微积分二同步练习册最终使用版

1、实用标准文档第五章 不定积分5.3 凑微分法和分部积分法3x(9) dx ；1. 求下列不定积分：(1) e 2xdx ；(2)1 dx ； xln x第 5.15.2 节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“自测题”前的附加材料）x2(10)sin x cos2x dx；2 3cos2 x(3)dx2xx(4)x 1 x2 dx ；dx2xsin xcosx23cos x21x x2 xdxdx(1x22 )d(1 x2)x22 3cos2 x2cos x2 3cos2x d(223cosx)13 2 3cos2xc(5)12x11 2x x21dx ；(6)2sin 1 2x dx ；(11

2、)xsin xcos xdx ；(12x dx ；1 ex1 2xx2d(12xx2)(7) sin2 xcos3 xdx ； (8)14 dx ； sin x2 csc xdctgx2 (ctg x 1)dctgx(13*) xx 1 lnx dx；x ln xe 1 ln x dx文案大全(14dxsin x2cosxctg 3x ctgx cx ln xe dxln xxln x ec12cos xtgxdxd(tgx 2)22tgx1ctgx 2实用标准文档3. 求下列不定积分：(1) arcsin x ln(x 1) dx； (2)2 2xx e dx ；1 x7(1(3)ex si

3、n 2xdx ；(4)x1 x2 ex dx ；(5)sinln xdx ；(6)x2dx 171ln7x7x1x7)dx x71 1)dx7 x1x7 c12 2 dx (12 x)2 dx ln3 243 2 3 arctg 33(x 1)1 x)2 1 x2 dxsectdtgt5. 求下列不定积分：secttgttgtd sectsecttgt2tg 2t sectdtsecttgtsectdtgt sectdt2(1) 已知 f(x) 是e x 的一个原函数，求xf (x)dx ；1 sectdtgt secttgt212x 1 x22ln sect tgt ln 1x c4. 求下

4、列有理函数的不定积分：1x(1) 7 dx； (2) 2 dx.x(1 x7 )1 x x2文案大全f (x) e(2) 已知 ex2xf (x)dxx2, xf (x)dx xe dx2x 是 f (x) 的一个原函数，求xdf (x)x2x(e x )2 x22x2e xxf (x)dx.xf (x) f (x)dx x2ecx2c1x2ec2实用标准文档 5.4 换元积分法1. 求下列不定积分：(1) 1 xdx ； (2)(6) e x dx；(7)(3)1x3x2 dx ；x(4)98xx2101dx法1)原式t 3 1 t12 ( t12 dt)x sint原式法2)原式1 t 2

5、 dttgtsect 23 sec2 tdttg3t3csc tdt csctdctgt(5) xcos xdx ；文案大全1dx ；1 2x 3x1x98dx10122x298sin t101 cos tcostdttg 98tdtgt2 dx ；x(7) ln(11 x)dx x1 xx ,x xcostdtsint costln csct ctgt c1 x2原式 ln(11t 2 11 t)dt2ln(1 t)t22 dt (t 1)(t 1)2csctdtln12 (t 1)(t 1) 214t12dt (t 1)(t 1)2法2)原式ln(11(t141122(t 1)214t11

6、t)dt2111112 ln(1 t)d t 1 ln(11(t 12)2 )dt1t)dt11实用标准文档2*. 求不定积分 2sin x cos x dx. sinx cosx4*. 已知 f (ln x)ln(1 x) ，x求 f (x)dx.2sin x cosxdxsin x cosxsin xdxsin x cosxsin xdxsin x cosx4t(t2 2t 1)(t 2 1)dt1 d(sin x cosx) sin x cosxt 1 t 1 dt2 dt 2t 1 t 2 1t ln x , x et3*. 试求不定积分ln x 12 dx (ln x)2t ln x

