初三数学圆知识点复习专题

1、圆一苑老师 一、圆的概念 集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：至V定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的 圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂 线）； 3、角的平分线：至V角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的 两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平

2、行线且到两条直线距离都相 等的一条直线。 二二 点与圆的位置关系 1、 点在圆内 d r 点C在圆内； 2、 点在圆上 d r 点B在圆上； 3、 点在圆外 d r 点A在圆外； 三、 直线与圆的位置关系 1、 直线与圆相离 d r 无交点； 2、 直线与圆相切 d r 有一个交点; 3、 直线与圆相交 d r 有两个交点; 外离（图1）无交点d R r ; 外切（图2）有一个交点d R r ; 相交（图3）有两个交点 内切 （图 4) 有一个交点 无交点 内含 （图 5) 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1 :（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平

3、分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 2个即可推 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中 出其它3个结论，即: AB是直径 AB CD CE DE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在。O 中，：AB /CD 弧AC 弧 BD 例题1、基本概念 1. 下面四个命题中正确的一个是() A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 个圆的圆心 2. 下列命题中，正

4、确的是(). D A B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这 B.过弦的中点的直线必过圆心 C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧 A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧 AB 于 E，OF CD 于 F . 例题2、垂径定理 1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果 油的最大深度为16cm,那么油面宽度AB是cm. 2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm,那么油的最大深度为 cm. 3、如图，已知在。O中，弦AB CD，且AB CD，垂足为H ， 0

5、E (1) 求证：四边形OEHF是正方形. (2) 若CH 3，DH 9，求圆心0到弦AB和CD的距离. 4、已知： ABC内接于O 0, AB=AC，半径0B=5cm，圆心0到BC的距离为3cm,求AB的 长. 5、如图，F是以0为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD丄BC于D,求证: AD= 1BF. 2 例题3、度数问题 1、已知：在。0中，弦AB 12cm，0点到AB的距离等于AB的 的半径. 2、已知：。0的半径0A 1,弦AB、AC的长分别是、2、. 3 .求 BAC的度数 例题4、相交问题 如图，已知。0的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，/B

6、ED=30,求CD的长. C 0 B 例题5、平行问题 例题6、同心圆问题 如图，在两个同心圆中，大圆的弦 半径分别为a,b.求证：AD BD 例题7、平行与相似 已知：如图，AB是。0的直径, 在直径为50cm的。0中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB / CD，求：AB与CD之间的距离. AB,交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的 2 b2. CD是弦，AE CD于E , BF CD于F.求 证： EC FD . 六、圆心角定理 C 相等的圆周角所 A 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其

7、中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即： AOB DOE : AB DE ； OC OF ;弧BA 弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB 2、圆周角定理的推论： 推论1 :同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 对的弧是等弧； 即：在。O中C、 D都是所对的圆周角 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆, 所对的弦是直径。 即：在O O中，：AB是直径或t C 90 C 90 AB是直径 推论3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三

8、角形是直角三角形 即：在 ABC 中，：OC OA OB KBC是直角三角形或 C 90 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中 线等于斜边的一半的逆定理 【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工 件哪一个肯定是半圆环形？ 【例2】如图，已知。O中，AB为直径，AB=10cm弦AC=6cm，ACB的平分线交。O于D,求BC AD和BD的长. 【例3】如图所示，已知 BC=4cm (1) 求证：AC丄OD 求。O的直径. AB为的直径，AC为弦, (2)求0D的长； (3)若 2sinA 仁0, OD/ BC,交 AC

9、于 D, 例 4】四边形 ABCD中, AB/ DC, BC=b AB=AC=AD=a如图，求 BD的长. 【例5】如图1, AB是半。0的直径，过A B两点作半。O的弦，当两弦交点恰好落在半。O上 C 点时，贝U有 AC- AC BC- BC=AB (1) 如图2,若两弦交于点P在半。O内，则AP- AC BP- BD=AB是否成立？请说明理由. (2) 如图3,若两弦AC BD的延长线交于P点，则AB=.参照(1)填写相应结论， 并证明你填写结论的正确性. 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角 即：在O O中， 四边形ABCD是内接四边形 C

10、BAD 180 B D 180 DAE C 例1、如图7-107,0 0中，两弦AB/ CD M是AB的中点，过 M点作弦DE求证：E, M 0, C四 点共圆. 九、切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 即：TMN 0A且MN过半径0A外端 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 MN是O0的切线 (2 )性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1 :过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十、

11、切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。 即：TPA、PB是的两条切线 PA PB PO平分 BPA B 利用切线性质计算线段的长度 例1:如图，已知：AB是的直径，P为延长线上的一点，PC切于C, CDLAB于D,又 PC=4 0的半径为3.求：0D的长. 利用切线性质计算角的度数 例2:如图，已知：AB是0的直径，CD切0于C, AECD于E，BC的延长线与AE的延长 线交于F,且AF=BF求：/ A的度数. 利用切线性质证明角相等 例3：如图，已知：AB为0的直径，过A作弦AC AD并延长与过B的切线交于M N.求 证：

12、/ MCN/MDN 利用切线性质证线段相等 例4:如图，已知：AB是。0直径，COL AB, CD切O 0于D, AD交CO于 E.求证：CD=CE 利用切线性质证两直线垂直 例5：如图，已知： ABC中，AB=AC以AB为直径作O 0,交BC于D, DE切O 0于D,交AC于E.求证: DEL AC. 1 、圆幕定理 (1 )相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘 即：在。O中，弦AB、CD相交于点P , D 积相等。 PA PB PC PD (2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项。 即：在O 0中，直径AB CD， A CE2 AE B

13、E (3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在。O中，TPA是切线，PB是割线 PA2 PC PB (4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等(如上图)。 即：在。O中，：PB、PE是割线 PC PB PD PE 图2 例1.如图1,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆 0,过A作半圆切线，切 点为F，交CD于 E,求DE AE的值。 A D E B 6 C 例2. OO中的两条弦AB与CD相交于E,若AE= 6cm, BE= 2cm CD= 7cm 那么 C

14、E= cm 例3.如图3，P是。0外一点，PC切。0于点C, PAB是OO的割线，交。0于A、B两点，如果PA P吐1: 4, PO 12cm OO的半径为10cm则圆心0到AB的距离是cm 例4.如图4, AB为OO的直径，过B点作OO的切线BC, 0C交OO于点E, AE的延长线交BC于点 D, (1)求证：匚炉二CD *作；(2)若AB= BO 2厘米，求CE CD的长。 例5.如图5, PA PC切OO于A C, 图4 A B 例6.如图6,在直角三角形ABC中，/ A= 90，以AB边为直径作。O,交斜边BC于点D,过D点 作OO的切线交AC于E。 图6 A C O1 O2 C O

15、D A E D 求证：BO 2OE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦 如图：O1O2垂直平分AB。 即：OO O。2相交于A、B两点 O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： (1)公切线长： Rt O1O2C 中，AB2 CO12, O1O22 CO22 ; (2)外公切线长: CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和。 十四、圆内正多边形的计算 (1 )正三角形 在O O中厶ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进行: OD:BD:OB 1: 3:2 ； O B A (2 )正四边形 同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，OE:AE:OA 1:1: 2 : (3 )正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行， AB