初二升初三数学衔接教程

1、初二升初三衔接课程 数 学第一部分：初二内容回顾第 17 章 反比例函数一反比例函数的定义k形如 y （k 为常数，且 k 0 ）的函数统称为反比例函数，其中 x 是自变量， xy 是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数。反比例函数的表达形式还有 y =kx -1( k 是常数， k 0) ，xyk（k 0）。例题 1：（1）已知 y 是 x 的反比例函数，当 x2 时，y8，写出 y 与 x 的关系 式，并求当 y4 时，x 的值；（2）已知点（1，-2）在反比例函数 反比例函数的图象和性质二y =kx的图象上，则 k=_。1反比例函数的表示方法和一次函数一样，反比例函数有表

2、达式法，列表法，图象法三种，下面主要讲述 图象法，填写下面表格x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 y =6 xy =-6 x利用上面表格上的数据在下面直角坐标系中用描点法画出两个函数的图象，对比 两个图象。反比例函数的图象由两条曲线组成，且随着 x 的增大（或减小），曲线越来越接 近坐标轴。反比例函数的图象属于双曲线 。第 1 页 共 33 页2反比例函数的图象和性质 ，如下表：函数图象性质双曲线，位于第 一，三象限，在每k0个象限内，y 随 x 的增大二减小，与反比例函数 y （ k 0 ）kxx 轴，y 轴无交点双曲线，位于第 二，四象限，在每kk k b. k

3、 k kc. k k kd. k k k4与反比例函数图象有关的图形例题：如图所示，反比例函数 y =4x在第一象限的图象上一点 p，过 p 点分别作两条直线垂直于 x 轴和 y 轴，交点分别是 a，b 求四边形 oapb 的面积。例题：p 为反比例函数 y =kx（k0）图象上任意一点，pq 垂直于 x 轴，垂足为q，设 poq 的面积为 s，则 s 的值与 k 的关系是_。例题：如图，正比例函数 ykx（k0）与反比例函数 y =1x的图象交于 a，c 两点，过 a 点作 x 轴的垂线，交 x 轴于 b， 过 c 点作 y 轴的垂线交 y 轴于 d，连结 ab，bc，cd，ad。 求证：当

4、 k 去不同正数时，四边形 abcd 的面积是常数。练一练：1.如图， doap 和 dabq 均式等腰三角形，点 p，q 在函数 y = 上，直角顶点 a，b 均在 x 轴上，求点 b 的坐标_。4x( x 0) 的图象第 3 页 共 33 页5.求反比例函数解析式： （1）利用已知点代入解例题：已知反比例函数 y =kx( k 0) 的图象经过点（ 1，-2），则这个函数的表达式是_，当 x0) b. y =- ( x 0)x xc. y =1 1( x 0) x x练一练：如图 1 所示，一次函数与反比例函数的图象分别是直线 ab 和双曲线。直线 ab 与双曲线的一个交点为 c，cd 垂

5、直 x 轴于点 d， od =2ob =4oa =4 例函数的解析式。求一次函数和反比（3）根据实际应用求出例题：近视眼的度数 y（度）与镜片的焦距 x（m）成反比例，已知 400 度近视眼 镜镜片的焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为_。 练一练：已知圆柱的侧面积是 6m2，若圆柱的底面半径为 x（cm)，高为 ycm ).（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）完成下列表格：第 4 页 共 33 页（3）在所给的平面直角坐标系中画出 y 关于 x 的函 数图像三反比例函数的实际应用例题 9：在某一电路中，保持电压不变，电流 i（安培）与电阻 r（欧姆）成反比例当电阻

6、r=5 欧姆时，电流 i=2 安培 (1)求 i 与 r 之间的函数关系式；(2) 当电流 i= 0.5 安培时，求电阻 r 的值；(3) 如果电路中用电器的可变电阻逐渐增大，那么电路中的电流将如何变化？ (4)如果电路中用电器限制电流不得超过 10 安培，那么用电器的可变电阻应控制 在什么范围内？练一练：1.某蓄水池的排水管每小时排水量 12m3, 8h 可将满池水全部排空 (1)蓄水池的容积是多少？(2)如果增加排水管，使每小时的排水量达到 x（m3)，那么将满池水排空所需的时间 y（h）将如何变化？(3) 写出 y 与 x 之间的关系式；(4) 如果准备在 6h 内将满池水排空，那么每小