7、原式t 1 t2 e dt t21te dt t1te dt tt1edt1t2e dtt21 t t1 e dt e tt文案大全t21etdtttectf (ln x) f (t)f(t) ln(1et et)eln(1f (x)dxln(1 x)xln(1 et )texex)dxe x ln(1e x ln(1ln(1 ex )de xxe)xe)1xdx1ex ln(1 ex ) c实用标准文档第六章 定积分6.1 定积分的概念与性质(3) 02 sin xdx 与 02 xdx；(4 ) 04 tan xdx 与 04xdx1. 利用定积分的几何意义，计算下列定积分：21(1) x

8、 1 dx ； (2 )sin xdx ；23. 利用定积分的性质，估计 Ixe x dx 的大小 .0考察xe x在0,2上的最大值和最小值。2(3) 2 1 x2dx .12. 不计算积分，比较下列各积分值的大小(指出明确的关系，并给出必要的理由 )12(1 ) x2dx 与00xdx；(2 )2 2 2x dx 与 xdx ；1114. 设 f x 在区间 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且满足 f 1 3 3 f x dx ， 0试证：在 0,1 内至少存在一点 ，使得 f0.13113 f x dx f( ) (0 , )033f(1) f ( ) 在 ,1上考察 f (x),连

9、续、可导，满足罗尔 定理的条件1从而有： ( ，1) (0 ，1)，使得 f ( ) 03文案大全实用标准文档5. 试判断下列定积分是否有意义 “可积”），并说明理由 .即，被积函数在相应的积分区间上是否(1) 11dx；(21x2) 0 f x dx，其中 f xx2 , x 12, x 1* 1 2sin 表n6*. 根据定积分的定义，试将极限lim 1 sin sin 2n n n n达为定积分的形式（ 不需要计算出具体的数值结果 ）：12n1i1lim sinsinsinlimsinsin xdxn n nnnnnn0文案大全实用标准文档 6.2 微积分基本定理3求函数 f x1求下列

10、函数关于 x 的导数：x 1/t(1)2 sin3t 1/t dt ；1xu2u 1 u 2 e u du 的极值点 0x2t2(3)et dt ；(4xxxxtsin tdtx sin tdt00x0xtsin tdt x sin tdt2求下列极限：x(1)0 tgudulim2； (2x0x(21 )xtet dt ；x*)xt sin tdt 0xtsintdt0xx tsintdtsin tdt0) lim1x112u u du ；x0x04计算下列定积分：(1)2 1 x3x2 x3 dx；(22 1 1) 1 2 sin dx ；x2x(3)cosx dx ；(42min1,x2

11、dx；(3) lxim0x20 (1cos u)du 文案大全实用标准文档2(5) 1 f x dx，其中 f xxxe , x 1 xxe , x 1Sn1112n12n2 2n n Sn111112n12n2 2n n2 i n nlimn1111dx0 2 xi2n6*试利用定积分的定义及计算原理求解数列极限lim Sn ，其中nb(6)x dx，其中 b 为常数15设 f x 在 0,1 上连续，且满足 f x12x 3 0 f x dx，试求 f x f x dx0 2xdx11(3 f x dx)dx11 3 f x dx00 f x dx3 f (x) 2x 32文案大全实用标准

12、文档6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1. 试利用定积分的换元法计算下列积分：ln 2(1)0ex 1dx ；(2212 x1x1 2 dx ；(5) 0 sinx sin3 xdx.exx10 sin x sin3 xdxsin x cos x dx(3)21 x22 dx ；2x(420x4x2x2dx ；2x sint原式2 cos2t costdt4 sin2 t2(csc241)dt( ctgxx)02 sin x cos xdxsin x cos xdx22. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1) 2 sin2 xln x 1 x2 dx； (2 )x5 3x2 x 1 x2

13、 dx.2ln x 1 x2ln x 1 x2 , 奇函数试证：对于任意常数 a 0，均有20x42xx2 2dx21012 (x2 1)2 1d(x21)1 arctg (x2 1)1(arctg 5)24a321a2x3fxdxxf x dx.020a32dx1a 2 2 2x3fxx2 f x2 dx 20203. 设 f x 是 R 上 的连续 函数1 0 tf (t)dt 1 0 xf (x)dx文案大全实用标准文档4*. 设 f x 是 R 上的连续函数，并满足tetdtx2 ，试求 f x .uxx6. 试计算 2 f x dx 0其中 f xsint dt. tf x t e

14、tdtuxu e duuxu e dusinxx0xe x f ueudu0x( 0 f ueudu) (x2ex)ex f(x) (2x x2 )ex2f(x) 2x x25. 利用定积分的分部积分法计算下列积分：(1) 4 xsin xdx ； (20002 f x dx7*. 已知 f02xf x dx02 sin xdx 1x 是 R 上的连续函数，试证：e2(3) 1 coslnxdx.文案大全2) 0 ln1 x2 dx；xft0xft0xx 0x( 0xt dttfu0dtdt00x0tf t dtdudt)tf u du dt .xdt tf t dt0xf t dt0xf t

15、 dtxx f t dt0x 0 c 0 即证xtf0dttf u du0dt c文案大全实用标准文档实用标准文档6.4 定积分的应用1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积：(1) y x3 4x, y 0 ；23s 2 (4x x3 )dx 82. 假设曲线 y 1 x2 0 x 1 、 x 轴和 y 轴所围成的区域被曲线y ax2 a 0 分为面积相等的两部分，试确定常数 a 的值 .2y1x2y ax1a 1(1 x20x11a1x21a1ax2 )dx1 1 2(1 x2 )dx20a3(2) y x, y x,y 2x .yxx10yxx21y2xx101yxx24117s04(

16、2xx)dx1( x x)dx04483. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积：41(1 ) xy4 1, y 0, x , x 1；绕 x 轴，4vx文案大全141 ( 4 x)2 dx实用标准文档( 2) y x3 , y 0, x 2 ： (i )绕 x 轴23vx0 (x) dx 4C(q)q20 (q2 4q 6)dq 501 3 2q3 2q2 6q 50R(q)q0 (105 2q)dq 105q2 qL(q)R(q) C(q)L (q)R(q) C (q) 99 2q2 qq1 11,q2 （9 舍）L （11）-20 0 ，极大点最大值L(11) 716

17、.3(ii )绕 y 轴8 2 2 64 vy0 22 (3 y)2dy 64055. 已知某产品在定价 p 1时的市场需求量 Q a ，在任意价格 p 处的需求价格弹性为 E pQb ，其中 a0, b 0均为常数， Q为产品在价格 p处的市场需求量。试求该产品的市场需求函数 Q Q p4. 已知某产品的固定成本为 50，边际成本和边际收益函数分别为MC q q2 4q 6，MR q 105 2q，其中 q为产品的销售量（产 量），试求最大利润 .EppQ(p)Q(p)EpbQ(p)文案大全Q (p)Q(p)b p bln pQ(1) aQ(p) bln p实用标准文档6.5 反常积分初步1

18、. 判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛则求其值 .2. 求下列极限：(1)01xdx（ q 为常数）(2)kxedxk 为常数）；1发散1(1)x t 3dt xlim 1x x x t12dt(1 x)q dx1 (11qx)11q发散limxx3t 3dt1xt12dtlimx3x2x0发散(2 )limxxarctanudu01 x2kxedxkx1 k 发散limxxarctanudu0 lim1 x2 x1 x2 arctgx(3)sin x2 dx (其中， q,k 均为常数)1 cos2 xsinx1 cos2 xarctg cosx发散3.判定下列积分的敛散性；若收敛, 则求其

19、值 .(1)2kx11dx，k为常数；k1 , 发散k1,k 02k11k21 1 kx 1 k dx(x1)1 k1k11k1发散 1 k00文案大全实用标准文档3.5,31(2) 0ln xdx；(3)e11 x 1-ln 2 xdx.0 lnxdx1xlnx01 发散3.5 36.5211972225. 计算下列反常积分(提示：利用函数的定义，以及 1 的结果)2e1x 1-ln 2 xdxarcsinln x13(1) 0 e xx2dx ；(2)e x x2 dx04. 利用 函数和 函数的性质，以及11 的结果，分别计算21123.5, 3 .11 9 9 92 2 2 29753

20、122222文案大全3e x x2dx0e x x2dx0x2 e xdx(52)te21t dtt2e tdt(12)*16*. 考察曲线 y 1 ， x 1,xx，试求解：(1) 该曲线与 x 轴和直线 x 1所围成的平面图形的“面积”(2) 上述图形绕 x 周旋转一周所成旋转体的“体积” .31x 2 dx 2x 213(x 2 )2dxx21实用标准文档第七章 多元函数微积分学x型7.1 预备知识7.2 多元函数的概念2 x 22x2 y 2y型D : y x y0y22(3) 由 y2 x 、 yx 2 所围成的区域(x 4)22(0 1)2(022) 2 302. 求过点(1,0,

21、3) ，(2,1, 2) ，(4, 3,7) 的平面方程Ax ByCz D01. 已知点 A(4,1,2)，在 ox轴上找出与点 A相距 30的点 BB( x,0,0)0x1D1 :xyx1x4D2 :x2yxx型 D1 D2y型2y x y 2 D:1y24. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：3. 分别写出下列区域的“ (1) 由 y x 、 x 2 、 x型1x2D:1yx(2) 由 y x2、 yx- 型”与“ y- 型”表达形式： y 1 所围成的区域；y型yx2D:1y22 所围成的区域；1)14文案大全2z arcsin y x2ln ln(14 4x2 y2) ；2yx2

22、4x22) z1x2 y2 1 4实用标准文档22xy22xyex y(x y)2ex y(x 0, y0)(x,y)lim(x y)25. 设 f(x y, y) x2xyu x y,vx2y2，求 f(x,y) x y)eTlimT2(x,y)lim(22xy) x y)eu uv1 v,y 1 vf(u,v)f(x,y)u2 (1 v2)(1 v) 2x2(1 y2 )(1 y)22x y ,x,y7. 设 f (x, y)4 2 , xy0,x,y连续性T e0,0 ，讨论 f(x,y)在点 (0,0)处的0,06. 试求下列二元函数的极限：y kx2x,yf (x,y)0,02xy4

23、2 xyk1 k21)(x,yl)im(0,0)xyxy 1 1lim f ( x, y)不存在，从而不连续。 (x,y) 0,0)lim xy(x,y) (0,0) xy 1 1(x,yl)im(0,0)xy( xy 1 1) 2 xy2) ( x,y)lim(22 xy ) ex y文案大全实用标准文档 7.3 偏导数与全微分1. 求下列函数在给定点处的偏导数：(1) z x x2 y3 ，求 zx(1, 2), zy (1, 2)；2 3x210zxx2 y32 3 zx (1,2)x2 y33zy3x2y 3zy (1,2) 22 x2 y3(4)u (1 xy)z，求 ux(1,2,

24、3), u y (1, 2, 3), uz (1, 2, 3) ux zy(1 xy)z 1 ux(1,2,3) 54z1uy zx(1 xy)z 1 uy (1,2,3) 27uz (1 xy) zln(1 xy) uy(1,2,3) 27ln32. 求下列函数的指定偏导数：(1) z ln(x2 y2) ，求 z ；xz 2xx x2 y2( 2) z cos x y ，求 zx ；xy3) z (x sin y) xy ，求 z y(x sin y) xy xyln( x sin y)ezy3.xy ln( x sin y) e设 f (x,y)xln(x2xy2xsin y)zxsin

25、 x y 2y2x y (x y)文案大全xy xcosy siny0 ，分别讨论f (x,y)在(0, 0)处2 xyx2yx22 xy2xy2是否连续、0, 是否存在偏导数2 xy 22 xyf (0 x,0) f (0,0) f x (0,0) lim 0 x0(x,yl)im(0,0)0 f(0,0),在(0,0)连续 .xfy(0,0) lim f(0,0 y) f (0,0)y 0 y实用标准文档4. 求下列函数的全微分：22 y( x y ) ezxy1yxyxln yzyyx ln xx1xydz(yx y 1yx ln y)dx (x y ln x xyx 1)dy1) z

26、x y y x ；22y ) d y(x22dey(x2y 2)ey(x7. 已知一矩形的长为 6 米、宽为 8 米。当长增加 5 厘米，宽减少 时，求矩形对角线长度变化的近似值。10 厘米dzy2 )22ey(x y ) 2 xydx (x2 3y2)dy22 zxyz zx x zy yxx2 y2zyx2y262262 820.0582262 82( 0.1)0.055. 求函数 z x2y y2在点 (2,1) 处的全微分dz d(x2 y y2)22xydx (x2 2y)dydz(2,1)4dx 6dy6. 计算 1.06 5.03的近似值zxy(x( y y) y x) xzx

27、x zy yzxyxy 1zyx y ln x(10.06)(5 0.03) 15 0.06 0 1.3文案大全实用标准文档7.4 多元复合函数与隐函数微分法1. 求下列复合函数的偏导数或导数：2 z z u z v z w u v 2xyln w 2vln w 2y y u y v y w y w1）2u,uvx 2y,v x 2y，求 z, z ； xyzzuzv2u2 uxuxvxv2 vzzuzv2u( v2)yuyvy2 u2 v2. 设 z f (x2 y2,exy) ，求 z, z xy（2）u 2v ze,u sin x,v3 dz x3 ，求 ； dxdzz duz dvu

28、e2v 2 u 2v cosx 6x edxu dxv dx2zf (x22 y,exy)22xyuxy ,vezzuzv2xf1 yexy f2xuxvxzzuzv2yf1 xexyyuyvy3) z,y2xdz3，求 dx；dzff dydxx y dx22x(x y) (x2 y)(x y)22(x y) (x2 y) 222(x y)23. 设 f (u) 可导， zxnf ( y2 )，证明： x z 2y z nz x x yzn1 nx f (xy2)xn f (u)( 2y3)xxxzn1xn f (u)2yxzzx2ynzxy2 2 2 v ln w, u xy , v x

29、y, w xy2，求 z y文案大全实用标准文档F(x, y) xy yx ln x ln yFxyxy 1yx ln yy x 1 x ln x xy（1）xy ln y lnx0；法1）F(x,y) xylnyln x1Fxy 1Fyx1dyFxyxxydxFyx1y法2）两边微分d(xyln y ln x)01xdyydx 1dy1dx0 dyyxyxx14. 求下列方程所确定隐函数的导数 dy ： dxy法3）两边对 x求导yxy 1yx ln y1xyx11x ln x xyyxFydyFxdxFy5. 求下列二元（三元）方程所确定的隐函数全微分：（1） exy arctan y ；

30、xdexy d arctan yxy xy 1 y 1 0 yx1 yx1 xyexydxyexy(x21 d yexy ( ydx xdy)1 (yx)2 xx2y )(ydx xdy) ydx xdy2) xy yx ln xy 文案大全dyy1 exy(x2 y2) dxx1 exy(x2 y2) dxy y x ( z z(x,y)的xxdy2 xydx实用标准文档(2) 2xz 2xyz ln( xyz) 0 法1)微分 d2xz 7.5 高阶偏导数2zdx2xyz ln( xyz) 02xdz 2yzdx 2xzdy 2xydz1dx 1dy 1dz 0 xyz1. 设 z2 x2

31、y2 , 求 2zx2zxydz2x12z 2yzx dx12xy2xz 1y1dy22xy2x2 x2y22x 2xy法2)F(x,y,z)2xzxxFx2z2yz2xyz1ln( xyz)Fy2xz 1 yFz2x 2xyFxFz2z 2yzFyFzx1 2x 2xyz2xz 1y1z2x 2xydzzdxxzdyy文案大全zxy22x2yxy22 xy2. 设 z sin(x2 y)zx 2xy cos(x 2 y)zxx 2ycos(x2y)2zyx 2x cos(x y)2z2zyx22zy x cos(x y) 2x2 y2 sin(x2y) 2x3 ysin(x2 y)3. 设

