自旋模型简述

1、自旋模型简述1、自旋的基本概念与表述自旋是电子的基本性质之一，是电子内禀运动量子数的简称。电子自旋的概 念是由Uhlenbeck和Goudsmit为了解释碱金属原子光谱的精细结构以及反常 Zeeman效应而提出的。他们认为电子的运动与地球绕太阳运动相似，电子一方 面绕原子核运动，从而产生了相应的轨道角动量；而另一方面它又有着自转，其 自转的角动量为?/2，并且它在空间任何方向的投影都只能取两个值，即？/2（也就是自旋向上和向下两个状态），与自旋相对应的磁矩则是e?/2mc。当然，这样带有机械性质的概念是不正确的， 而自旋作为电子的内禀属性，是标志电子 等各种粒子（如质子、中子等）的一个重要的物

2、理量。对于自旋这个自由度，我们一般用算符？表示（这里的记号A表示算符，在下 文中为了简便我们将略去这一记号）。因为自旋角动量与轨道角动量有着相同的 特征，所以一般也认为它们具有相同的对易关系，即s s=i?s。在这里我们引入泡利算符s= ?/2。由于s沿任何表象的投影都只能取?/2两个值，即 沿任何方向的投影只能取1这两个值，所以泡利算符的每个分量都可以用2 2的矩阵来表示。我们一般采用z分量对角化的表象，得到其矩阵表示：0 10 i10(1-1)这样的表示就是著名的Pauli矩阵2、自旋模型的形式2.1物质的磁性与自旋模型由于原子核的磁矩很小，物质的磁矩可以看成其轨道磁矩和自旋磁矩之和 电子

3、的总磁矩 （轨道磁矩 +自旋磁矩） ，直接体现为物质的宏观磁性。而对于过渡 金属的原子或离子， 因为轨道角动量的冻结， 其磁性主要来源于未配对电子的自 旋磁矩。对于物质的磁性， 很早以来就有着广泛的研究， 比如 Langevin 的顺磁理论， Wiess 的分子场理论， Bloch 的自旋波理论。这些理论中，原子 （ 离子）都具有磁 矩，而磁矩之间存在着一定的相互作用。 在绝对零度以上， 每个原子都在做热振 动，磁矩的方向也在作同样的振动， 而磁矩间的相互作用又使得每个磁矩趋向于 某种有序的排列，这就是物质宏观磁性的来源。磁矩之间的相互作用有很多种：1、经典的磁偶极子之间相互作用。2、交换相互

4、作用 （ 也称直接交换相互作用 ） 。氢分子模型、海森堡交换模型 就是采用这一类的相互作用。 交换相互作用没有相应的经典对应， 它来自于电子 间的库伦作用以及量子力学的全同粒子系特性。 下面所说的其它种类的交换相互 作用也是基于这样的原理。3、超交换相互作用 （ 也称间接交换相互作用 ） 。这种相互作用由 Kramers 于 1934 首先提出，用于解释反铁磁性的自发磁化的起源。它是阳离子的电子以氧 离子的 p 电子为媒介进行间接的相互作用。4、RKKYf目互作用。这种相互作用由Ruderman Kittel 、Kasuya以及Yosida 提出的，是一种以巡游电子为媒介， 使得磁性原子 （或

5、离子 ）中的局域电子自旋与 其邻近的磁性原子 （或离子 ） 中的局域电子自旋产生的交换相互作用。5、双交换相互作用。以氧离子为媒介，两个不同价态的过渡族粒子间之交 换相互作用。在锰氧化物中，这种相互作用就起到了十分重要的作用。以上的几种相互作用中， 除了偶极间的相互作用是一种经典的相互作用， 而 其余的几种交换相互作用却是基于体系的量子特性， 即全同粒子的特征。 这样的 相互作用，在我们研究物质的磁性以及其它以磁性相关的性质， 或者以磁性变化 为主导的相变时，起着至关重要的作用。对于这类的磁性原子体系， 我们认为它们位于某种晶格格点位置上， 通过磁 矩进行相互作用， 我们可以建立一种自旋模型来

