因动点产生的相切问题

1、1.7因动点产生的相切问题例 1 2012 年河北省中考第 25 题如图 1，a(5,0)，b(3,0)，点 c 在 y 轴的正半轴上，cbo45，cd/ab，cda 90点 p 从点 q(4,0)出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t 秒（1） 求点 c 的坐标；（2） 当bcp15时，求 t 的值；（3） 以点 p 为圆心，pc 为半径的p 随点 p 的运动而变化，当p 与四边形 abcd 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值图 1答案（1）点 c 的坐标为(0,3)（2）如图 2，当 p 在 b 的右侧，bcp15时，pco30， t =4 + 3 ；如

2、图 3，当 p 在 b 的左侧，bcp15时，cpo30， t =4 +3 3 图 2（3）如图 4，当p 与直线 bc 相切时，t1； 如图 5，当p 与直线 dc 相切时，t4； 如图 6，当p 与直线 ad 相切时，t5.6图 3图 4图 5图 6例 2 2012 年无锡市中考模拟第 28 题如图 1，菱形 abcd 的边长为 2 厘米，dab60点 p从 a 出发，以每秒 3 厘米的速度沿 ac 向 c 作匀速运动；与此同时，点q 也从点 a 出发，以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动当点 p 到达点 c 时，p、q 都停止运动设点 p 运动的时间为 t 秒（1） 当 p 异于 a、

3、c 时，请说明 pq/bc；（2） 以 p 为圆心、pq 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，p 与边bc分 别 有1个 公 共 点 和2个 公 共 点 ？图一答案aq t ap 3t t （1）因为 = = =ab 2 ac 2 3 2，所以aq ap=ab ac因此 pq/bc1 1（2）如图 2，由 pqph pc ，得 t = (2 3 - 3t )2 2解得 t =4 3 -6 如图 3，由 pqpb，得等边三角形 pbq所以 q 是 ab 的中点，t1 如图 4，由 pqpc，得 t =2 3 - 3t 解得 t =3 - 3 如图 5，当 p、c 重合时，t2

4、因此，当 t =4 3 -6 或 1t 3 - 3 或 t2 时，p 与边 bc 有 1 个公共点 当 4 3 -6 t1 时，p 与边 bc 有 2 个公共点图 21.8图 3图 4因动点产生的线段和差问题图 5例 1 2012 年滨州市中考第 24 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2 b(2, 0)三点bxc 经过 a(2, 4 )、o(0, 0)、（1） 求抛物线 yax2bxc 的解析式；（2） 若点 m 是该抛物线对称轴上的一点，求 amom 的最小值图 1答案1 （1） y =- x22+x。 （2）amom 的最小值为 4 2 123af bf ab 12图 2图

5、3例 2 2012 年山西省中考第 26 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 a、b 两点，与 y 轴 交于点 c，点 d 是抛物线的顶点（1） 求直线 ac 的解析式及 b、d 两点的坐标；（2） 点 p 是 x 轴上的一个动点，过 p 作直线 l/ac 交抛物线于点 q试探究：随着点 p 的运动，在抛物线上是否存在点 q，使以 a、p、q、c 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出符合条件的点 q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 请在直线 ac 上找一点 m，使bdm 的周长最小，求出点 m 的坐标图 1思路点拨1 第（2）题探究平行四边形

6、，按照 ap 为边或者对角线分两种情况讨论2 第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点 b 关于“河流”ac 的对称点 b，那么 m 落在 bd 上时，mbmd 最小，mbd 的周长最小满分解答（1）由 yx22x3(x1)(x3)(x1)24，得 a(1, 0)、b(3, 0)、c(0, 3)、d(1, 4)直线 ac 的解析式是 y3x3（2） q (2, 3)，q ( 1 + 7, -3 )，q ( 1 - 7, -3 )（3） 设点 b 关于直线 ac 的对称点为 b，联结 bb交 ac 于 f 联结 bd，bd 与交 ac 的交点就是要探求的点 m作 bex 轴于 e，那么ebafc

7、ao在 baf 中， = = ，ab4，所以 bf = 1 3 10 10，由 ，得=在 bbe 中，b e be bb 24 = = bb =2 bf =1 3 10 10，所以 b e =12 36， be =5 536 21 21 12所以 oe =be -ob = -3 = 所以点 b的坐标为 ( - , )5 5 5 5因为点 m 在直线 y3x3 上，设点 m 的坐标为(x, 3x3)dd mm yd -yb ym -yb = =b d b m xd -xb xm -xb 9 9 132解得 x =所以点 m 的坐标为 ( , ) 35 35 35所以12 12 4 - 3 x +3 -5 521 211 + x +5 5图 2图 3考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：1 如图 4，当 ap 是平行四边形的边时，cq/ap，所以点 c、q 关于抛物线的对称轴对 称，点 q 的坐标为(2, 3)2