圆与相似 解直角三角形综合题精选有答案

1、FC=FEo(1)求证：FC是O O的切线;解直1. (2012江苏镇江6分)如图，AB是O O的直径，DH AB于点D,交弦AC于点E,2(2)若0 O的半径为5, cos. FCE=_，求弦AC的长。52(2012四川巴中10分)如图，四边形 ABCD是平行四边形，以AB为直径的O O经过点D, E是OO上一点，且/ AED45。(1)判断CD与O O的位置关系，并说明理由;(2)若O O的半径为6cm AE=10cm 求/ ADE的正弦值。19 / 113 (2012福建福州12分)如图，AB为O O的直径，C为O O上一点，AD和过C点的切线互 相垂直，垂足为 D AD交O O于点E.

2、(1) 求证：AC平分/ DAB(2) 若/ B= 60o，CD= 2 3,求 AE的长.相似与圆1 ( 2012广西北海10分)如图，AB是O的直径，AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直，垂足为Do(1 )求证：/ EAC=Z CAB(2)若 CD= 4，AD= & 求O的半径； 求tan / BAE的值。2 (2012山东聊城10分)如图，O 0是厶ABC的外接圆，ABAC=10, BC=12, P是1厂上的一个动点，过点P作BC的平行线交 AB的延长线于点 D.(1) 当点P在什么位置时，DP是O O的切线？请说明理由;(2) 当DP为O O的切线时，求线段 DP的长.A3 . (2

3、012湖北恩施12分)如图，AB是O O的弦，D为OA半径的中点，过 D作CD丄OA交弦AB于点E,交O O于点F，且CE=CB.(1)求证：BC是O O的切线;(2)连接AF, BF,求/ ABF的度数;5(3)如果 CD=15, BE=10, sinA=，求O O的半径.13I 与O O 相离，OAL I 于点 A, OA=5, OA与O O相交于点P, AB与OO相切于点B, BP的延长线交直线I于点C.(1)试判断线段 AB与AC的数量关系，并说明理由;(2 )若PC=2、5,求O O的半径和线段 PB的长;Br*0BFC=FE,FCEABCB=Z FCEd aD OcD.连结DB过点

4、D作DEI BC垂足为点E.（1）求证：DE为O O的切线;dB=ab be【答案】解：（1）连接OC两锐角互余）/ OCA/ FCE=900 （等量代换），即/ OCF=9O0。OCL CF （垂直定义）又/ OC是O O的半径， FC是OO的切线（切线的定义）备用图15. （2012湖北黄冈8分）如图，在 ABC中，BA=BC以AB为直径作半圆O O,交AC于点（2）连接BG AB是OO的直径，/ ACB900 （直径所对圆周角是直角）/ FCZ FEC（等边对等角）/ OA=OC / OACZ OCA（等边对等角）又/ FE（=Z AED（对项角相等）， Z FCE=Z AED（等量代换

5、）又 DFL AB Z OAC-Z AEt=90 （直角三角形OB=OC / OBCZ OCB（等边对等角）Z OCBZ ACB-Z ACO90Z ACOZ OCF-Z ACO（2）求证:AFAO:丄 OBC/FCE22又；cos.MFCE=_cos.MOBC=_。55又TO O的半径为5,. AB=10。2在 Rt ABC中, BC 二AB cos. OBC=10 45.AC 二 AB2 BC2 h：102 -42 =2 21。【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周 角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）要证FC是OO的切线，只要FC垂直

6、于过C点的半径，所以作辅助线 OC由已 知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质， 直角三角形两锐角互余的关系， 经过等量代换 即可得到。2（2）构造直角三角形 ABC由等量代换得到/ OBC/ FCE从而得到cos/OBC=2,5应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。【答案】解：（1）连接BD OD AB是直径，/ ADB=90。/ ABD/ E=45，./ DAB=45，贝U AD=BD ABD是等腰直角三角形。 ODL AB又 DC/ AB, ODL DC CD与O O相切。(2)过点O作OFL AE连接OE1 1 则 AF= AE= x 10=5。2 21/ OA=OE /

7、AOF- / AOE21 / ADE / AOE / ADE：/ AOE2AF 5 在 RtA AOF中 , sin / AOF =-AO 6 sin / ADEsin / AOF:【若点】平行四边形的性质.圆周角宦理，等腰直弟三角形的利定和性质，切线的判定，垂径定理，锐甬 三角函数定义口【分靳】（1）连接OD, BD,由阳为直径，ZAED-S%证得AABD是等膜直角三角册，目卩AD=BD, 然后由等腰三角形的性质，可得0D丄AB,又由四边 ABCD是平行四边形，艮呵证得0D丄CD，目卩可 证得CD与G*0相切.（2）过点0作OF丄AE,连接0E,由垂径走理可得AF=6, ZAOF=lzAO又

8、由圆周角定理2可得ZADE=i ZAOE,从而证得ZAOF-ZADE,然后在Rt2M）F中，求得sinZAOF Mil-即可求得2答案.【答案】解：证明：如图，连接OC/ CD为O O的切线， OCL CD / OCD= 90。/ ADL CD - / ADC= 90。二 / OC0-Z ADC= 180。 AD/ OC / CAD=Z ACQ/ QA= QC - / AC8/ CAQ / CAD=Z CAQ 即 AC平分/ DAB(2) / AB为OQ的直径，/ ACB= 90.又 / B= 60,./ CAD=Z CAB= 30。在 Rt ACD中 CD= 2谆3 , AC= 2CD= 4

9、3。在 Rt ABC中 心 好， AB= COSAZCCAB=需=8。连接QE / EAQ= 2/ CAB= 60, QA= QE - AQE是等边三角形。1AE= QA= ?AB= 4。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质。【分析】（1）连接QC由CD为OQ的切线，根据切线的性质得到 QC垂直于CD由AD垂直于CD可得出QC平行于AD根据两直线平行内错角相等可得出/CA=/ ACQ再由QA= QC利用等边对等角得到/ AC3/ CAO等量代换可得出/ CAD=

10、Z CAO即AC为角平分线。(2)由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出/ACB为直角，在Rt ABC中,由/ B的度数求出/ CAB的度数为30,可得出/ CAD勺度数为30。在RtAACC中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半， 由CD的长求出AC的长，在Rt ABC中,根据cos30 及AC的长，利用锐角三角函数定义求出 AB的长，从而得出半径 OE的长，由/EAO% 60, 及OE= OA得到 AEC为等边三角形，可得出 AE= OA= OE即可确定出 AE的长。【答案】(1)证明：连接 OC/ CD是O O的切线， CDL OC又CDL AE OC/ AE。1 =

11、Z 3。T OC= OA2=Z 3。/ 1 = Z 2,即/ EAC=Z CAB(2)解：连接BC AB是O O的直径，CDL AE于点D,/ ACB=Z ADC= 90。/l = Z2 ,ACDA ABC。AD _ ACAC AB。/ aC= aD+ CD= 42 + 82 = 80,E AB=AC2AD80=10。8 O O的半径为10-2= 5。连接CF与BF。四边形ABCFiO O的内接四边形, / ABO / AFC= 180。 / DFO/ AFC= 180, / DFC=/ ABC / 2+/ ABC= 90,/ DFO/ DCF= 90, / 2=/ DCFE1 = Z 2,.

12、/ 1 = Z DCFCD DFCD242/ CDF=/ CDF DCFA DAC 。 DF-AD CDAD82o AF= AD DF= 8 2= 6。/ AB是O 0的直径，/ BFA= 90。CLCA BF= AB2 -AF2=10 -6? = & tan / BAD=BF 84。AF 63【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相 似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OC由CD是O O的切线，CDLOC又由CDL AE即可判定 OC AE根据 平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得/EAC/ CAB（2）连接 BC易证得 AC

13、DoABC根据相似三角形的对应边成比例，即可求 得AB的长，从而可得O 0的半径长。连接CF与BF.由四边形 ABCF是O 0的内接四边形，易证得厶 DCF DAC 然后根据相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是O 0的直径，即可得/ BFA是直角，利用勾股定理求得 BF的长，即可求得tan / BAE的值。【答案】 解：（1）当点P是BC的中点时，DP是O 0的切线。理由如下:连接AP/ ABAC, AB =AC。A又 PB=PC , PBA =PCA。. PA是O 0的直径。/ PB 二PC , / 仁/ 2。又 AB=AC PAI BC又 DP/ BC DPI PA DP是O

14、 0 的切线。(2)连接0B设PA交BC于点Eo .由垂径定理，得 BE=BC=6。在 Rt ABE中，由勾股定理，得：AE= AB? _BE?二 102 _62 =8。设OO的半径为r，贝U 0Ef8-r,在Rt OB冲，由勾股定理，得：r2=62+ (8- r) 2,解得r=25。4DP/ BC / ABE：/ Do又/ 仁/AB0A ADPBEDPAEAP，即6DP2 25，解得:【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。【分析】(1 )根据当点P是BC的中点时，得出PBA =：PCA，得出PA是OO的直径，再利用DP/ BC得出D

15、PL PA问题得证。(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出 DP的长。【答案】解：(1)证明：连接OB/ OB=OA CE=CB/ A=/ OBA/ CEB/ ABC又 CD! OA / A+/ AED/ A+/CEB=90。 / OBA/ ABC=90.OBL BC BC是O O的切线。(2)连接 OF AF, BF, DA=DO CDL OA OAF是等边三角形。 / AOF=6O。1 / ABF=/ AOF=3O。2(3)过点C作CG_ BE于点G由CE=CB1 EC BE=5。2易证 Rt AD0 Rt CGEABEA ADP即可得出J5 sin / ECGsin / A

16、=一 ,13EG5 CE=13。si nZECG513- CG 二 CEEG?二 132 - 52 =12。又 Ct=15, CE=13,a DE=2,AD DEAD 224由 Rt AD0 Rt CGE# AD =DE，即 AD =2，解得 AD 二。 CG GE12 5548O O的半径为2AD=。5【考点】等腰(边)三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】(1)连接OB有圆的半径相等和已知条件证明/OBC90。即可证明BC是O O的切线。(2) 连接OF AF, BF,首先证明厶OAF是等边三角形，再利用圆

17、周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出/ABF的度数。1(3) 过点 C作 CGL BE于点 G,由 CE=CB 可求出 E(= BE=5,由 Rt AD0 Rt CGE2和勾股定理求出 DE=2,由RtAAD0 RtA CGE求出AD的长，从而求出O O的半径。【答案】 解：(1) ABAC理由如下：连接OBD AB切O O于 B, OALAC / OBA/ OAC9O。/ OBF+Z ABF=90,/ ACP/ CPB=90。/ Of=OB / OBPZ OPB/ OPBZ APC / ACP=Z ABC AB=AC(2)延长AP交O O于D连接BD设圆半径为r,则由OA=5

18、得，OI=O酔r, PA=5 - r。又 PC=2 5 ,一 2AB2 =OA2 -OB2 =孑-r2, AC2 =P& -PA2 =(2同-(5-r)2。由(1) ABAC得 52 -r2 = 2 5 2 -5-r)2，解得：r=3。AB=AC=4o/ PD是直径，/ PBD90。=/ PACCP Ap 2 52/ DPB：/ CPADPBA CPA .”= 即 =上 解得PD BP 6 BP PB= 6 5 o5【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】(1)连接OB,根据切线的性质和垂直得出/ OBA/ OAC90。,推出/ OBF+Z ABf=90,/