7、时的排水量至少为多少？(5) 已知排水管每小时的最大排水量为 24m3，那么最少多长时间可将满池水全部 排空？k2.反比例函数 y 和一次函数 y=mx+n 的图象的一个交点为 a（-3，4），且一x次函数的图像与 x 轴的交点到原点的距离为 5.(1) 分别确定反比例函数与一次函数的解析式；(2) 设一次函数与反比例函数图像的另一个交点为 b ，试判断aob（点 o 为 平面直角坐标系原点）是锐角、直角还是钝角？并简单说明理由3.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y(m)是面条的粗细(横截面积)s(mm2)的反比例函数,其图像如图所示

8、(1）写出 y 与 s 的函数关系式(2）求当面条粗 1.6mm2时，面条的总长度是多第 5 页 共 33 页x1少米？练习题：m51.如图所示，该图象是反比例函数 y 的一支。根据x图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数 m 的取值范围是多 少？（2）在该图象上取一点 a（a，b）和点 b（c，d）。 如果 ac，那么 b 和 d 有什么关系？2.如果 y 是 z 的反比例函数，z 是 x 的反比例函数，那么 y 与 x 具有怎样的函数 关系？43.如图所示，直线 ykx（k0）与双曲线 y = 交于 a（ x , y ），1 1b（ x , y ）两点，则 2 x y -7

9、x y 的值等于_。2 2 1 2 2 1k4.如图，直线 y =k x +b 与双曲线 y = 2 只有一个交点 a（1，2），x且与 x 轴，y 轴分别交于 b，c 两点，ad 垂直平分 ob，垂足为 d，求直线和双曲线的解析式。5.如图所示，直线 ykx+2 于 x 轴，y 轴分别交于点 a，b，m点 c（1，a）是直线与双曲线 y = 的一个交点，过点 c 作xcd y 轴，垂足为 d，且 dbcd 的面积为 1。（1） 求双曲线的解析式；（2） 若在 y 轴上有一点 e，使得以 e，a，b 为顶点的三角 形与 dbcd 相似，求点 e 的坐标。第 6 页 共 33 页aoc6.如图所

10、示，矩形 aocb 的两边 oc，oa 分别位于 x 轴，y20轴上，点 b 的坐标为 b（- ，5），d 是 ab 边上的一点。3将 daod 沿直线 od 翻折，使 a 点恰好落在对角线 ob 上 的点 e 处，若点 e 在以反比例函数的图象上，那么该函数 的解析式是_ 。17.如图，已知反比例函数 y = 的图象上有一点 p，过点 p，x分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 a，b，使四边形 oapb 为正方形，又在反比例函数的图象上有一点 p ，过1p 分别作 bp 和 y 轴的垂线，垂足分别为 a ， b ，使四边 1 1 1形 b a p b 为正方形，求点 p 的坐标。1

11、1 1 18.如图所示，如果函数 y-x 与 y =4x的图象相交于 a，b 两点，过点 a 作 ac垂直于 y 轴，垂足为 c 则 dboc 的面积为_。9.图中正比例函数和反比例函数的图像相交于 a、b 两点, 分别以 a、b 两点为圆心,画与 y 轴相切的两个圆.若点 a 的 坐 标 为 （ 1,2) ， 则 图 中 两 个 阴 影 面 积 的 和 是 .k10.如图，rtabo 的顶点 a 是双曲线 y = 与直线xx =-x+(k+1) 在第四象限的交点， ab x 轴于 b 且 3s = ,2(1）求这两个函数的解析式；(2）求直线与双曲线的两个交点 a、c 的坐标和aoc 的面积

12、第 7 页 共 33 页勾股定理一、选择题（每题 2 分，共 30 分）1、观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20;其(4)中能7,作为24,直角25.三 角形的三边长的有( )组a. 1 b. 2 c. 3 d. 42、下列说法中, 不正确的是 ( )a. 三边长度之比为 5:12:13的三角形是直角三角形a. 三个角的度数之比为 1:3:4的三角形是直角三角形b. 三个角的度数之比为 3:4:5的三角形是直角三角形c. 三边长度之比为 3:4:5的三角形是直角三角形3、如图，在水塔 o 的东北方向 32m 处有一抽水站 a,

