实验四连续时间傅立叶变换分析解析

1、信号与系统实验报告实验四连续时间傅立叶变换 4.1连续时间傅立叶变换的数字近似 1 .求 x(t)二et CTFT 的解析表达式。可将 x(t)看作 x(t)二 g(t) g(_t) , g(t)二euC)。g=sym(exp(-2*t)*Heaviside(t);g2=subs(g,-t,t);x=g+g2;fx=fourier(x);2 .创建一个向量，它包含了在区间t=0:tau:T-tau上(其中 =0.01和T =10),信号y(t) =x(t5)的样本。clc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sig n(t-5)+exp(2*(t

2、-5).*(0.5+0.5*sig n(-t+5);plot(t,y);3.键入y=fftshift(tau*fft(y)计算样本丫(LQ。因为x(t)对于t 5基本上为零，就能近似用N =T .个样本分析中计算出信号y(t) =x(t _5)的CTFTclc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sig n(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sig n(-t+5)；y=fftshift(0.01.*fft(y);y=abs(y);plot(t,y);axis(4,6,-0.1,1.2);4.构造一个频率样本向量w,它按照 w=

3、-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);与存在向量Y中的值相对应。5因为y(t)是通过时移与x(t)相联系的，所以CTFT X(j)就以线性相移项e与 丫()相联系。利用频率向量w直接由Y计算X(j )的样本，并将结果存入x中。clc;t=0:0.01:10-0.01;tau=0.01;N=10/0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sig n(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sig n(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(

4、j*5*w).*y;6利用abs和angle画出在w标定的频率范围内X的幅值和相位。对于相同的 值，也画出在1中所导出的x(jj解析式表达式的幅值和相位。CTFT的近似值 与解析导得的相符吗？若想在一张对数坐标上画出幅值，可以用 semilogy这是 会注意到，在较高的频率上近似不如在较低的频率上好。因为用了样本 x( n.)近 似x(t)，所以在时间段.长度内，信号变化不大的那些信号的频率分量近似程度 会更好一些。clc;tau=O.O1;T=10;t=O:tau:T-tau;N=T/tau;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sig n(t-5)+exp(2*(t-5).*(

5、0.5+0.5*sig n(-t+5)；y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(i*5*w).*y;xp=abs(x);xf=a ngle(x);subplot(211)plot(t,xp);subplot(212)plot(t,xf);7利用abs和angle画出Y的幅值和相位，它们与X的图比较后怎样？能估计到这一结果吗？clcsyms s w;g=sym(exp(-2*s)*Heaviside(s);g2=subs(g,-s,s);y=g+g2；fw=fourier(y,s,w);ff=ata n(im

6、ag(fW)/real(fW);fp=abs(fw);tau=0.01;T=10;t=O:tau:T-tau;N=T/tau;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sig n(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sig n( -t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(i*5*w).*y;xp=abs(x);xf=a ngle(x);subplot(211)hold onplot(t,xp);ezplot(fp,-10:10)hold offsubplot(212)ho

7、ld onplot(t,xf);ezplot(ff,-10:10)hold off4/abs(4+w2)2r1 -10-8-6-4-20246 G 10 4.2连续时间傅立叶变换性质1 .键入Y=fftshift(fft(y)，计算向量 Y的傅立叶变换。键入 w=-pi:2*pi/N:pi-pi/N*fs;将对应的频率值存入向量 w中。利用w和Y在区间-二fs _ ：fs内画出该连续时间傅立叶变换的幅值。函数ifft是fft的逆运算。对于偶数长度的向量，fftshift就是它本身的逆。对于向量Y， N=8192,这个逆傅立叶变换能用键入以下命令而求得 y=ifft(fftshift(Y); y

8、=real(y);由于原时域信号已知是实的，所以这里用了函数real。然而，在fft和ifft中的数值舍入误差都会在y中引入一个很小的非零虚部分量。一般说来，逆CTFT不必是一个实信号，而虚部可以包含有显著的能量。当已知所得信号一定是实 信号时，并且已经证实所除掉的虚部分量是没有意义的，real函数才能用于ifft的输出上load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);soun d(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;subplot(211) plot(w,Y);title( Y); y=ifft(fft

