d vtrddv t t r r tr 00 ddv .已知一质点的运动方程 (SI)515(5 2 jtti tr 求 质点的速度和加速度. 解: t r d d v ）（SI )1015(5jti (SI) 10 d d j t a v 设某一质点以初速

9、度 作直线运动,其 加速度为 . 问： 质点在停止前运动的路程有多 长？ )m/s( 100 0 i v )sm( 10 2 ia v v v 10 d d t a 两边积分： t10ln 0 v v t10 0 e vv ttx t dedd 10 0 vv tx t t x ded 0 10 0 0 v 0)11(10)e1(10 010 0 x )e1 (10 10t x (m)10 0 xxx 质点作直线运动 分离变量 t10d d v v t t 0 d10 d 0 v v v v 得 又, d d t x v 10)01 (10)e1 (10 10 x 思考,该题还有别的方法解吗？

10、 t a d dv tx x d d d dv xd dv vv10 v v v10 d d x xd10d v x x x 00 d10d 0 v v (m)10 10 0 0 v xxx 1. 圆周运动 1)平面极坐标 质点在A点的位置由（r,） 来确定 2)角量 (1)角位置(angular position) 单位: rad 一般规定: 逆时针为正 角位移(angular displacement) )s(rad 1 t tt t d d lim 0 方向按右手螺旋规定. 3)线量 速率 t r t s tt lim lim 00 v ( )rt 速度 x y o r A B t e

11、tt t d d ere e t s v v 切向单位向量： t e 4)切向加速度和法向加速度 tt ere vv 质点作质点作变速率变速率圆周运动时圆周运动时 t e e td d d d t t v v t a d dv t dvd dd arr tt 角加速度 d dt 单位：rads-2 切向加速度切向加速度 tttt d d e t eaa v 大小 切向单位矢量的时间变化率？切向单位矢量的时间变化率？ n d d e t t e t lim t 0 t e d d t 法向单位矢量 t t d d v dd e aev tt 所以 等号右边第二项 nnn d aveve dt 称

12、为法向加速度 vr 将代入 2 2 n v ar r 总加速度 nt aaa 改变 速度大小 改变 速度方向 5)角量和线量的关系 O P (t+t) P(t) xR s RS R t R t S d d d d v R t R t a d d d d t v 2 22 n )( R R R R a v 一般圆周运动加速度 nt aaa n 2 t erera 2 n 2 t aaa 大小 t n 1 tan a a 方向 6）匀速率圆周运动 常量， 2 nt 0raa ， n 2 nn ereaa ， td d 由有，t dd 如 时,0t 0 可得：t 0 7）匀变速率圆周运动 常量， 2

13、 tn arar，故 d d t 常量， 如 时,0t 00 ， 0 2 0 2 2 00 0 2 2 1 tt t 比较匀速直线运动的基本 公式,数学表示相同. 0 2 0 2 2 00 0 2 2 1 ssa tatss ta vv v vv 某发动机工作时,主轴边缘一 点作圆周运动方程为： )SI(34 3 tt (1) t = 2s时,该点的角速度和角加 速 度为多大？ (2) 若主轴直径D =40cm,求t =1s 时该点的速度和加速度. : (1)43 d d 2 t t t t 6 d d -12 srad16423: s2t 2 srad1226 (2) 由角量和线量的关系,可

14、得可得 Dr 2 1 v 432 . 04 . 043 2 1 22 tt ttra2 . 12 . 06 t 2 . 043 2 22 n tra s1t )sm(4 . 1)43(2 . 0 1 v )sm(2 . 1 2 t a )sm( 8 . 92 . 043 2 2 n a 此时,总加速度的大小为： )sm(87. 98 . 92 . 1 222 2 t 2 n aaa 2. 自然坐标系 把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统 切向: 切向坐标轴沿质点前进方 向的切向为正; 法向: 法向坐标轴沿轨迹的法向 凹侧为正. 在质点的运动轨迹上,任取一 点O作为坐标的原点.从原点O到 轨迹曲线上

15、任意一点P的弧长定 义为P点的坐标S. P至Q的位移为 .s 自然坐标之差 PQ SSS t dd dd rs ve tt t s d d v 切向加速度：切向加速度：tttt d d e t eaa v 法向加速度：法向加速度： 2 nn v ae r 总加速度总加速度 nt aaa 2 n 2 t aaa 22 物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系 坐标系S固定于地面，坐标系 S固定于行车,随车一起运动. (utterly motion)物 体相对于静止参考系(S系)的运 动, 位移为r (relatively motion) 物体相对于自身参考系(S系)的 运动, 位移为 r (embroil motion) 运动参考系S相对静止参考系S 的运动, 位移为 0 r rrr 0 绝对运动相对运动牵连运动 车地车地物车物车物地物地 rrr t r t r