13、在水塔的东南方向 24m 处有一建筑工 地 b ，在 ab 间建一条直水管，则水管的长为（ ）（a ）40cm (b)45cm (c)50cm (d)56cm北aa西东p南b30bc（第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） 4、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30夹角， 这棵大树在折断前的高度为a 10 米 b 15 米 c 25 米 d 30 米二、填空题5、 (2005 年沈阳)在abc 中，ab 2，ac 2 ，b 30o ，则bac 的度数是_.6、 （2005 年山西）如图，将矩形 abcd 沿直线 ae 折叠，顶点 d 恰好a de落

14、在 bc 边上 f 点处，已知 ce 3cm ，ab 8cm ，则图中abf 和efc 的面积和为_bfc三、解答题（每题 10 分，共 40 分）7、初春时分,两组同学到村外平坦的田野中采集植物标本,分手后,他们向不同的方向前进,第 一组的速度是 30 米/分,第二组的速度是 40 米/分,半小时后两组同学同时停下来,而此时两组 同学相距 1500 米.(1) 两组同学行走的方向是否成直角?(2) 如果接下来两组同学以原来速度相向而行,多长时间后能相遇?第 8 页 共 33 页8、如图,一架长 2.5m 的梯子,斜靠在一面竖直的墙上,这时梯子底端离墙 0.7m,为了安装壁灯, 梯子顶端需离地

15、面 2m,请你计算一下,此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远?第 19 章四边形一 平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ 行四边形 abcd 记作“ abcd”。1. 平行四边形性质：平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线相互平分（可否自己证明之？）例题 1 ： 如图， ab dc ， ad bc ，如果”表示。平b =50 ，那么相等的角和边有 。 例题 2：下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是ba dc中点 中点a 中点2. 平行四边形的判定（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题 3：如图：abcd

16、 是平行四边形，abc=70 ，be 平分 abc 交 ad 于 e，df/be， 交 bc 于 f，求 1 的大小。第 9 页 共 33 页（2）对角线相互平分的四边形是平行四边形 （可否自己证明？）例题 4：如图：四边形 abcd 中，ad=12，do=bo=5，ac=26， adb=90 。求 bc 的长和四边形 abcd 的面积。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （能否自己证明？）例题 5：在四边形 abcd 中，adbc，且 ad bc，bc6cm，p、q 分别从 a、 c 同时出发，p 以 1 cm/s 的速度由 a 向 d 运动，q 以 2cm/s的速度由 c 向 b

17、 运动，问几秒时，四边形 abqp 是平行四边形？1例题 6：已知点 a(2，0) 、点 b （ - ，0）、点 c （0，1），以 a 、2b 、 c 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在 （ ）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限练一练：1一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形一定是平行四边形。()2 四边形 abcd 中，如果 abbc，cdad，那么四边形 abcd 是平行四边 形( )3 在四边形中，有一组对边平行，还有一组对角相等，那么它是平行四边形( )4 在四边形中，有一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形()5 对角线相等的四边形是平行四边形( )6 有

18、两组对角分别相等的四边形一定是平行四边形( )7 四个角都相等的四边形一定是平行四边形( )8 一条对角线经过另一条对角线的中点，那么这个四边形是平行四边形()9. 如图，点 d、e 分别是 dabc 的边 ab、ac 的中点，第 10 页 共 33 页1求证 de/bc，且 de= bc。2*由上题可知，三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二 特殊的平行四边形1. 矩形有一个角是直角的平行四边形叫矩形，也就是长方形矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等*能否证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例题 7：如图，矩形 abcd 中，e 是 ad 中点，判断bce 是什么

19、三角形？为 什么？若ebc70，求bec 的度数。矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形例题 8：bd、be 分别是abc 与它的邻补角的平分线，aebe，adbd，求证：四边形 aebd 是矩形。例题 9：如图，已知平行四边形 abcd 中，e 是 bc 的中点，且 eaed。求证：四 边形 abcd 是矩形adbe c对角线相等的平行四边形是矩形例题 10：已知：平行四边形 abcd 的对角线 ac 和 bd 相交于点 o， aob 是等边三角形，ab4cm求这个平行四边形的面积第 11 页 共 33 页有三个角是直角的四边形是矩形例题 11：已知：平行四边形 abcd 四个内角平分

