概率论第5章参数估计与假设检验

1、概率论第5章参数估计与假设检验 第第5章章 参数估计与假设检验参数估计与假设检验 根据样本数据来推断总体分布的数字特征称根据样本数据来推断总体分布的数字特征称 为统计推断，它是数理统计学的核心。为统计推断，它是数理统计学的核心。 当已经知道一个总体的分布函数形式当已经知道一个总体的分布函数形式, 但是其但是其 中一个或几个参数尚未知中一个或几个参数尚未知, 利用样本数据对总体的利用样本数据对总体的 参数作出估计，称为参数作出估计，称为 参数估计参数估计 概率论第5章参数估计与假设检验 参数估计通常分成两类：点估计和区间估计参数估计通常分成两类：点估计和区间估计 点估计：用样本的某个函数值作为总

2、体中未知点估计：用样本的某个函数值作为总体中未知 参数的估计值；参数的估计值； 区间估计：把总体的未知参数确定在某个区间内区间估计：把总体的未知参数确定在某个区间内。 设样本设样本 的一组值为的一组值为: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 假如我们要估计某学院男生的平均身高假如我们要估计某学院男生的平均身高. 现从该总体选取容量为现从该总体选取容量为5的样本，的样本， 根据选取出的这根据选取出的这5个数，个数， 估计估计m m 为为1.68，这是点估计，这是点估计. 估计估计m m 在区间在区间1.57, 1.84内，这是区间估计内，这是区间估计. 概率论第5章参数估计与假设检

3、验 5.1 参数的点估计参数的点估计 ),( 21n XXX 是一是一 元或多元待估参数元或多元待估参数, , 设总体设总体x x 的分布函数的形式的分布函数的形式F(x; )为已知为已知, X1, X2, , Xn 是是x x 的一个样本的一个样本, , 点估计问题就是要利用样本构造一个适当的统计量点估计问题就是要利用样本构造一个适当的统计量 x1, x2, , xn 为相应的一个样本值为相应的一个样本值. . ,简简记记为为计计估估计计量量和和估估计计值值通通称称估估 ,),( 21 的的估估计计来来作作为为 n XXX ,的的估估计计量量称称为为 ),( 21n xxx 将将样样本本值值

4、代代入入得得到到 的的估估计计值值称称为为 概率论第5章参数估计与假设检验 1. 求估计量的常用方法求估计量的常用方法 (1) 矩估计法矩估计法 用样本用样本k 阶原点矩阶原点矩a a k 作为总体的作为总体的k阶矩阶矩v k的估计量的估计量 kk vv的估计量记作的估计量记作 k v k a a 若总体若总体x x 的分布中包含的分布中包含k个未知参数个未知参数 1 1, 2 2, k, n j i XX n v 1 11 1 a a 联列前联列前k 个矩估计的方程个矩估计的方程 n i k ikk X n v 1 1 a a n i i X n v 1 2 22 1 a a 分别作为分别作

5、为用方程组的解用方程组的解 i ，（的估计量的估计量参数参数), 2 , 1ki i 这个估计量称为矩估计量，这个估计量称为矩估计量， 其观察值称为矩估计值其观察值称为矩估计值. . 解联立方程解联立方程 概率论第5章参数估计与假设检验 解解 1 v m m 例例1 设总体设总体x x 的均值的均值m m 和方差和方差s s 2均为未知均为未知, , 21 是是一个样本一个样本,又设又设 n XXX 求求m m 和和s s 2的矩估计量的矩估计量. X的的矩矩估估计计量量为为样样本本均均值值总总体体均均值值m m 2 12 2 vv s s , 2 S 2 12 2 vv s s 2 1 2