6、进行描述， 其最基本的形式可以 写成如下的哈密顿量：HJi,jSxs； SySjy J-j SiZsZ ,(1-2)i ,ji, j这里的Si是自旋算符，上标x, y以及z为Si在三个方向的投影，可以分别对应 泡利矩阵的三个分量。Jij和Jjz代表着位于格点i和格点j上原子磁矩之间的 相互作用，这样的相互作用可以是我们之前所说的几种交换相互作用中的任意一 种。对于自旋算符Si，我们可以做如下的变换：s =sx isy，这里s+算符将自旋 向上的状态转换为自旋向下的状态，而s-算符则是将自旋向下的状态转换为自旋 向上的状态。哈密顿量(1-2)可以重新表达为如下的形式：Ji,jSSji,j 2S

7、Sjzz zJi,j s sj。i ,j(1-3)对于哈密顿量(1-2)和(1-3)，当我们取J ij =Jzij时，就成了 Heisenberg模型；取Jij =0时，这个哈密顿量是对角化的，自旋只有向上和向下两种取向，即72，这样的模型就是著名的Ising模型；而如果J：j=O时，得到的则是XY模 型。2.2 Heise nberg 模型简述在Weiss提出分子场假说20年后，Heisenberg提出了电子间的交换相互作 用导致了自发磁化的产生，并且按这一模型，也就是Heisenberg模型计算了自发磁化随温度变化的性质，为铁磁性量子理论的发展奠定了基础1。假设系统是均匀的，只考虑最近邻相

8、互作用，Heisenberg模型的哈密顿量可以写成如下形式：H J Si SjBh S，(1-4)i, ji其中Si表示位于格点i处的自旋，是矢量(sx, sy, sz)，J是交换相互作用常数， 这里我们取J0代表铁磁相互作用，而J0代表反铁磁相互作用，b为Bohr磁矩，h是外磁场。图1.1氢分子电子云分布示意图我们知道交换相互作用和任何一种经典的相互作用都没有对应， 它是一种量 子行为，是由粒子的全同性产生的相互作用。 为了理解这种特殊的相互作用，通 常以氢分子这种最简单的模型为例来说明。如图1.1所示，一个氢分子的系统，由两个原子核 a，b,以及两个电子1,2组成。rmn代表粒子m与粒子n

9、之间的距离，其中 m n=a，b，1，2，且m n。氢分子的哈密顿量可以写为:2222 e2 eH- 122mra1ra22 e2 e2 e2 e(1-5)rb1rb2r12rab(1-6)Ha 12212 e2mra122Hb 22e22mrb2222V 1,2eeer12ra2rb1其中耳(1)与H(2)是两个孤立氢原子的哈密顿量，V(1, 2)是两原子间的相互作用，而哈密顿量(1-5)中的最后一项是常数，对本征态没有影响。我们用a(1)与b(2)分别代表Ha(1)与H(2)两个本征态，贝U a(1)b(2)(1-7)是下列Schr?dinger方程的本征态:H a 1 H b 1 V 1

10、,20E00 ,有粒子的全同性可知 a(2)b(1)也是Schr?dinger方程(1-7)的本征态(相当于将电子1与电子2互换)。考虑到电子自旋的波函数，以及对 Fermi子波函数 反对称的要求，我们可以写出氢分子基态波函数的近似形式：I a 1b 2b 1a 2A 1,2， (1-8)II a 1b 2b 1a 2s 1,2这里a(1,2)与s(1,2)分别是电子波函数的单态和三重态。所以，I态两电子 反平行，而II态两电子平行。从哈密顿量(1-5)出发，这两个波函数所对应的(1-9)能量为:2 eUJEi2E。2rab12 eUJEh2E02rab1其中U是库伦排斥能，而J是交换相互作用