32、f (u,v) 可微 , zf(x2y,ln( xy),2z 求xy实用标准文档zuzv1zx2xyf1f2uxvxxzxy(zx )2xf12xy f11f2yyxyf1f1 uf1v21x f11f12yuyvyyf2f 2 uf2v21x f 21f2yuyvyy代入即可。5. 设 z3 2xz y3d(z3 2xz y) 0dz2z23z2 2xdx0 ，求13z2z 2z z2x 3z2 2x y2z ( z)x y y xxy2xdy13z2 2x4. 设 f(s,t)可微, u f(2x 3y,ey z)，求令uz 2zx 3z2 2x2f (x,z), 则 z ( z)x y

33、y xu yu ssxutyzf2tx12u2( u)3f1ey zf2y2yyyyf1f1sf1t3f11ey z f12ysytyf2f2sf2t3f21ey z f22tysyy代入即可。22(3z2 2x) 2z 6z22(3z2 2x)213z22xuy4x(3z2 2x)3文案大全实用标准文档7.6 多元函数的极值1. 求 f(x, y) xy xy2 x2 y的极值22z x y4. 求曲线上到 xoy 平面距离最短的点xy 12 2 2 22. 求u x x2 y2在区域 D (x,y) |x2 y2 1 上的最大值与最小值5. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品，

34、 商品在两个市场 上的需求量与定价分别满足 p1 18 2q1, p2 12 q2，其中 p1, p2分别 是该产品在两个市场上的价格 (单位：万元 /吨)， q1 , q 2分别是该产品在两 个市场上的需求量 ( 单位：吨 ) ，且该企业生产这种产品的总成本函数为 C 2(q1 q2) 5 。如果该企业实行价格无差别策略， 试确定两个市场上 该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化。3. 求 z xy在条件 x 2y 1， x,y 0下的最值文案大全文案大全实用标准文档文案大全实用标准文档实用标准文档7.7 二重积分1. 将二重积分 f x, y dxdy 按两种次序化为累次积分，

35、 其中积分区域 D D分别给定如下：（1） D 由曲线 y x2 与直线 y 1所围成；1 2x x23) 0 dx 0f(x,y)dy22dx10xf(x,y)dy 3） D 由直线 yx ， y 2x ， x 3 所围成3. 计算二重积分：(1)(x2 xy y2)d|x| 1,|y| 12. 交换积分次序：1x2 y 2(1) 0dx x f (x, y)dy；(2) 0dy y2 f(x, y)dx；(2)y cos(x y)d0x0 y x文案大全实用标准文档3) yexydxdy，其中 D由 xy 1,x 2, y 1所围成 D5. 画出区域 D ，并把 f (x, y)dxdy

36、化为极坐标系下的二次积分： D( 1) D(x, y) | 1 x2 y2 4 ；2) D(x, y) | 2x x2 y2 4x 4. 计算累次积分：1 1 21) 0dx xey dy ；2)0 dxx sin ydyy6. 利用极坐标变换计算：(x, y)| 1 y 1, 2 x2y；22( 1) (x2 y2)dxdy， D D文案大全2)(x y ) dxdy x2 y2 4x实用标准文档9. 计算二重积分 | x2 y2 4 | dxdy x2 y 2 97. 用二重积分计算曲线 y x2 ， yx 围成的平面图形的面积10*. 试证明下列命题：(1)若 f(x),g(x)连续于

37、a,b，则8. 用二重积分计算由坐标面与平面 x 2y 3z 6所围立体的体积b 2 b 2 b 2 a f(x)g(x)dx2 a f 2(x)dx ag2(x)dx；文案大全实用标准文档2)若 f(x), g(x) 在0, 1上均连续、单增，则f (x)g( x)dx10 f ( x)dx10 g( x)dx 文案大全实用标准文档第八章 无穷级数 8.1 常数项级数的概念和性质(2)n 2 n n 1 n2 2n(3)ln nn 1 n 11.利用下列级数un的部分和 Sn,求 u1,u2和un以及和值 S.n1(1) Sn 3n ； (2) n1Sn2n4n3已知级数un 收敛，且和值为 S ，证明：n1(1) 级数 (un 1n1un 2) 收敛，且和值为 2S 2u1 u2 ；2. 判断下列级