均值不等式的应用习题+答案

1、.均值不等式均值不等式应用1. (1)若 a,b R，则 a2 b2 2ab (2)若a,bR，则 ab2 .2a L (当且仅当a2b时取“二”）2. (1)若 a,b R ,则若a,bR，则 a b2、ab （当且仅当ab时取“=”)ab2b2（当且仅当ab时取“=”)3.若x0，则x当且仅当x 1时取“=”)0，则3.若 ab0，则若ab0,则a b2或X 1-2 （当且仅当a b时取“=”）x（当且仅当1时取“=”)a b时取“=”)-2（当且仅当a b时取“=”）2a L （当且仅当2b）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们

2、的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、 应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域1（1） y= 3x 2+ 衣4.若 a,bb时取“=”)比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. y=x+ x解：(1) y= 3x 2 + 步 2 ：3x 2 2承=也二值域为76 , + ）1(2)当 x0 时，y= x + - x丄=2;x ，当 xv0 时，y= x+1 = （ x- ）-2x值域为（一a, 2 U 2 , +s）解题技巧：技巧一：凑项例1 ：已知x|，求函数y4x 2 1的最大值。4x

3、 5解：因4x0,所以首先要“调整”符号，又（4x4x 0， y4x 215 4x 5不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项,4x 54x 丄 32 3 15 4x1，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数当且仅当4x上式等号成立,故当X 1 时，max 1。精选例1当I 1二时，求y X(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。(8-2初誌(生爭药-8当，即x= 2时取等号 当x=

4、 2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。3变式：设0 x ,求函数y 4x(32x)的最大值。2解： 03 3 2x20 y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)22x 3 2x 92 2当且仅当2x32x,即 x3330,2时等号成立。技巧三：分离X2例3求y 7x 10 ,(xx 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(1)的值域。x + 1)的项，再将其分离。当，1 ,即 一 1 I 时，y 2(x 1)9 (当且仅当x = 1时取“=”号)。技巧四：换元解析二：本题看似无

5、法运用均值不等式，可先换元，令4 5 tt=x + 1，化简原式在分离求最值。2 2(t 1)7(t 1)+10 _t 5t 4 xy = ttt当，1 ,即 t= 时，y 2 t 4(当t=2即x = 1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y mg(x)B( A 0,B 0) , g(x)恒正或恒负的形式,g(x)然后运用均值不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x -的单调性。x例:求函数yx2解:t(t2)，则 yx2 5 x24x241x2=42)

6、因为10,t -t1y t -在区间t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故5所以，所求函数的值域为2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时,x的值.(1)yx 3x 1,(x 0)(2)y2x1 1,x 3 (3) y 2sin x ,x (0,)x 3si n x2.已知0x 1,求函数y x(1 x)的最大值.；3. 0 x 2，求函数y x(2 3x)的最大值.16 。精选条件求最值1.若实数满足a b 2，则3a3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a 和3b

7、 都是正数，3a 3b 2 3a 3b 2, 3a b 6ababab当33时等号成立，由a b 2及33得a b 1即当a b 1时，33的最小值是6.变式：若 log 4 x log 4 y12，求一x1的最小值并求x,y的值y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x 0, y0 ,且-1,求x yy的最小值。错解：Q x 0, yy x 7x y 2 xyxy 12 故x y min 12。错因：解法中两次连用均值不等式，在y 2. xy等号成立条件是 x y，在丄x9等号成立y19条件是即y 9x，取等号的条件的不一致，产生错误。

8、因此，在利用均值不等式处理问题时，列出x y正解：Qx0,yc 19彳0,1 ,xyx1 y -9 y9x10 6 10 16x yxy xy当且仅当y9x19J时，上式等号成立，又-1,可得x4,y12 时，x yxyxy变式：(1)若x, y R且2xy1，求1 .1的最小值xy(2)已知a,b,x, y R 且旦b1，求xy的最:小值xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。技巧七、已知x, y为正实数，且x 2 + f=1,求x . 1 + y2的最大值.a2 + b 22分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式abwO1 + =2 X；;2+:分析：这

9、是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的途径进行。一是通过消元，转化为一元函数问题 二是直接用基本 不等式，对本题来说， 考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式，再用单调因已知条30-2bb+ 1ab =30-2bb+ 1-2 b2+ 30b b =b+ 1由 a 0得，0v bv 15令 t= b+1,1vtv 16, ab =-/34t-312 （t+ 半）+ 34 V t + 学 2 : t -16 = 8精选1- y 池如何由已知不等法二:由已知得： 30- ab= a+

10、2bv a + 2b 2 2 ab 30- ab 2 2 ab令 u= ab贝U u2 + 2 2 u-30w 0, - 5 . 2 w uw 3 2ab w 3 2 , abw 18,. y十当且仅当t= 4，即b = 3, a= 6时，等号成立。/ ab0, b0, ab (a + b) = 1,求a+ b的最小值。2若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y= 10,求函数 W = -. 3x + . 2y的最值.a -k ba 2+ b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，一： w，本题很简单,3x + ,2y w .

11、2( . 3x) 2 +( ；2y ) 2 = ,2 . 3x+ 2y = 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。W 0, W2= 3x+ 2y+ 2 ,3x 2y = 10+ 2 3x 2y w 10+ ( , 3x )2 - ( . 2y )2 = 10 + (3x+ 2y) = 20 W w 20 = 2 5变式：求函数y .越.才莎C x 5)的最大值。2 2解析：注意到2x 1与 5 2x的和为定值。y2(.2x 1、5 2x)24 2、(2x 1)(5 2x)4 (2x 1)(5 2x)8又y 0,所以

12、0 y 2、2当且仅当2x 1=5 2x，即x -时取等号。故ymaX 2 2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca1)正数 a， b， c 满足 a+ b+ c= 1,求证：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc例6 :已知a、b、c R ,分析：不等式右边数字2 . bca且 a b c 1 o 求证：1 1-1118a b c2”连乘，又，可由此变形入手。解：Q a、b、c R同理丄b2、acb12 ab1 occ8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 1 1 1曲2盂2忌 a b ca8。当且仅当1时取等号。3应用三：均值不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且 一x y1，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。解:y k,xo,y