6、1 XX n n i i 22 S的的矩矩估估计计量量为为样样本本方方差差总总体体方方差差s s 1 a a ,X , 1 m mx x EvXX n n i i 1 1 1 a a 2 12 a aa a 概率论第5章参数估计与假设检验 dxxxp )( 例例2 设总体设总体x x在在0,0, 上上服从均匀分布服从均匀分布, 的估计量的估计量. .求求 得得 的估计量的估计量2 X 其中其中 解：解：1个未知参数个未知参数, 根据矩估计法根据矩估计法, 列出列出1个方程个方程 ( ( 0) )未知未知, (X1, X2, , Xn)是来自总体是来自总体 x x 的样本的样本, , 2 dxx

7、 0 1 x xEv 1 Xv 11 a a X 2 概率论第5章参数估计与假设检验 求求a , b的估计量的估计量. . ),( 21 是来自总体是来自总体x x 的样本的样本,XXX n 例例( (习题习题2) ) 设总体设总体x x 在在 a,b 上上服从均匀分布服从均匀分布, 其中其中a , b未知未知, 解解 2 1 ba vE x x )(32 2 2 12 1 vvab vba )(3 )(3 2 121 2 121 vvvb vvva 2 121 22 121 vvvSvvXv 和和分分别别代代替替和和用用矩矩估估计计量量 得到得到a, b的矩估计量分别为的矩估计量分别为 )(

8、3 2 121 vvva )(3 2 121 vvvb SX 3 SX 3 12 )( 2 2 12 ab vvD x x 概率论第5章参数估计与假设检验 其它其它,0 10,)1( );( xx xp a a a a a a 估估计计量量的的矩矩估估计计量量和和极极大大似似然然求求未未知知参参数数a a 例例(习题习题5 ) 设总体的概率密度为设总体的概率密度为 解解 dxxxpEv)( 1 x x 2 1 2 1 1 0 2 a a a a a a a a a a x , 11 Xv a a由由矩矩法法, 2 1 X a a a a 得得 1 0 )1(dxxx a a a a 1 21

9、X X a a解得矩估计量解得矩估计量 概率论第5章参数估计与假设检验 (2) 极大似然法极大似然法 通过两个例子了解其基本思想通过两个例子了解其基本思想 例例1 两人同时向同一目标各射一发子弹两人同时向同一目标各射一发子弹, 只有一发只有一发 中的中的, 例例2 某事件发生的概率可能为某事件发生的概率可能为0.01或或0.4, 在一次试在一次试 验中该事件发生了验中该事件发生了, 极大似然估计法的基本思想就是极大似然估计法的基本思想就是“在一次试验中概在一次试验中概 率最大的事件最可能发生率最大的事件最可能发生” “似然似然”用通俗的话说就是用通俗的话说就是 “可能性可能性”。 一般都认为是

10、成绩较好的打中的可能性大。一般都认为是成绩较好的打中的可能性大。 可以认为其概率是可以认为其概率是0.4而不是而不是0.01 概率论第5章参数估计与假设检验 ,),(为为一一元元或或多多元元未未知知参参数数其其中中设设总总体体 x xxp ,),(,是是概概率率分分布布则则是是离离散散型型的的若若 x xxp n i i xp 1 ),( )(),(),(),( 21 n xpxpxp 为为或或分分布布密密度度联联合合概概率率分分布布的的则则样样本本)(),( 21n XXX 的的取取值值是是随随机机变变量量独独立立且且与与总总体体同同分分布布的的注注意意 iii XxX,: .),(,是是概

11、概率率密密度度则则是是连连续续型型的的若若 x xxp ,)()(之之积积密密度度为为边边际际分分布布密密度度独独立立随随机机变变量量联联合合分分布布 代代入入本本观观察察值值将将一一次次抽抽样样中中得得到到的的样样),( 21n xxx ,)(值值或或密密度度联联合合概概率率分分布布则则上上式式为为样样本本点点上上的的 )(, L记记作作称称为为似似然然函函数数的的变变化化取取不不同同的的值值其其值值由由 概率论第5章参数估计与假设检验 ,),(为为一一元元或或多多元元未未知知参参数数其其中中设设总总体体 x xxp 似然函数似然函数 )( L n i i xp 1 ),( ),(),(),