9、shift(Y); y=real(y);subplot(212) plot(w,y);title( y);1*2-10123x1042 置Y仁conj(Y)并将Y1的逆傅立叶变换存入 Y1中，用real(yl)以确保y1是 实的，用sound(y1,fs将y1放出。已知丫*()的逆傅立叶变换是如何与y(t)联系 的，能解释刚才听到的是什么吗？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);丫仁conj(Y);y1=ifft(fftshift(Y1);soun d(y1,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;pl

10、ot(w,y1);答：刚才听到的是y信号反过来放的声音。y(t)的CTFT可以用它的幅值和相位写成Y(j J =Y(j Jej ()式中()一丫(L)。对于许多信号，单独用相位或幅值都能构造出一个有用的信 号y(t)的近似。例如，考虑信号y2(t)和y3(t)，其CTFT为Y2(j )二丫(j )Y3(j ) =ej ()3只要y是实信号，用解析方法说明y2和y3一定是实的。解:因为 丫(厂)=Y()ej ()即 y(t)=y2(t)探 y3(t)又因为 y(t)是实信号故 y2(t)和 y3(t) 一定是实的。4构造一个向量Y2等于Y的幅值，并将Y2的逆傅立叶变换存入向量y2中，用 soun

11、d放出这个向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);soun d(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;Y2=abs(Y);y2=ifft(fftshift(Y2);soun d(y2,fs);plot(w,y2);1I1116-5-4-3-2-1-0-卜Ji一r-1-11a-3-2J0123x 10*1。并5构造一个向量Y3,它有与Y相同的相位，但是幅值对每个频率都等于 将Y3的逆傅立叶变换存入向量y3中，用sound放出这个向量。load splat y=y(1:8192);N=8192;f

12、s=8192;Y=fftshift(fft(y);soun d(y,fs); w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;Y3=Y./abs(Y);y3=ifft(fftshift(Y3);soun d(y3,fs);plot(w,y3);0 15D.1 -0.05 -0 ”*0.05 -0 1*-0 15x 1046.根据刚才听到的这两个信号，代表一个声音信号你认为傅立叶变换的那个部分 是最关键的：幅值或相位？答：相位是最关键的。7用向量y创建一个向量y4,它包含有本该以8192Hz从采样y4(t)=y(2t)所得到 的样本。load splaty=y(1:8192);N=8192;

13、fs=8192;soun d(y,fs);y4=y(1:2:8192);soun d(y4,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w4=(-pi:2*pi/(N/2):pi-pi/(N/2)*(fs/2);subplot(211)plot(w,y);title( y);subplot(212)plot(w4,y4);title( y4);y10.5o-0.5-1皿4 x 10 丫4-3-2-1012310 604一5-1-1.5-1-0.500.511.54x 10&用y4=sound(y4,fs放出y4。利用比较y4的傅立叶变换与y的傅立叶变换，能说明在高音上的变化吗？

14、信号压缩是如何影响它的傅立叶变换的?load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;soun d(y,fs);y4=y(1:2:8192);soun d(y4,fs);Y=fftshift(fft(y);Y4=fftshift(fft(y4);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w4=(-pi:2*pi/(N/2):pi-pi/(N/2)*(fs/2);subplot(211)plot(w,Y);title( Y);subplot(212)plot(w4,Y4);title( Y4);10050050x 10信号在时域中压缩（a1 ）等效于在频域中扩展

15、。9创建向量X,它由下式给出x(t)=y( n/2)0n为偶数n为奇数注意，x是一个长度为2*N的向量load splat y=y(1:8192); N=8192;fs=8192; soun d(y,fs);j=1；for i=1:2:(2*8192) x(i)=0;x(i+1)=y(j); j=j+1;end10利用函数filter完成在x上的线性内插。这里要用到的线性内插器的单位冲激响应是h=1 2 1/2load splat y=y(1:8192);N=8192;fs=8192;soun d(y,fs);j=1；for i=1:2:(2*8192)x(i)=0;x(i+1)=y(j)；j

