微积分上理工课程试题A附其答案

1、微积分（上）理工 课程试题（ A）、求解下列各题（每小题 5 分，共 25 分）分数评卷人题号一二三四五总分分数合分人：复查人：x2 x 1,x 11. 设 f(x) 2，求 f(1 a) f(1 a)，其中 a 0.2x x2, x 12.求 limx02 sin x1 ex1|x|3.求 lim3sin x sin3x3x1 / 114. 已知 F(x)在 1,1上连续，在( 1,1)内F (x)1 2 ,且F(1) 3 ,求F(x).1 x22n25. 讨论级数 n (c 0)的敛散性 . n 1 c、求解下列各题(每小题 6 分，共 30 分)分数评卷人211.0,2x x2 sin

2、, x 0 设 f (x) x , 求 f (0) .x02. 求 f (x) 3 / 11 (x 2) 的极值 .3. 设 y y(x)由方程 f (sin x) sin f (y) f(x y) 所确定 , 其中 f(t) 可导 , 且 f ( y )cos f (y) f (x y). 求dy.4.dx2x 2sec2 t 设2y tsec t tant5. 将 f(x) x2 12x 3展开为 (x 1)的幂级数, 并指出其收敛区间4 / 11、求下列积分（每小题 7 分，共 28 分）1. 求 sin4 xcos5 xdx.2.x求 (1xeex)2dx.3.1 x arcsin x

3、0 1 x2dx.5 / 11分数评卷人34. 求 2 cosx cos3 xdx.2四、应用题（共 10 分）分数评卷人6 / 11设曲线为 y ln x .(1) 求该曲线过原点的切线方程 ;(2) 求由上述切线与曲线及 x 轴所围平面图形的面积 ;(3) 求(2)中平面图形绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积五、证明题(共 7 分)分数评卷人7 / 11x若 f (x) 在 ( , ) 上连续 , 且 F(x) (x 2t)f(t)dt. 证明: 当 f (x) 为单调递减时 , F(x) 必定单调递增 .2009 级微积分(上)理工课程试题(A) ( 答案 )一1 解：原式 =2(1

4、 a) (1 a)2 (1 a)2 (1 a) 1= 2a2 a2 解：f (0 ) limx02 sin x11 exf (0 ) limx03 解：2112 sin x1 xx1 ex011故原式 =13cosx 3cos3 x原式 =limx03x2sinx 3sin 3x = lim x0=4 52x分F(x) arcsin x( 1 x 1)4 解：( 1 x 1)1F(x) dx arcsin x c1 x28 / 11级数收敛；(n 1)2 u n 1 5 解： lim n 1 lim c 2 n un n n2 n c 故当 0 c 1 时，级数发散； 当 c 1 时，但 c

5、1 时，lim un 0 ， n级数发散。1 解：f (0) lim f(x) f(0) x021 2x x sin lim x x 0 x 0 xlim(2x0xsin ) 2 0 2 x2 解：2y33 (x 2)当 x 2时， f ( x )不存在，且当 x 2 时， f (x) 0 ；当 x 2时，f (x) 0所以 f (2) 3是 f ( x)的极大值。3 解： df (sin x) dsin f (y) df(x y),f (sin x)cos xdx cos f (y) f (y)dy f (x y)(dx dy)dyf (x y) f (sin x)cos xdxf ( y)

6、cos f (y) f (x y).4 解： dxdy y(t) x(t)22sec t 2t sect sect tant sec t4sec2 ttant解出 d 22y dx(y)t x(t)24sec ttant1 cos3 t8 sint1 1 15解： f (x) 14 x13 x119 / 111x1211x12n 0( 1)n x21n 0 281n 01 ( 1)n x21 n n 0(2x2n12)2nx121可知， 1 x 3 。1解:原式= sin4 xcos4 xd (sin x)sin4 x(1 sin2 x)2d(sin x) (sin4 x 2sin 6 x s

7、in8 x)d(sin x)1 5 2 7sin x sin57x 1sin9 x c9解 : 原式 = xd1 exxx1 ex1 e1 x dxx1 exxedxx dx1 exx x x ln(1 ex) c1 ex3 解: 原式= 02 t sin tdt= t( cost) 0202costdt 14 解：原式 =2 2 cosx cos3 xdx02 02 cos x sin xdx 2cos xd (cos x)四 解：432(cos x) 2302 4310 / 11111)设切点为 (c,ln c), 又 y(c),切线方程为 y lnc (x c)cc1让 x y 0 代入上式可得 c e ，故切线方程为 y 1 xe2)3)1eS e 1 ln xdx211e ee (xln x x) 1121 21 2y 1 2Vye dy e 1y 0 31 2 2ee(1e2y)2五 证明 :xxF(x) x 0 f (t )dt 02tf(t)dt,xF (x) 0 f(t)dt xf(x)xf( ) xf(x) x f ( ) f (x), 介于 0与 x之