11、能，为a，b原子波函数的重叠积分:2d 1d 2这里a 1 b 2V1,2 a 2 b 1 d 1d 2 ，(1-10)1,d 2为电子1，2的全空间积分，而 显然是在0和1之间的。因此对于能量E和Ei我们，当JvO时，E0时，EivE，两电子趋向平行排列。这和我们之前对于Heisenberg模型的描述是一致的。从以上对于氢分子模型的计算，交换相互作用能是量子力学的结果，虽然它和库伦势同样和电子间的库伦相互作用有关，但我们并不能找到其经典的对应 从直观上看， 交换相互作用能来源于电子波函数的交叠， 在交叠区域电子是不可 识别的，如果我们仍然按照处理宏观粒子的方式对其标识， 则不可避免的会引入

12、交换相互作用能。从 Heisenberg 模型我们知道了 Weiss 的分子场实际上是交换相互作用 的平均场。而 Heisenberg 模型作为一种量子磁性最基本的相互作用模型已 经被运用于极为广泛的领域。在某一些物质中， 部分未配对电子会被局域在离子实周围。 当这部分局域电 子数目较多 ( 一般来说大于 3) 的时候，我们可以在一定程度上忽略其量子效应， 即电子的自旋 s 可以不再被看成是算符而是一个经典的磁矩。比如在锰氧化物 中，Mn离子的3d轨道上的电子可分为两类，一种叫 eg电子，另一种叫t?g电子。 其中eg电子是可以通过双交换相互作用在 Mn离子之间移动的，而t2g电子则是局 域在

13、Mn离子周围的。这一体系的哈密顿量可以简单的写成2:Hta di di aJHsi Si JAF Si Si a ，(1-11)ia i ia其中Si代表eg电子，用Pauli算符；而S代表12g电子，由于有三个12g电子局 域在Mn离子周围，所以S可以看作是自旋为3/2的磁矩。哈密顿量的第一项代 表双交换相互作用；第二项是Mn离子内部的Hund相互作用，也就是eg电子(Si) 与t2g电子(S)的相互作用；第三项不同格点t2g电子间的Heisenberg相互作用。HeiSenberg 模型的许多拓展也在物理学各个领域中得到运用。如果我们在HeiSenberg 模型引入了各向异性能，就得到了各

14、向异性HeiSenberg 模型(AniSotropic HeiSenberg Model) :(1-12)相互作用 (DMx2JSiSj BhSiDSii, jii在此哈密顿量中，我们引入了 x 方向的单轴各向异性晶体场 D。 在 HeiSenberg 模型中还可以加入了 DzyaloShinSkii-Moriya 相互作用 )3,4 :H J si sjD a ri si sji, j i ,jBhsi ，i(1-13)其中ri是位于格点i的原子（离子）的的位移，叭）是DM矢量。这一模型被认 为是多铁性材料 5-7 以及磁性金属材料 8-13 中螺旋自旋序产生的根源。关于 螺旋自旋序及其相

15、关问题我们将在第二章内做详细地讨论。2.3 Ising 模型简述Lenz曾向他的学生Ising提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising于1925 年发表了他对此模型求解的结果 14 ，所以这个模型被称为 Ising 模型。当时 Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。 另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下， 这个模型也不存在自发磁化。 这 个推断在后来被证明是错误的。1936年 Peierls 论证了二维或三维的 Ising 模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解 15 。 1944 年， 当Onsager给出了二维Ising模型的严

16、格解之后，Ising模型开始引起人们广泛 的关注16,17 。这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地 证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发， 在热力学极限下能导致热力学函数在 临界点附近的奇异行为，而Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多 人又相继发表 Ising 模型的各种不同解法， Baxter 甚至有篇论文叫 Ising 模型 的第 399种解法。但至今没有被学术界公认的三维 Ising 模型精确解。甚至有 人发表论文证明无法解出三维 Ising 模型的精确解， 因为三维 Ising 模型存在拓 扑学的结构问题。 人们通常用分子场理论及其改进理论、 高温级数

17、展开、 低温级 数展开、重整化群理论、蒙特 - 卡罗模拟等近似计算三维 Ising 模型的居里温度 和临界指数，而其中 Wilson 于 1971 年发展的重整化群理论能以较高精度计算三 维 Ising 模型的近似结果 18-20 。我国科学家张志东提出三维“ Ising 模型” 精确解猜想 21 。张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识： 低维空间的扭曲和 纽结可以被高一维空间的旋转打开。 通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的 权重这两个猜想作为处理三维 Ising 模型拓扑学问题的边界条件， 并应用这些猜 想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格 Ising 模型的配分函数。 当系统的对称 性

18、越高，居里温度也越高。他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解， 在二维系统具有最高对称性的正方 Ising 模型 具有最高的居里温度白银解。获得的结果具有一定的对称性和美学价值，并可部 分返回到二维和一维的结果。当然，推定的精确解正确性取决于猜想的正确性， 而且其与学术界通常接受的评价标准尚不完全吻合，有待于对相关的物理本质作 进一步探讨。因此，这一工作目前还只是停留在猜想阶段。今天的Ising模型根本不再是Ising博士论文中的模样。每年差不多有6000 篇左右的论文研究这一模型。除了铁磁性之外，该模型还应用于很多方面，如合 金中的有序-无序转变、液氦到

19、超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、 玻璃物质的性质，甚至于神经网络蛋白质折叠、生物膜场论甚至社会现象等广泛 的领域。通过上述介绍，我们知道三维Ising模型尚未得到严格解，而一维和二维情 况下的解法确是多种多样的。在这里，我们将给出Ising模型的严格解，采用的 是1941年 Kramers和 Wannier提出的转移矩阵方法(Transfer Matrix Method)22-24。然后简要地说明二维Ising模型严格解的主要结果，并且同平 均场理论所得的结果进行对比。HHHHH-I I 1 4 I 9 I I- 1 23456739 10A-I -V图1.2 一维Ising模型示意

20、图。对于如图1.2所示的Ising模型，自旋只能取向上或向下两个分量，它可以 看作是Heisenberg模型的一种简化。当只考虑最近邻的交换相互作用，并认为 这种相互作用在不同磁矩间是相同的， 用常数J表示。和Heisenberg模型相同， 当J0时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向； 当J0代表铁磁相互作用，b为Bohr 磁矩，h是外磁场。对于一维情况，每个自旋只有两个近邻。现在采用周期性边 界条件，即Sn.i=Si, N为晶格中的自旋数目。现将一维晶格弯成一个环，当N 时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。根据如上的条件，可将哈密顿量 (1-14)写为：SiS

21、i 1Bh2Si(1-15)S 1其相应的配分函数为:QT,hS11SNexp11 JSS 1 呼 S S 1。2kpT(1-16)在这里我们引入矩阵P,其矩阵元定义为:1sP S 1 expkBTJss 1(1-17)因为Si与Si+1都能亡取1两个值，所以P是22的矩阵:P (si1PSi 11)佃1PS 1P(Si1Psi 11(Si1PS 1J eBh /kgTe J%T。e JkBTeJ Bh kBT(1-18)于是配分函数(1-16)可以重新写成:QT,hS P S2 八 S2 P S3Sn1 P Sn)(Sn P S2)Si 1 Sn 1(s, PN s) Tr P(1-19)将

22、P矩阵对角化得,(1-20)+和即为矩阵P的本征值，由下面的久期方程决定，b h rkBTJ kBT e BeJ Bhe BJ kBT1 kBT(1-21)其解为:eJ kBTcosh 也kBTcosh2 Bh 2e J kBT sinh 2JkBTkBT(1-22)要注意的一点就是现在将等式(1-20)代入(1-19)，配分函数可以表达为:QT,h(1-23)所以，当N 时，我们得到:lim l nQT,h In N N(1-24)J_ kBTln COsh kTcosh2Bh kBT2e JkBT sinh2J7即配分函数有P矩阵较大的本征值决定。体系的自由能和总极化强度分别为:F T,h

23、NkBTQT,hJ kBT cosh *kBT(1-25)cosh2BhkBT2e J kBT sinh2JkBT(1-26)sinh 卫kBT其它的热力学函数也可同样由自由能求出。如图1.3所示，在计算中我们选取交换相互作用常数J=1kB0都有M(T, 0)=0，也就是说Ising模型在一维的情况下不存在自发磁化，不会发生顺磁-铁磁转变。从物理上看，任何温度下自旋的平均取向由两个对抗的因素相互竞争决定，即能量趋向最小而熵趋向最大，使得自由能达到最小值。在一维 情况下，由于近邻数低，使得自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾 向，结果在任何有限温度下都不能形成自发磁化。1.005运00-

24、0 5-10tanzoKHWE；/ =0K0h 7 -图1.3 一维Ising模型在不同温度下，磁化强度M随外场h的变化曲线图1.4 一维Ising模型在有限温度下长程序被破坏的示意图如同上文所说，当自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向时，自旋往往会在一个较小的尺度内保持着同方向的排列，形成所谓短程序(ShortRangeOrder)，而在较大的尺度内失去这种有序的状态，也就是破坏了所谓长程 序(Long Range Order)。当我们使用蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)来计算 一维Ising模型，常常得到如图1.4所示的结果，在某个小范围内，如从格点1到格点4

25、(或者从格点5到格点10)体系可以看作存在自发磁化，而在整体上 看(从格点1到格点N)向上的自旋和向下的自旋数目在统计上看是相等的。对于二维Ising模型，我们考虑正方晶格，每个自旋有4个最近邻。在零磁 场下，系统的自由能可以表达为：FT,0 1 ,In QT,0NN。(1-27)1 1 1In 2sinh2 Jd2 2 0其中 cosh ( )=cosh2 cosh2 -cosh sinh2 sinh2 ，而 =J ，丄-1-2 J=ta n e 。系统内能则可以写为：1 2u T,0F J coth2 J 1 m K1 m ，(1-28)N这里的K(m)是第一类椭圆积分,K1 mm2si

26、n2(1-29)其中m=sinh2 J/cosh 22 J，m =2tanh22 J-1。而临界点由下式确定:(1-30)kBTC 2.269J。所得热容量为:CbT,0NkB0.49451n 1Tccon st,(1-31)这样的热容量在临界点处具有对数发散的奇异性。计算自发磁化的时候，我们采用杨振宁的方法25。他计算了在弱磁场 h下，系统的自由能，最后令h 0,得到磁化强度的表达式：TcTc(1-32)M T,004 1 8N B 1 sinh2 J而对于平均场近似（Mean Field Approximation ，简称MFA所得的磁化强度可以表达为：M T,hN btanhqJM 1k

27、pTBh(1-33)其中q是最近邻自旋的数目，对于二维正方晶格来说 q=4图1.5严格解与平均场近似所得二维Ising模型磁化强度的比较在图1.5中，与平均场近似所得的解（Tc=4K）相比，严格解（Tc=2.269K）有着 更低的临界温度Tc,而且磁化强度在T Tc-0有着更陡的温度变化率。平均场近 似忽略了系统的涨落，而涨落是倾向于破坏有序的，所以在平均场近似下所得的 Tc是高于实际体系的，磁化强度的变化也反映的这一特点。在这里我们需要注意， 在平均场近似所得的结果中，Ising模型在一维的情况下存在着自发的磁化，这 个结果是错误的。在前文我们提过，在一维系统中由于近邻数目低，系统的涨落 完

28、全抑制了有序，而平均场近似忽略了系统的涨落才得到了有序相。Ising模型自Ising提出后，有了很多的发展，不仅是解法的多样化，其具 体形式也发生了不少变化。Ising模型的一些重要拓展成为描述相变（比仅仅是 磁性）等问题重要工具。比如说横场伊辛模型 （Transverse-field Ising model,简称TIM）,它是于1963年由Gennes提出26。TIM是在Ising模型的基础上考 虑了 横向外场的作用，所谓横向外场，是指外场的方向垂直于Ising模型中 自旋投影的方向。在这里横向外场可以看作是晶体内部横向遂穿效应的一种等 效，从而可以应用于零温的量子相变。TIM的哈密顿量可以