12、( 21 n xpxpxp 值值或或联联合合分分布布密密度度联联合合概概率率分分布布为为样样本本点点上上的的)()( L ,)( 取取最最大大使使得得的的估估计计值值选选取取 L 称称为为未未知知参参数数的的这这样样获获得得的的值值),( 21n xxx 极大似然估计值极大似然估计值 称称为为未未知知参参数数的的而而),( 21n XXX 极大似然估计量极大似然估计量 由极大似由极大似 然估计法的基本思想然估计法的基本思想,上式应该取最大值上式应该取最大值 即在一次抽取中得到的概率或概率密度，即在一次抽取中得到的概率或概率密度， 概率论第5章参数估计与假设检验 求极大似然估计量的方法与步骤求极

13、大似然估计量的方法与步骤 第一步第一步: 构造似然函数构造似然函数 )( L n i i xp 1 ),( ),(),(),( 21 n xpxpxp 第二步第二步: 求出对数似然函数求出对数似然函数)(ln L 0 )(ln d Ld 解解 )()(ln:极值极值的最大值的最大值求求第三步第三步 L 得极大似然估计量得极大似然估计量 由对数函数的单调性及极值点的求法，由对数函数的单调性及极值点的求法， 概率论第5章参数估计与假设检验 解解 总体总体x x P(l l), , 2 , 1 , 0, ! )(),( xe x xPxp x l l l l x xl l l l l l l l e

14、 x L n i i xi 1 ! )(似似然然函函数数 例例(习题习题9)求泊松分布中参数求泊松分布中参数l l 的极大似然估计量的极大似然估计量 )(lnl lL对对数数似似然然函函数数 n i i n i i xxn 1 1 !lnlnl ll l l ll l l l n i i x n d Ld 1 )(ln n x d Ld n i i 1 0 )(ln l l l l l l 解得解得令令 的极大似然估计量的极大似然估计量l l X n X n i i 1 l l ! 121 )( 21 xxx e n xxx n l l l l 概率论第5章参数估计与假设检验 其它其它,0 1

15、0,)1( );( xx xp a a a a a a 估估计计量量的的矩矩估估计计量量和和极极大大似似然然求求未未知知参参数数a a 例例(习题习题5 ) 设总体的概率密度为设总体的概率密度为 n i i xL 1 )1()( a a a aa a似似然然函函数数 a a a a n n xxx 21 )1( )(lna aL对数似然函数对数似然函数 a a a a d Ld)(ln 0 )(ln a a a a d Ld 令令 )ln( 1 21n xxx n a a得得 )ln( 1 21n xxx n a a 的极大似然估计量的极大似然估计量a a )ln( 1 21n XXX n a

16、 a )ln(1ln 21n xxxna aa a 概率论第5章参数估计与假设检验 其其它它,0 0, );( 2 xxe xp xl l l l l l .估计量估计量的矩估计量和极大似然的矩估计量和极大似然求未知参数求未知参数l l 例设总体例设总体x x 的的 概率密度为概率密度为 解解 dxxxpEv)( 1 x x 0 22 dxex xl l l l 00 2 2dxexex xxl ll l l ll l l l 2 , 11 Xv a a由由矩矩法法, 2 X l l 得得 X 2 l l解得矩估计量解得矩估计量 概率论第5章参数估计与假设检验 其其它它,0 0, );( 2

17、xxe xp xl l l l l l n i x i i exL 1 2 )( l l l ll l似似然然函函数数 )( 21 2 21 )( n xxx n n exxx l l l l n i i n i i xxnL 11 lnln2)(lnl ll ll l对对数数似似然然函函数数 l l l l d Ld)(ln 0 )(ln l l l l d Ld 令令 n i i x n 1 2 l l得得 的极大似然估计量的极大似然估计量l l n i i x n 1 2 l l X 2 l l 概率论第5章参数估计与假设检验 2. 估计量的评价标准估计量的评价标准 (1) 无偏性无偏性