20、线交于 e、f、g、h. 求证：四边形 efgh 是矩形。agdhfbec矩形练习：1 一组对边相等，另一组对边平行，对角线相等的四边形是矩形。( )2 有三个角相等的四边形是矩形。( )3 如图，mnpq，同旁内角的平分线 ab、cb 和 ad、cd 分别交于点 b、d 猜想 ac 和 bd 的位置关系是证明你的猜想。2. 菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的四条边都相等菱形的两条对角线相互垂直平分，并且每条对角线平分一组对角菱形的判定 ：（1）一组邻边相等的平行四边形叫做菱形例题 12：已知如图，四边形 abcd、四边形 debf 都是矩 形，ab=bf，be、ad 交于点 m，b

21、c、df 交于点 n，试 说明四边形 bmdn 是菱形。ea m dbn cf（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形例题 13：如图，已知 ad 平分bac，de/ac，df/ab,ae=5. （1）判断四边形 aedf 的形状？（2） 它的周长为多少？（3） 四边相等的四边形是菱形第 12 页 共 33 页例题 14：如图，已知在 abcd 中，ad=2ab，e 、f 在直线 ab 上，且 ae=ab=bf， 证明:cedf.例题 15：已知菱形的两条对有线长分别为 6 和8，求菱形的面积。例题 16：如图，四边形 abcd 是菱形，bac30，bd6cm，求bad、abd 的度数，求 ab

22、 的长。例题 17：如图 448，cd 为 rtabc 斜边 ab上的高，bac 的平分线交 cd 于 e，交 bc于 f，fgab 于 g求证：四边形 egfc 为菱形。菱形练习1 有一条对角线平分一组内角的四边形是菱形。( )2 两条对角线垂直且相等的四边形是菱形。( )3 菱形对角线的交点到各边的距离相等。( )4 菱形的一个顶点到它所对的两边距离相等。( )5 有一组邻边相等的平行四边形式菱形。( )6 一组邻边相等，且对角互相垂直的四边形是菱形。( )7、如图，o 是矩形 abcd 对角线的交点，deac，cebd，试说明 oe 与 cd 互相垂直平分。3. 正方形正方形四条边相等，

23、四个角都是直角，所以，正方形既是矩形，又是菱形例题 18：e，f，m，n 分别是正方形 abcd 四条边上的点，且 ae=bf=cm=dn,四边 形 efmn 是甚么图形？证明你的结论。正方形判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形第 13 页 共 33 页例题 19：如图 abc 中，点 o 是 ac 上一动点，过点 o 作直线 mnbc，设 mn 交acb 的平分线于点 e，交ach 的平分线于点 f。（1） 说明：eofo；（2）当点 o 运动到何处时，四边 形 aecf 是矩形；（3）当 o 是 ac 上怎样的点，且 ac 与 bc 具有什么关系时，四边形 aecf 是正方形？（2）

24、有一组邻边相等的矩形是正方形例题 20：如图，在abc 中，c90，a、b 的 平分线交于点 d，debc 于点 e，dfac 于点 f.求证： 四边形 cfoe 是正方形（3）对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形 正方形练习1.如图，e 是正方形 abcd 外一点，aead ，ade 75，求aeb 的度数。2.对于周长为 20 的矩形，通过填写下表，研究它的长、宽的 变化对面积的影响。矩 形 的 8 7 6 5 4 3 长矩 形 的 宽矩 形 的2面积观察数据，你有什么结论？三 梯形梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，两腰相等的 梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的

25、梯形是直角梯形。等腰梯形的两个底角相等，等腰梯形的对角线相等反过来，同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形例题 21：如图，等腰梯形 abcd 中，ad2,bc=4,高 df2，求腰 dc 的长。例题 22 ：如图，梯形 abcd 中，adbc，m、n、第 14 页 共 33 页p、q 分别为 ad、bc、bd、ac 的中点。求证：mn 和 pq 互相平分。 a m dp qb n c例题 23：已知：梯形 abcd 中，abcd，e 为 da 的中点，且 bc=dc+ab。求证：beec。梯形练习1 若等腰梯形一腰上的两个内角的度数之比为 13。则它的各个内角的度数分 别是2 已知梯形 ab