16、=j+1;endh=1 2 1;a=2;y=filter(h,a,x);11用sound(y5,fs放出y5。用比较y5和y的傅立叶变换，能解释在音调上的变 化吗？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;soun d(y,fs);j=1;w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w5=(-pi:2*pi/(N*2):pi-pi/(N*2)*(fs*2);for i=1:2:(2*8192)y5(i)=0;y5(i+1)=y(j);j=j+1;endsoun d(x,fs);Y=fftshift(fft(y);Y5=fftshift(fft(y5);s

17、ubplot(211)plot(w,Y);subplot(212)plot(w5,Y5)100-2 -1100*50x 1045000246x 10 4.3连续时间傅立叶变换的符号计算1.定义符号表达式x1和x2代表下面连续时间信号:xi(t)2eu(t)X2(t) =etu需要用函数Heaviside来表示单位阶跃函数u(t)。x1=sym( Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym( Heaviside(t)*exp(-4*t);2.对于1中所定义的xi(t)和X2(t)，用解析方法计算它们的CTFT在=0的值,即X(j 0(不应该先求X(j-.)来作这道题)CT

18、FT在:-0的值是怎样与时域信号关联的？clc;syms t););x1=sym( Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t) x2=sym( Heaviside(t)*exp(-4*t) fx1=simple(i nt(x1, t, -i nf, in f); fx2=simple(i nt(x2, t, -i nf, in f);3. 1所定义的信号中，哪一个在时域衰减得更快？根据这一点，你能预期在频域哪一个衰减得更快?x1=sym( Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym( Heaviside(t)*exp(-4*t);subplot(211);ez

19、plot(x1,-1:5);axis(-1,5,-0.1,0.8) subplot(212);ezplot(x2,-1:5);axis(-1,5,-0.1,1.2)X2在时域衰减得更快,X1在频域衰减得更快4.用函数fourier计算勿和X2(t)得CTFT。定义x1和x2是由fourier产生的符号表达式。用ezplot产生X1(jco)和X2(j的幅值图。这些图能对 2和3中的答案进行确认吗?syms t w;);););x1=sym( Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t)x2=sym( Heaviside(t)*exp(-4*t);fw1=fourier(x1,t,w);

20、fw2=fourier(x2,t,w);ffw1=maple(con vert,fw1, piecewiseffw2=maple(con vert,fw2, piecewiseffp仁 abs(ffw1);ffp2=abs(ffw2); subplot(211);ezplot(ffp1,-100:100);axis(-20,20,-0.1,0.3););title( fourier(xl) subplot(212); ezplot(ffp2,-100:100);axis(-20,20,-0.1,0.3);title( fourier(x2);5定义符号表达式y1代表下面连续时间信号:1y，t)

21、-2乞t空2其余t它可以作为两个Heaviside函数之差。y1=sym( Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);6用解析方法求y()的CTFT , 丫1(厂)。syms t w;y=sym( Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);F=i nt(y*exp(-1i*w*t),t, -i nf, i nf); ezplot(F,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 5)title( fourier(y1);fojrier(yl)7.定义符号表达式y2表示信号y2（t）二w（t 2）。你能像对y1那样用两个Heaviside函数之差

22、来完成，或者恰当地对 y1应用subssyms t w;)；y1=sym( Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2) y2=subs(y1, t-2 , t);fW=fourier(y2,t,w);piecewise );ffw=maple( convert ,fw, ffp=abs(ffw);ezplot(ffp,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 2.5) title( fourier(y2) );8 .利用fourier求y1和y2的CTFT，并将它们存入 Y1和Y2中。倘若Y1不是你所期望得到的表达式，那么试试在所得表达式上用simple以便得

23、出更为熟悉的形式。syms t w;y1=sym( Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);y2=subs(y1, t-2 , t);丫仁fourier(y1,t,w);Y2=fourier(y2,t,w);Y1 =Y2 =i/w* (2*i*w)+l)9.用ezplot产生丫1(jco)和丫2(jco)的幅值图。比较这两张图情况如何？由这两个 信号在时域之间的关系能预测到这个结果吗？syms t w;y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);Y1=fourier(y1,t,w);fY1=maple(c on vert,Y1,piecewise);fpY1=abs(fY1);Y2=fourier(y2,t,w);fY2=maple(c on vert,Y2,piecewise);fpY2=abs(fY2);hold onezplot(fpY1,-4*pi:4*pi);ezplot(fpY2,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi