弹簧振动规律

1、阻尼振动周期由于质点的运动不可能每经过一定时间便完全重隻出现，因此阻尼振动不星周期运动。 不过COS(G)计是周期变化的，他使得质点每连续两次通过平衡位置并沿着相同方向运动所 需的时间昱一样的，于是把ccs(3计的周期叫做阻尼振动的周期用表示。与数学上通常理 解的周期不同。原创)弹簧振子会永远振动吗？(图)科学的皇后20080708 23:21:39阅读161评论1()字号：大中小订阅上次周法哲说到一个弹簧振子，假定滑块是一个质点，质量为m,质点运动 的动能和弹簧的弹性势能不断互相转化，滑块会在初始位置()点的左右永远振 动下去，貝振幅保持为A不变。如下图所示：弹簧 滑块-A O A光滑平曲-

2、A Ox描述这个弹簧振子系统的振动方程为d2x+ a)2x = 0(1)可以看出它是一个二阶齐次线性常微分方程，其解可为:x = A cosQa)t + p0)其时域波形如下图，是个正弦波:3(但是，实际上由于振子系统不是完全孤立的，除受系统内部弹簧的弹性力外, 还受系统外界的干扰作用。比如滑块体积不为（），运动中必然受空气的阻力；平 面不光滑，滑块受到摩擦力。这些摩擦力会消耗一部分机械能转化成热量散发到 系统以外。这些“反动”作用叫做摩擦阻尼。一般的机械振动中，振动的质点带 动邻近的质点振动，振子的部分机械能必然传递给邻近的质点，即振子的能量要 辐射出去一部分，振子系统的这种能量耗散叫做辐射

3、阻尼。无论摩擦阻尼还是辐射阻尼的作用，事实上都会使振子系统的机械能有所耗 散。所以实际中的振子系统不可能永远振动下去。这种受外界阻尼作用的振动， 物理学上叫做阻尼振动。精品阻尼振动系统描述仍然可用微分方程，只不过需要考虑阻尼因素的作用。在 振动速率VVV光速C时，阻尼作用相当于振子受到了 一个正比于振动速率V的 阻力f:(3)根据牛顿第二定律可得振子系统的振动方程为:d2x dx乔+ 2临+心=0其中A8 =2m称为阻尼系数。而可以看作系统固有的谐振圆频率。可以看出式（4）是一个二阶齐次线性常微分方程，它所描述的系统会做什么样的运动？关键要看阻尼作用的大小。下面听周法哲为你一一分析：1、当没有

4、阻尼作用时，即阻尼系数卩=（）时，方程（4）回到简谐振动方程（1）,其解可为式（2）所表述的正弦波函数，系统永远作等幅振动。2、当阻尼作用较小时，即阻尼系数满足条件仔2 时，方程（4）的解可为：%（t） =cos（3t + cp）（5）其中A（）和甲为由初始条件决定的积分常数，振动的“圆频率”为3 =（爲_仔2式（5）表述的振子位移曲线x （t）如下图：可以看出其振动“周期”没有变，但振幅却按照指数规律衰减，从初始的最 大振幅为A0逐渐衰减为()，振子最终稳定下来，静止在平衡位置。这就是我们 通常所说的阻尼振动或阻尼振荡。3、当阻尼作用刚好达到某种平衡时，即阻尼系数满足条件时，方程(4)的解可

5、为：x(t) =+(6)其中cl和c2为积分常数。式(6)表述的振子位移曲线x (t)如下图:可以看出阻尼作用抵消了振子振动的机械能，恰恰形不成周期振动，质点运 动的速率较小，在系统能量消耗完毕时，恰好回到平衡位亶，静止下来。这就是 我们通常所说的临界阻尼情况。4、当阻尼作用较大，超过临界值时，即阻尼系数满足条件时，方程(4)的解可为：%(t) = c)e_BN + CqC 一卩其中cl和c2为积分常数，并且:式(7)表述的振子位移曲线x (t)如下因:可以看出阻尼作用大大牴消了振子振动的机械能，根本形不成周期振动，质 点运动的速率很小，需要经过相当长的时间过程，才能回到平衡位亶静止下来。 这

6、就是我们通常所说的“过阻尼振动”情况，实际上毫无“振动”可言。世界上大部分物体振动，实际上都属于上述各种情况的阻尼振动，宏观上系 统振动能量不衰减的等幅振动或等幅振荡，一定是在特殊条件下的理想状态。实验13气垫导轨上弹簧振子振动的研究力学实验晟困难的问题就是库擦力对测量的影响。气垫导轨就昱为消除廓擦而设计的力 学实验的装暨，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的.直接接触，从而消除运动物 体与导轨表的廓擦，也就昙说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行 许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐抿动、阻 尼抿动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振于

7、的振动。一、必做部分：简谐振动实验目的1 测量弹簧振于的振动周期T。2. 求弹簧的倔强系数和有效质量 。仪器仪器气垫导轨、滑块、附加祛码、弹簧、光电门、数宇毫秒计。实验斥理在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所 示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。设质量为4的滑块处于平衡位置，每个 弹簧的伸长量为口，当m距平衡点x时，m 只受弹性力与的作用，其中人是弹簧的倔强系數。根据牛顿第 二定律，其运动方程为图13-1简谐运动原理图（1）令方程（1）的解为（2）说明滑块昱做简谐振动。式中：A振煩；一初相位。（3）叫做振动系统的固有频率。

8、而（4）式中：k振动系统的有效质量；6L弹簧的有效质量；6滑块和祛码的质量。精品由振动系统本身的性质所决定。振动周期7*与 有下列关系:（5）在实验中，我们改变4,测出相应的7；考虑卩与加的关系，从而求出 和 。实验内容1. 按气垫导轨和计时器的便用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。2. 测量图1*1所示的弹簧抿于的振动周期重复测量6次，与T相应的振动系统的有效质量昱，其中m就昱滑块本身（未加祛码块）的质量，为弹簧的有效质量。3. 在滑块上对称地加两块袪码，再按步骤2测量相应的周期T,这时系统的有效质量,其中他应昱滑块本身质量加上两块袪码的质量和。4. 再用和测量相应的周期T。戎中：“4块

9、袪码的质量”；“6块祛码的质量”。（注意记录每次所加祛码的号数，以便称出各自的质量。）5测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。6. 在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。7. 求出弹簧的倔强系数和有效质量 ，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。数据处理1. 用逐垦法处理数据。由下列公戎：如果由（7）式得到的敎值星一样的（即两者之差不超过测量误差的范圉），说明（5）式中厂与加的关系星成立的。将平均值代入（6）式，得精品,4)(10)平均值就昱弹簧的有效质量。2. 用作图法处理数据以 为纵坐标,m为横坐标，作图，得直线。其斜率为，截距为，由此可求出公和皿。思考題

10、仔细观察，可以发现滑块的抿幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块昱做简谐振 动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？二、选做部分：阻尼振动陕验目的】1. 观测弹簧振予在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对教 减缩、驰豫时间、品质因数?的方法；2. 利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量人实验仪器气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，數宇亳秒计，附加物。实验原理一个自由振动系统由于外界和内部的原因，便其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰 减，最后停止振动，这就是阻尼抿动。在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上 不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，振荡

11、电路中的电流、 电压变化等也昱阻尼振动。本实验的阻尼谐振于由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。此时滑块除受弹 簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力 尸甩和滑块的速度成正比，即(11)图12阻尼振动眼理图式中b为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力和阻 尼力尸肚作用下，滑块的运动方程为(12),其中常数称为阻尼因数， 为振动系统的固式中加为滑块质量。令 有频率，则式(12)可改写为当阻力较小时，此方程的解为(13)(14)精品图 13-3其中,而阻尼振动周期T为(15)由以上可知，阻尼振动的主要特点昱：1. 阻尼

12、振动的振轄随时间按指数规律衰减，如图13,即。显然，振幅衰减的快慢和阻尼因教 的大小有关，而，因而和粘性阻尼常量b及振于质量m有关。2. 阻尼振动周期T要比无阻尼振动周期略长，阻尼越大，周期越长。为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩、弛豫时间尺品质因数Q来表 示。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振権及能量衰减的快慢，而且提供了粘 性阻尼常量b的动态测量方法。(1) 对数减缩昱指任一时刻r的振幅 3和过一个周期后的振幅/!(井刀之比的对数，即(16)将代入上式，得( 即测出，就能求得或人(2) 弛豫时间它昱振幅竝衰减至初值C1 (=0.368)倍所经历的时间，即 所以(18)(

13、3) 品质因教Q一个振动系统的品质因素又称Q值，是一个应用恢为广泛的概念，它在交流电系统尺 无线电电于学中星一个很常见的术语。品质因数星指振动系统的总能量与在一个周期中 所损耗的能量DE之比的2p倍，用Q表示，则(2-19)阻尼振动中，能量的损耗昱由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的 大小乘以运动速率r,即等于在振动时，bM是一个变量，可用一个周期中的平均 值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中的能量损耗DE等于一个周期中克服阻尼 力作的功，所以精品而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，卫均等于总能量的一半,因而综合式(20)、(17)、(19),得出(20)(21)从以上的讨论可知，只要测出阻尼抿动的对教减缩，就能求出反映阻尼抿动特性的其 它量，如。陕验内容1-利用半衰期法求 。测定滑块、弹簧组成的阻尼谐振于的对数减缩 ，弛豫时间 及品质因数Q。半衰期昱指阻尼振动的振幅从初值竝减到竝/2时所经历的时间，记为Thi则由此可得参照式(16)可得，(22)用停表测出阻尼谐振予的振搐从儿减小到竝/2的时间7；及周期计算对数减缩 进而求出 和Q值以尺阻尼常量b值。2.考查振于质量尺弹簧的劲度系数&对阻尼振动各常数的影响。在滑块上附加质量、改换不同劲度系敎的弹簧再测值，从对比中分析其影响。思考題1. 阻尼振动周期比无阻尼(