26、cd 中，adbc，abcd，c60，ad3cm，dc5cm， 那么梯形 abcd 的周长是3 如图，等腰梯形 abcd 中，adbc，abc72，平移腰 ab 到 de，再 将dce 沿 de 翻折，得到dce，则edc 4 如图，adbc，abcd，bd 平分abc ，adb30，ad3cm，求梯形 abcd 的周长。5如图，adbc，dbcacb30，adc2dcb求adc 和dcb 的度数；求bdc 和dca 的度数。6、如图，梯形 abcd 中，abcd，adbc，acbd1于 e，cf 是梯形的高，试说明 cf (abcd)2第 15 页 共 33 页2第二部分：新知识第 21 章

27、 二次根式1.二次根式的定义： 形如 a （ a 0 ）的式子叫做二次根式。注意：二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，因为； a（ a 0） 表示非负数 a 的算术平方根，是一个非负数。例题： 使式子 x -4 有意义的条件是 。2.二次根式的性质：（1） a （ a 0 ）是一个非负数；（2） a =a（ a 0 ）.（3）思考：上述性质（3）反过来，也可以表成例题：已知a 0，则aa2的值为（ ）a. 1 b. -1 c.1d. 以上答案都不对3.二次根式的乘除法：（）二次根式乘法： a b = ab ( a 0, b 0).注意： ab = a bc 成立的条件是 a 0,

28、 b 0 。思考 ：反过来 ab a b ( a 0, b 0) 。例题：把 (2-x)1x -2根号外的因式移到根号内，得（ ）a.2 -xb.x -2c. - 2 -xd. - x -2（）二次根式的除法： a a= ( a 0, b 0) b b第 16 页 共 33 页注意：a a=b b成立的条件是 a 0, b 0 。思考：反过来a a ，a，b 需要满足什么样的条件呢？ b bx例题：能使等式 =x -2xx -2成立的 x 的取值范围是（ ）a. x 2b. x 0c. x2d. x 2最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1） 被开方数的因数是整数；（

29、2） 被开方数中不含能开方的因数或因式；注意：（1）的要求是被开方数中不含分母（ 2）的要求是被开方数中每个因式的 指数都小于 2。例题：若最简二次根式 3 x -102 x +y -5和 x -3 y +11 是同类二次根式。1. 求 x、y 的值。2. 求 x、y 平方和的算术平方根。5.二次根式的加减：（1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，这几个二次根式 就叫做同类二次根式。（3） 二次根式的加减：二次根式的加减，就是合并同类二次根式。二次根式加减运算的一般步骤：1. 将每一个二次根式化简为最简二次根式；2. 找出其中的最简二次根式，合并同类二次根式。例

30、 1：已知 a 满足 | 2007 -a | + a -2008 =a ，求 a -20072的值。例 2：已知 a =11 + 31 -2 a +a 2 a 2 -2 a +1 ，求 。a -1 a2 -a第 17 页 共 33 页22例 3：(1)若 ab0da 0且b 0思考：多少？- 19的整数部分是多少？小数部分是多少？-1.3 的整数部分是多少，小数部分是第 18 页 共 33 页作业：1.选择题：（1）已知 xy 0 ，化简二次根式 x-yx 2的正确结果为（ ）a.yb.-yc. - yd. - -y（2）若 18 x +2x 2+x =10 ，则 x 的值等于（ ） 2 xa

31、. 4 b. 2c. 2 d. 4（3）若 3 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，则 3 x -y 的值是（）a. 3 3 -3b.3c. 1 d. 3（4）若式子 (x1)2+|x2|化简的结果为 2x3,则 x 的取值范围是（）a、x1 b、x2 c、1x2 d、x0（5）式子 m m +6mm45m21m的值是（ ）a、正数 b、负数 c、非负数 d、可为正数也可为负数（6）等式 x 1x =x1x成立的条件是（ ）a、0x1 b、x0,b0),求a+b3a+5b的值。13 已知 x0，y0，且有 x ( x +2 y )= y (6 x +5 y )求x+ xy y2x+ xy +

32、3y的值。14. 设等式 a(xa) + a(ya) = xa ay 在实数范围内成立，其中 a、x、y 是3x2+xyy2两两不同的实数，求 的值。x2xy+y2第 22 页 共 33 页a、 b、 c、 d、第二十二章 一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数 式 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2） 一元二次方程的一般形式： ax2+bx +c =0( a 0) 。其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。注意：三个要点，只含有一个未知数；所含未知数的最高次数是 2；是整 式方程。例题：方