18、 (2) 有效性有效性 (3) 相合性相合性(一致性一致性) 常用的几条标准是：常用的几条标准是： 概率论第5章参数估计与假设检验 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到 不同的估计值不同的估计值 . (1) 无偏性无偏性 . 真值真值 则称则称 为为 的无偏估计的无偏估计. 定义定义: ，若若 E 我们希望估计值在未知参数真值附我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就导出了无偏性这个标准这就导出了无偏性这个标准 . ,),( 21 是未知参数的估计量是未知参数的估计量设设 n

19、 XXX 概率论第5章参数估计与假设检验 例例5 数学期望数学期望m m和方差和方差s s 2的无偏估计量的无偏估计量 设总体设总体x x 的均值为的均值为m m , 方差为方差为s s 2 (不管服从什不管服从什 么分布么分布,只要均值和方差存在只要均值和方差存在), X1, X2, , Xn是是 来自来自x x 的一个样本的一个样本, 由于由于 m mm m n i i EX n XEE 1 1 X 因此因此 是是m m 的无偏估计量的无偏估计量 ,X m mm m的矩估计量的矩估计量总体均值总体均值 概率论第5章参数估计与假设检验 对于样本方差对于样本方差 2 1 22 1 2 )( 1

20、 )( 1 XX n XX n S n i i n i i 2 SE由由于于前前面面已已得得到到 , 22 的的无无偏偏估估计计量量不不是是因因此此s sS 如果设如果设 22 1 2 1 )( 1 1 S n n XX n S n i i 则则ES2 = s s 2 , 即即S2是是 s s 2 的无偏估计量的无偏估计量 2 1s s n n (称为称为 修正样本方差修正样本方差 概率论第5章参数估计与假设检验 (2) 有效性有效性 . 都是参数都是参数 的无偏估计量，的无偏估计量， . 绿色是采用估计量绿色是采用估计量 1 ，红色是采用估计量，红色是采用估计量 2 1 较较 2 有效有效

21、21 DD 若若有有 ),( ),( 21222111nn XXXXXX 和和设设定义定义: . 21 有有效效较较则则称称 真值真值 真值真值 概率论第5章参数估计与假设检验 例例6 验证样本的加权平均值验证样本的加权平均值: )1, 0( 11 n i ii n i ii CCXC其中其中 证证 也是数学期望也是数学期望m m 的一个无偏估计量的一个无偏估计量, 但它不如但它不如 有效有效.X , 111 n i i n i ii n i ii CEXCXCEm mm m 因此因此 是是m m 的无偏估计量的无偏估计量 n i ii XC 1 n i i n i ii n i ii n i

22、 ii CDXCXCDXCD 1 22 1 2 11 )(s s但但 由施瓦茨由施瓦茨(Schwarz)不等式不等式, 2 11 2 1 n i i n i i C n C 有效有效不如不如因此因此XXC n i ii 1 n 1 n XCD n i ii 2 1 s s XD 概率论第5章参数估计与假设检验 练习练习(习题习题13) , )1 ,(m mx xN设设总总体体,),( 321 是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本XXX 试证下列统计量均为总体期望的无偏估计量，并说明其中试证下列统计量均为总体期望的无偏估计量，并说明其中 哪一个最有效：哪一个最有效： 3211 5 2 5 1

23、 5 2 XXX m m 3212 2 1 3 1 6 1 XXX m m 3213 3 1 3 1 3 1 XXX m m m mm mm mm m 32 ,EE同同样样 25 9 25 414 2 1 s sm mD 18 7 4 1 9 1 36 1 2 2 s sm mD 3 1 9 111 2 3 s sm mD 最有效最有效 3213 3 1 3 1 3 1 XXX m m 的无偏估计量的无偏估计量均为均为m mm mm mm m 321 , m mm m 3211 5 2 5 1 5 2 EXEXEXE证证 概率论第5章参数估计与假设检验 (3) 相合性相合性(一致性一致性) 除

24、无偏性和有效性外除无偏性和有效性外,评价一个估计量是否优评价一个估计量是否优 良的第三条称为一致性良的第三条称为一致性. 1)| (|lim, 0 P n 如如果果 , 依概率收敛于待估参数依概率收敛于待估参数即估计量即估计量 )( 或或称称相相合合估估计计量量的的一一致致估估计计量量为为则则称称 定义定义: 概率论第5章参数估计与假设检验 例例7 由独立同分布大数定律由独立同分布大数定律 1| 1 |lim 1 m mx x n i i nn P 的一致估计量的一致估计量是是可知可知m mX ,)( 1 1 1 m ma a XEX n n i i 依概率收敛于依概率收敛于 , )( 1 2

25、 1 2 2 XEX n n i i 依依概概率率收收敛敛于于 a a 2222 12 2 )( s sa aa a DXEXEXS依依概概率率收收敛敛于于故故 , 1 1 lim n n n 又又 的相合估计量的相合估计量也是也是因此因此 22 s sS 概率论第5章参数估计与假设检验 矩估计法的优点是简单易行矩估计法的优点是简单易行,并不需要事先知并不需要事先知 道总体是什么分布道总体是什么分布 . 矩估计具有相合性，经过简单修正也可以做矩估计具有相合性，经过简单修正也可以做 到无偏性，但对于高于到无偏性，但对于高于2阶的矩则不能保证有效阶的矩则不能保证有效 性，因而矩估计法不一定是性，因

26、而矩估计法不一定是“最佳最佳”的，这是其的，这是其 缺点。缺点。 概率论第5章参数估计与假设检验 作业 P111 习题习题5 4(求矩估计量求矩估计量) , 5, 6, 13 概率论第5章参数估计与假设检验 其它其它,0 0, );( xe xp xl l l l l l .估计量估计量的矩估计量和极大似然的矩估计量和极大似然求未知参数求未知参数l l 例例(习题习题6) 设总体设总体x x E(l l), 概率密度为概率密度为 解解 l l l lx x l l 1 )( 0 1 dxexdxxxpEv x , 11 Xv a a由由矩矩法法, 1 X l l 得得 X 1 l l解得矩估计

27、量解得矩估计量 概率论第5章参数估计与假设检验 其它其它,0 0, );( xe xp xl l l l l l n i xi eL 1 )( l l l ll l似然函数似然函数 )( 21n xxxne l l l l )(ln)(ln 21n xxxnL l ll ll l对对数数似似然然函函数数 l l l l d Ld)(ln 0 )(ln l l l l d Ld 令令 n xxx n 21 l l得得 的极大似然估计量的极大似然估计量l l )( 21n xxx n l l XXXX n n 1 21 l l 概率论第5章参数估计与假设检验 5.2 参数的假设检验与区间估计参数的

28、假设检验与区间估计 数理统计的主要任务是从样本出发，对总体的分数理统计的主要任务是从样本出发，对总体的分 布作出推断。布作出推断。 例例 某厂生产合金钢，其抗拉强度某厂生产合金钢，其抗拉强度X(单位：单位：kg/mm2) 可以认为服从正态分布可以认为服从正态分布N( m m ,s s 2)。 这相当于先提出了一个假设这相当于先提出了一个假设 H0：m m = 48， 然后要求从样本观测值出发，检验它是否成立。然后要求从样本观测值出发，检验它是否成立。 作推断的方法，主要有两种，一种是上作推断的方法，主要有两种，一种是上 一节讲的参数估计，另一种是假设检验。一节讲的参数估计，另一种是假设检验。

29、据厂方说，抗拉强据厂方说，抗拉强 度的平均值度的平均值m m =48。 现抽查现抽查5件样品，测得抗拉强度为件样品，测得抗拉强度为 46.8 45.0 48.3 45.1 44.7 问厂方的说法是否可信？问厂方的说法是否可信？ 概率论第5章参数估计与假设检验 例例 为了研究饮酒对工作能力的影响，任选为了研究饮酒对工作能力的影响，任选19名工人分名工人分 成两组，成两组， 一组工人工作前饮一杯酒，一组工人工作前一组工人工作前饮一杯酒，一组工人工作前 不饮酒，不饮酒， 让他们每人做一件同样的工作，让他们每人做一件同样的工作， 测得他们的测得他们的 完工时间完工时间(单位：分钟单位：分钟)如下：如下

30、： 饮酒者饮酒者 30 46 51 34 48 45 39 61 58 67 未饮酒者未饮酒者 28 22 55 45 39 35 42 38 20 问饮酒对工作能力是否有显著的影响？问饮酒对工作能力是否有显著的影响？ 两组工人完成工作的时间，可以分别看作是两个服两组工人完成工作的时间，可以分别看作是两个服 从正态分布的总体从正态分布的总体XN(m m1,s s12)和和YN(m m2,s s22) ，如果饮，如果饮 酒对工作能力没有影响，两个总体的均值应该相等。酒对工作能力没有影响，两个总体的均值应该相等。 这相当于先提出了一个假设这相当于先提出了一个假设 H0：m m1 = m m2 ，

31、然后要求从样本观测值出发，检验它是否成立。然后要求从样本观测值出发，检验它是否成立。 概率论第5章参数估计与假设检验 前前2例有一个共同的特点，例有一个共同的特点， 就是先提出一个假就是先提出一个假 设，设， 然后根据样本对所提出的假设作出判断：是接然后根据样本对所提出的假设作出判断：是接 受还是拒绝。受还是拒绝。 我们称这样的问题为假设检验问题。我们称这样的问题为假设检验问题。 备择假设：原假设不成立时要接的假设，记为备择假设：原假设不成立时要接的假设，记为H1 。 判断假设的依据：判断假设的依据： 实际推断原理实际推断原理 “小概率事件在一次试验中通小概率事件在一次试验中通 常是不会发生的

32、常是不会发生的” 原假设或零假设原假设或零假设: 提出要求检验的假设提出要求检验的假设, 记为记为H0 例如例如 211211211 :m mm mm mm mm mm m HHH 例如例如 H0 : m m1 =m m2 概率论第5章参数估计与假设检验 假设检验的方法就是依照上面原理假设检验的方法就是依照上面原理 提出待检验的假设；提出待检验的假设； 确定在假设成立条件下的确定在假设成立条件下的 一个小概率事件；一个小概率事件； 由一次试验（抽样）的结果看由一次试验（抽样）的结果看 此小概率事件是否发生了，此小概率事件是否发生了， 若发生了若发生了, 则拒绝假设则拒绝假设, 否则接受假设否则

33、接受假设 . 实际推断原理实际推断原理 “小概率事件在一次试验中通小概率事件在一次试验中通 常是不会发生的常是不会发生的” 概率论第5章参数估计与假设检验 例例1 某自动包装机在正常工作时，每包重量服从某自动包装机在正常工作时，每包重量服从N(105,1.52). 104, 106, 109, 104, 105, 108, 108, 102, 109 今从一批产品中随机检测今从一批产品中随机检测9包结果如下包结果如下: 由长期实践可知由长期实践可知, 标准差较稳定标准差较稳定, 如果标准差保持常数如果标准差保持常数1.5, 问机器工作是否正常问机器工作是否正常? 问题问题: 根据样本值判断根据

34、样本值判断m m = 105还是还是m m 1 105 . H0 : m m = m m0 = 105, (H1 : m m m m0)先提出待检验的假设先提出待检验的假设 , 00 不不应应太太大大则则为为真真若若m m xH, / 0 也也不不应应太太大大同同样样 n x s s m m ?, / 0 0 H n x 接接收收以以至至于于影影响响到到我我们们是是否否是是否否太太大大如如何何来来判判定定 s s m m 定一个定一个“标准标准”，给定，给定a a，0 a a ua a /2=1.96, ,1 .106 9 1 9 1 i i xx 在显著性水平在显著性水平a a = 0.01

35、时时, |u | u1/2=1.96,拒绝拒绝H0, 现在求现在求m m的的置信度为置信度为1 a a = 0.95的置信区间的置信区间. m m 的的 置信度为置信度为0.95 的置信区间为的置信区间为: 2/2/ , a aa a s ss s u n Xu n X 96. 15 . 01 .106,96. 15 . 01 .106 08.107,12.105 解解 96. 1,05. 0, 9, 5 . 1,1 .106 2/ a a a as sunX )1 , 0( / N n X u s s m m 选选用用统统计计量量 概率论第5章参数估计与假设检验 今抽今抽9件测量其长度件测量

36、其长度, 得数据如下得数据如下(单位单位:mm): 例例 设某工件的长度设某工件的长度X服从正态分布服从正态分布N(m m,16), 试求参数试求参数m m 的置信水平为的置信水平为95%的置信区间的置信区间. m m 的置信水平为的置信水平为1- -a a 的置信区间为的置信区间为 得知得知 由由n = 9, 147. 333x m m 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为(144.720, 149.946). 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. u0.05/2 = 1.96, s s = 4, a a = 0.05,

37、 )1 , 0( / , 2 N n X u s s m m s s 选选用用统统计计量量已已知知方方差差解解 2/2/ , a aa a s ss s u n Xu n X 概率论第5章参数估计与假设检验 解解 采用采用检验统计量检验统计量 / 0 nS X t m m 设总体设总体x x N(m m,s s 2),其中其中m m ,s s 2为未知为未知, X1, X2, Xn为来为来 自总体自总体x x 的样本的样本, 显著性水平为显著性水平为a a 要求检验假设要求检验假设 H0 : m m = m m0 2. s s 2 2为未知为未知 , , 关于关于m m 的假设检验和区间估计的

38、假设检验和区间估计 (1) 假设检验假设检验, t-检验法检验法 根据根据本章定理本章定理4.3知知,),1( / , 0 0 nt nS X H m m 为真时为真时 当当 , / 0 0 H ns x t过分大时就拒绝过分大时就拒绝 当观察值当观察值 m m 概率论第5章参数估计与假设检验 a a / 0 m m ta a/2 (n 1) nS X PP |t| ta a/2 (n 1) = 给定显著性水平给定显著性水平a a , 查查t 分布分位数表得分布分位数表得ua a/2 (n 1) , 使使 确定拒绝域确定拒绝域 接受域接受域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域 上述利用上述利用 t 统计统

39、计 量得出的检验法量得出的检验法 称为称为t 检验法检验法. 概率论第5章参数估计与假设检验 例例4 在正常工作下在正常工作下, 设产品的重量服从正态分布设产品的重量服从正态分布,其数学期其数学期 望值等于望值等于14.2,从某批产品中抽取从某批产品中抽取7件件,称得重量分另为称得重量分另为: 以显著性水平以显著性水平a a = 5%, 检验这批产品质量是否合适检验这批产品质量是否合适(指这指这 批产品均重为批产品均重为m m = 14.2) 14.5, 14.1, 14, 13.2, 13.8, 14.5, 13.5 解解:(1) H0 : m m = 14.214.2 (3) 给定给定a

40、a = 0.05, 查表得查表得 )6( 7/ 2 .14 )2(t S X t ;447. 2)6( 2/05. 0 t;447. 2| t从而拒绝域为从而拒绝域为 (4) 计算计算;94.13 7 1 7 1 i i xX ;486. 0)( 6 1 2 7 1 i i XXS 447. 2415. 1 7/486. 0 2 .1494.13 t .,故接受原假设故接受原假设的值在接受域中的值在接受域中t 概率论第5章参数估计与假设检验 例例 从某年的新生儿中随机抽取从某年的新生儿中随机抽取20个，测得其平均体重为个，测得其平均体重为3160 克，样本标准差为克，样本标准差为300克。据过