29、写成：H J s：sZsX ,（1-34）i,ji这里 是横向场，也可以看作是遂穿积分，决定了从一个势能极小态到另一个势 能极小态的遂穿几率。TIM被广泛运用到多种体系，比如量子自旋玻璃，量子弛 豫，量子磁滞，量子铁电等，详细的内容我们将在第三章中做具体的阐述。我们再说Ising模型的另一种拓展形式弹性伊辛模型（Elastic IsingModel，简称EIM）。我们知道，晶体中的原子（离子）受到其周围的原子（离子）作 用，被束缚在晶格格点，也就是平衡位置周围做微小的振动，可以用劲度系数 （stiffness factor） k来描述。在EIM中，交换相互作用J不再是常数，而是同 离子间的距离

30、存在某种类似于弹性能的关系，新的弹性作用使得原子产生位移， 出现新的平衡位置。当自旋以某种有序状态排列时，弹性交换相互作用使得晶格 中的某些原子产生同向的位移。这样的特性对于解释某些自旋共线排列的多铁性 材料有着重要的意义，我们将在第四章中作具体的介绍。2.4 XY模型简述XY模型是Ising模型的延伸，允许自旋在（xy）平面内转动。当仅考虑最近 领交互作用时，体系的哈密顿量可以表示为：H J Si SjJ cos i j ，（1-35）ijij这里 J 表示交换作用常数， Si 为位于格点 i 的自旋， 求和包括所有的最近邻晶格 点，9 i为第i个自旋相对于x轴的夹角。对于XY模型，最为重要

31、的就是它的 KT相变。早在1966年，Mermin和 Wagner就严格证明了对于二维或二维以下具有连 续对称性和短程相互作用的自旋体系， 在有限温度下由于热扰动或量子波动不可 能形成长程序。所以在二维 XY模型中，不可能存在长程的磁有序。1973年，J. M. Kosterlitz 和 D. J. Thouless 提出了拓扑序和拓扑性相变的概念，建立了 二维XY模型的KT相变理论。他们在研究二维 XY模型时发现：低温下局域自旋 会形成正反涡旋两两配对， 当温度升高到相变的临界温度时， 这种配对被热运动 所拆散，出现独立运动的正反涡旋。这种新的相变被称为 Kosterlitz-Thoules

32、s 相变（KT相变）。它的特点是：尽管体系在相变点两侧的序参量总为零，但是温 度的变化会引起关联函数和拓扑性质的本质性改变， 是一种拓扑相变。 具体来说， 体系存在两个相： 低温下的准长程有序， 关联函数以幂指数形式衰减， 所以也称 为代数磁有序； 高温的无序相， 关联函数以 e 指数形式衰减。 前人的工作表明二 维四方晶格铁磁XY模型的KT相变温度Tkt 0.92。2.5 自旋模型的研究方法 自旋模型看似简单，但严格的求解却十分困难。就连其最简单的形式 Ising 模型的求解也经历了重重困难， 而直到现在 Ising 模型在三维情况下的解依然是 一个难以攻克的难关。 对于实际的体系， 模型将

33、更加复杂， 而严格求解也更为困 难，因此一系列近似求解的方法便发展起来。 近似的方法可以简化计算， 但免不 了产生这样那样的误差， 有着各自的优缺点， 因此对于方法的选用就须要格外注 意。下面我们将介绍几种近似的处理方法：1) 平均场理论 (Mean Field Approximation ，简称 MFA)。平均场近似的方法可以说是最早被提出求解自旋模型的方法， 比如说 Weiss的分子场理论就是一种平均场理论。这个方法忽略了各种格点自旋之间的关联， 把近邻自旋的作用用一种集体的平均作用来进行代替， 从而忽略了涨落。 这样就 可以把多粒子相互作用的系统转化为近独立粒子系统， 大大简化了计算。

34、但是由 于这种近似忽略了涨落，在涨落较强的体系中，比如一维体系或准一维体系中， 它往往难以得到令人满意的结果。我们前文也说了，用平均场近似处理一维 Ising 模型时可以产生自发磁化，这是与事实完全相背离的。所以在遇到类似的 情况时，我们要尽量的避免使用平均场近似，或者对其形式做出某种修正。2) 相关有效场理论 (Correlated Effective Field Theory)。这种方法在平均场理论的基础上考虑了静态自旋关联的多体效应， 通过微分 算符技术和退耦近似等数学处理来对自旋模型的计算进行简化 27 ，所以在很大 程度上比平均场近似更能反映自旋模型所描述的物理现象的微观本质。3)

35、级数展开法 (Expansion Method) 。这种方法就是利用适当变量的幂级数展开来计算配分函数， 只要展开项足够 多，就可以很好地反映临界点附近的热力学性质。 对于某些较为理想的模型仅仅 计算几项就足够了，对于大多数模型则十分繁琐， 比如说计算三维 Ising 模型时， 需要 40 多项的展开式才能达到令人满意的精度 28,29 。4) 重整化群方法 (Renormalization Group Technique) 。 重整化群理论建立在标度理论和普适性的基础上， 提供了从微观上计算临界 指数的系统方法。 重整化群的基本思想是： 在临界点关联长度趋于无穷大， 因此 体系应该具有尺度变

36、换下的不变性， 由此不需要直接计算配分函数， 而是找尺度 变化下的不变性，从而确定临界点并计算出临界指数 18-20 。重整化群方法对 于自旋模型的计算可以达到一个很高的精度。5) 蒙特卡罗模拟 (Monte Carlo Simulation) 。蒙特卡罗模拟方法是建立一个统计模型，通过随机抽样来进行数字模拟实 验，从而可以得出这个系统的各种热力学性质。 Metropolis 等人于 1953 年在研 究限制在一个盒子中的液体和浓稠气体的行为时， 提出了一种有效的蒙特卡罗抽 样方法（后来人们称之为 Metropolis 抽样方法 ）30 。蒙特卡罗方法的精度抽样 样本的大小和计算时间有关， 当

37、抽样样本足够大， 计算时间相当长的时候可以得 到很高的精度。 而在不需要高精度的时候也可以将它们相应地减小， 所以这是一 种很灵活的方法。 蒙特卡罗方法的应用非常广泛， 不但用于自旋模型的计算， 还 被推广到统计物理与凝聚态物理研究的很多领域中 31-35 。参考文献：1. W. Heisenberg, Z. Physik, 49, 31 (1928).2. E. Dagotto, T. Hotta, and A. Moreo, Phys. Rep. 344, 1(2001).3. I. Dzyaloshinskii, Sov. Phys. JETP 19, 960 (1964).4. T.

38、Moriya, Phys. Rev. 120, 91 (1960).5. I. A. Sergienko and E. Dagotto, Phys. Rev. B 73, 094434 (2006).6. I. A. Sergienko, C. ?en, and E. Dagotto, Phys. Rev. Lett. 97, 227206 (2006).7. Q. C. Li, S. Do ng, and J. - M. Liu, Phys. Rev. B 77, 054442 (2008).8. C. Pfleiderer, S. R. Julian, and G. G. Lonzaric

39、h, Nature (London) 414, 427 (2001).9. N. Doiron-Leyraud, I. R. Walker, L. Taillefer, M. J. Steiner, S. R.Julian, and G. G. Lonzarich, Nature (London)425, 595 (2003).10. C. Pfleiderer, D. Reznik, L. Pintschouvius, H. v. L?hneysen, M. Garst, and A. Rosch, Nature (London) 427, 227 (2004).11. Y. Ishikaw

40、a, K. Tajima, D. Bloch, and M. Roth, Solid State Commun.19, 525 (1976).12. G. Shirane, R. Cowley, and C. Majkrzak, Phys. Rev. B 28, 6251 (1983).13. M. Uchida, Y. Onose, Y. Matsui, and T. Tokura, Science 311, 359 (2006).14. E. Ising, Z. Phys. 31, 253 (1925).32, 477 (1936)15. R. E. Peierls, Proc. Camb. Phil. Soc.16. L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).17. B. Kaufman and L. Onsager, Phys. Rev. 76, 1244 (1949).18. K.