常用放缩方法技巧

1、常用放缩方法技巧常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需 要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而 综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考 压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题 的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结 构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其 放缩技巧主要有以下几种： 添加或舍去一些项，如： a 1 a ； n(n 1) n 将分子或分母放大(或缩小) 利用基本不等式，如：n(n 1) n (n 1)2二项式放缩 :a2lg3 lg5 (lg3 lg5)22)lg 15 lg 16 lg4 ；2n(1 1)2

2、 n Cn0 C 1n CnnC 0 C1Cn Cn2n n 22Cnn,2201Cn Cnn(n 1)(n12)(5) 利用常用结论： .1 的放缩 ： 2k k k 1 2 k k k 12212的放缩 (1) ：k(k 1) k2 k(k 1) (程度大).12 的放缩 (2) ： 12 2111( 1 1 )(程度小)k 2k2 k2 1 (k 1)(k 1) 2 k 1 k 1.12的放缩(3) ：12kk4k24 1 2(2k1 1 2k1 1)(程度更小).分式放缩还可 利用真(假)分数的性质 : bb m(b a 0,m 0) a a m和 b b m(aa a mb 0,m

3、0)2 / 12记忆口诀“小者小 , 大者大”。 解释: 看 b, 若 b 小, 则不 等号是小于号 , 反之亦然 . . 构 造 函 数 法 构 造 单 调 函 数 实 现 放 缩 。 例 ：f(x)x1 xx(x 0)，从而实现利用函数单调性质的放缩：f (a b) f ( a b)。一 先求和再放缩例 1. an (n1 1), 前 n 项和为 Sn ，求证： n (n 1)sn例 2. a(13)n , 前 n 项和为 Sn ，求证：sn 先 放缩再求和 (一)放缩后裂项相消 n11an ( 1) n，其前 n项和为 sn例 3数列 an ，求证：s2n22二)放缩后转化为等比数列。2

4、例 4. bn 满足： b1 1,bn 1 bn2 (n 2)bn 31) 用数学归纳法证明： bn nT 1 1 1 . 1 12) Tn 3 b1 3 b2 3 b3 . 3 bn ，求证： Tn 2求证: n 12 5 .k 1k2 3裂项放缩例 5.(1) 求kn14k22 1的值;(2) / 12例 6.(1) 求证 : 1 1 132 52(2)求证 : 1 1 14 16 361(2n 1)212(2n1 1) (n1 1 14n 2 2 4n2)(3)求证：112( n 1 1) 1 12 131 2( 2n 1 1) n7. 求证:6n(n 1)(2n 1)1114915n2

5、 3例 8. 已知 an 4n 2nTna12a2an5 / 12, 求证 :Tn0,m 0), 反之亦然 .2 4 6 2n1 3 5 (2n 1)2n 1和1 3 5(2n 1)2462n12n 1四、分式放缩姐妹不等式 : b b m(b a 0,m 0)和 b b m(a ba a m a a m 记忆口诀”小者小 , 大者大” 解释: 看b, 若b小, 则不等号是小于号 例 9. 姐妹不等式 : (1 1)(1 1)(1 1) (1 1 ) 2n 1 和3 5 2n 1(1 1)(1 1)(1 1) (1 1 ) 1 也可以表示成为2 4 6 2n 2n 1例 10. 证明 : (1

6、 1)(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3n 1.4 7 3n 26 / 12五、均值不等式放缩例 11. 设 Sn 1 2 2 3n(n 1). 求证 n(n 1) S(n 1)22例 12. 已知函数 f (x)1bx1 a 2bx，a0,b0, 若 f(1)4，且 f(x) 在0 ，51 上的最大值为求证：f (1) f (2)f (n)n 2n 17 / 12六、二项式放缩n n 02 n (1 1)n Cn0n 0 1 22 C n Cn Cn例 13. 设 nC1n n2Cnn,n221,n N ，2n Cn0 Cnn2 n(nn11)(n 2)例 14.an 2 3求证 (

7、2)n3(n81)(n 2)试证明：n 1 1 L 1 14n 2a1 a2 an 48 / 12七、部分放缩 （尾式放缩 ）例 15. 求证 : 1 1 1 431 32 1 32n1 1 7例 16. 设an 1 1a 1a1a,a 2.求证： an 2.2a 3 n八、函数放缩例 17. 求证： ln 2 ln3 ln 4234ln3n3n3n 5n 6(n6N*)例 19. 求证 : 1 1231 ln(n 1) 1 1 n 1 2例 18. 求证 :2ln2 ln3 lnn 2n n 12, (n 2)2 3 n 2(n 1)10 / 121 1 12( n 1 1)a1 a 2a n(2n 1) 2n 2 12n九、借助数列递推关系例 20. 若 a1 1