41、去统计资料，新生儿体重服克。据过去统计资料，新生儿体重服 从正态分布，平均体重为从正态分布，平均体重为3140克。问该年与过去的新生儿体克。问该年与过去的新生儿体 重有无显著差异？重有无显著差异？(a a = 0.01) 解解:(1) H0 : m m = m m 0 = 31403140 (3) 给定给定a a = 0.01, 查表得查表得 )1( / )2( 0 nt nS X t m m ;861. 2)19( 2/01. 0 t;861. 2| t从从而而拒拒绝绝域域为为 (4) 计算计算 .,故接受原假设故接受原假设的值在接受域中的值在接受域中t 861. 2296. 0 20/30

42、0 31403160 | t 该年与过去的新生儿体重无显著差异该年与过去的新生儿体重无显著差异 (a a = 0.01) 概率论第5章参数估计与假设检验 (2) 区间估计区间估计 对给定的置信水平对给定的置信水平1- -a a ,确定分确定分 位数位数 t a a/2(n-1) 从中解得从中解得 于是得于是得m m 的置信度为的置信度为1a a的的置信区间为置信区间为 )1( 2/ nt n S X a a a a a a 1)1(| 2/ nttP使使 )1( / nt ns X t m m 选选用用统统计计量量 a a m m a a 1)1( / 2/ nt nS X P即即 a a a

43、 aa a 1)1()1( 2/2/ nt n S Xnt n S XP 概率论第5章参数估计与假设检验 例例4 在正常工作下在正常工作下, 设产品的重量服从正态分布设产品的重量服从正态分布,其数学期其数学期 望值等于望值等于14.2,从某批产品中抽取从某批产品中抽取7件件,称得重量分别为称得重量分别为: 求产品重量数学期望的置信度为求产品重量数学期望的置信度为11a a = 95%的置信区间的置信区间 14.5, 14.1, 14, 13.2, 13.8, 14.5, 13.5 解解:;447. 2)6( 2/05. 0 t m m 的的 置信度为置信度为1 a a 的置信区间为的置信区间为

44、: )1( 2/ nt n S X a a 447. 2 7 486. 0 94.13,447. 2 7 486. 0 94.13 39.14,49.13 )1( / 0 nt nS X t m m 选用统计量选用统计量 ;94.13 7 1 7 1 i i xX ;486. 0)( 6 1 2 7 1 i i XXS 概率论第5章参数估计与假设检验 例例 假定出生婴儿体重服从正态分布，随机抽取假定出生婴儿体重服从正态分布，随机抽取5名婴儿，名婴儿， 测其体重为测其体重为3100，2520，3000，3160，3560，试以，试以95的的 置信系数估计婴儿平均体重的区间。置信系数估计婴儿平均体

45、重的区间。 故婴儿平均体重的故婴儿平均体重的95%置信区间为：置信区间为： )1( / nt nS X t m m 选用统计量选用统计量解解 16.370137020,3068 Sx 776. 2)4(,05. 0, 5 2/05. 0 tn查表得查表得a a )1( 2/ nt n S X a a 776. 2 5 16.370 3068,776. 2 5 16.370 3068 54.3527,46.2608 概率论第5章参数估计与假设检验 作业 P112 习题习题5 14、15、 19 概率论第5章参数估计与假设检验 附表2-1 标准正态分布表标准正态分布表 z0123456789 0.

46、0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9

47、463 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.

48、7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9278 0.9406 0.9515 0

49、.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9430 0.9535 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133

50、0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 1.645 概率论第5章参数估计与假设检验 z0123456789 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9463 0.9564 0.9648 0.9719 0.9778 0.9826 0.9

51、864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9990 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9993 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9995 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.

52、9793 0.9838 0.9871 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9997 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9998 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9998 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.99