33、程： 2 x21- =1 2 x 3x2-5 xy +y2=0 7 x2+1 =0 y 22=0 中一元二次是 （ ）a. 和 b. 和 c. 和 d. 和 2；必须是整式方程。例题：当 a_时，关于 x 的方程ax 2 +x 2 +x +4 =0是一元二次方程例题：方程3x ( x -1) =2( x +2) +8化成一般形式是_2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如 ( x +a ) 2 =b (b 0) 的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 x +a = b 或者 x +a =- b ， x =-a b 。注意：若 b0，方程无解例题：将方程x2-6 x +3 =0左边

34、配成完全平方式，得到的方程是（ ）( x -3) 2 =-3 ( x -3) 2 =6 ( x -3) 2 =3 ( x -3) 2 =12例题：解方程(2 x -1) 2 =9（2）因式分解法：一般步骤如下：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为 0； 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。例题：解方程3x 2 -11x -4 =0第 23 页 共 33 页( x +2) 2 =3 ( x +4) 2 =3 ( x +2) 2 =-3（3） 配方法用配方法解一元二次方程 ax2+bx +c =0

35、( a 0) 的一般步骤1 二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数；2 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；1 配 方 ： 方 程 两 边 都 加 上 一 次 项 系 数 一 般 的 平 方 ， 把 方 程 化 为( x +m )2=n ( n 0) 的形式；用直接开平方法解变形后的方程。 注意：当 n 0 时，方程无解例题：将方程x 2 +4 x +1 =0配方后，原方程变形为（ ）a b c d( x +2) 2 =-5例题：解方程2 x 2 +3 x -1 =0（4） 公式法： 一元二次方程 ax2+bx +c =0( a 0) 的求根公式：x =-b b2 -4 ac

36、2a（ b2 -4 ac 0 ）一般步骤：将方程化为一般形式ax2+bx +c =0( a 0) ；确定方程的各系数 a，b，c，计算 b2-4 ac 的值；当 b2-4 ac 0 ，将 a，b，c 以及 b2-4 ac 的值代入求根公式，得出方程的根 x =-b b2 2a-4 ac注意: 当 b2-4 ac 0 时，方程无解；公式法是解一元二次方程的万能方法；利用 b2-4 ac 的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；例题：解方程( x +2)(2 x -1) =2第 24 页 共 33 页1 21 22213. 一元二次方程的根的判别式一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判

37、别式b2-4ac当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根，当0 时，方程没有实数根例题 .利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填 空题中，如：关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（ ） （a）有两个相等的实数根 （b）有两个不相等的实数根（c）没有实数根 （d）不能确定例题：若关于 x 的方程 x2+2（k-1）x+k20 有实数根。则 k 的取值范围是（ ）1 1 1 1 ak dk 2 2 2 2例题：已知实数 m，n 满足 m2-7m+20，n2n m-7n+20，则 + _。m n4. 韦达定理（根与系数

38、关系）（1）我们将一元二次方程化成一般式 ax2+bx+c0 之后，设它的两个根是 x 和 x ，1 2则 x 和 x 与方程的系数 a，b，c 之间有如下关系：1 2b cx + x - ； x x a a可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。*实根与虚根。（2）如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x ，x ，那么 x +x =-p，x x =q1 2 1 2 1 2（3）以 x ，x 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x +x )x+x x =01 2 1 2 1 2例题：设 x ，x 是方程 2x26x30 的两根，则 x 2x 2 的值是（ ） 1 2 1 2（

39、a）15 （b）12 （c）6 （d）3例题：已知关于 x 的方程 x2+kx-60 的一个根是 2，另一个根为_，k 为_。例题：当 m2 时，使关于 x 的方程 x2-4x+m0 有两个不相等的非零实数根 x ，1x xx ，此时相应代数式 1 + 2 _。x x2 1例题：已知 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+3）x+m20 的两个不相等的1 1实数根，且满足 + =-1，则 m 的值是（ ）a ba3 或-1 b3 c1 d-3 或 1例题：设 x ,x 是方程 2x2+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： 1 2x x(1) (x +1)(x +1)

40、 (2) + （3）x 21 2 x x 11 2+ x x +2 x 1 212第 25 页 共 33 页5. 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似1 “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；2 “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；3 “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有 未知数的等式，即方程。4 “解”就是求出说列方程的解；5 “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方 程。例题：某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁 1250 m2，因为准备工作不足，第一天少拆了 20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了 1440 m 2 。求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；（2）若第二天，第三天每天拆