规模经济和垄断竞争下的D—S模型[行业使用]

1、规模经济和垄断竞争下的 DS模型 第三组：张晓 袁璐 余佳莹 黄蓉 田银欢 王立斌 1应用分析 一、模型的微观基础一、模型的微观基础 2应用分析 1.已知效用函数 ,预算约束 ,证明：在约束效用 最大点，价格比率 / 一定等于边际效用比率 。 bay AxU Byx PPyx PxP y yxMUMU / 证 (1.1) (1.2) (1.1)中的 , 及（1.2）中的 由（1.1） 0 1 x ba x yx ba PyaAxU yPxPByAxU 0 1 y ba yPbbAxU 0yPxPBUyx Xx ba MUuyaAx 1 yy ba MUuybAx 1 x x x ba P MU

2、 P yaAx 1 3应用分析 由（1.2）， 于是， y y y ba P MU P ybAx 1 y y x x P MU P MU y x y x P P MU MU 4应用分析 2.给定一个柯布-道格拉斯生产函数 .预算约束 证明成本最小时的输入比率为 证：利用拉格朗日函数法， 由 (2.1)及 (2.2) 整理， LAKq BLPKPLK K L P P L K 0 )( 1 KK LK PLAKQ LPKPBLAKQ 0 1 LLPLAKQ 0LPKPBQLK LKP LAK P LAK 11 LAK LAK P P K L 1 1 （2.2） （2.1） 5应用分析 由于 及 ,

3、所以， (2.3) LLL 1 KKK 1 1 L K P P K L K L P P L K 6应用分析 3.对于一个线性的柯布-道格拉斯生产函数 ,证明： (资本产出弹性)， (劳动产出弹性)。 证 由产出弹性定义， 及 因为 求边际函数， L AKQQK QL KQ KQ QK LQ LQ QL 。则及，令LKk -11 LAkL L K ALAKQ )( 1 Ak L K ALAK L Q Ak L K ALAKLAK K Q )1 ()()1 ()1 ( )( 11) 1(111 7应用分析 求平均函数, 然后，用平均函数分别去除边际函数，得到弹性， Ak L LAk L Q Ak

4、k Ak K LAk K Q 1 1 )1 ( 1 1 Ak Ak LQ LQ Ak Ak KQ KQ QL QK 8应用分析 4. 方程 2.3（ 及 ） 给出了广义柯布-道格拉斯生产函 数最小成本输出比率。证明：任何广义柯布-道格拉斯生产函数有单一替代弹 性，即 =1。 证 替代弹性被定义为：由于价格比 微小的变化率所引起的最低成本比 的变化率。 (4.1) L K P P K L K L P P L K KLPPLK KL KL KL KL PP LK PPd LKd PP PPd LK LKd )( )( )( )( )( )( KLPPd LKd 因为（2.3）中的和为常数，而PK和

5、PL为自变量，K/L可以视为PK/PL的函数 注意到（4.1）的第二个比率中，=边际函数、平均函数，首先（2.3）的边际函 数为 9应用分析 然后，两边同时除以 ，求（2.3）的平均函数， 代入（4.1）， KLPP KLPP LK 1 )( )( KL KL PP LK PPd LKd 10应用分析 5.利用（2.3）给出的柯布-道格拉斯生产函数的最低成本比率（ ） 检验答案，其中 证 因为 ，由（2.3） 资本和劳动必须以16K：15L的比率使用。 K L P P L K 43, 5 . 04 . 0 LKPPLKq及 0.50.4， 1.5 1.6 30.5 40.4 L K ）（ ）（

6、 11应用分析 二、 CES 生产函数 12应用分析 CES生产函数 不变替代弹性生产函数(Constant Elasticity of Substitution，缩写为CES)，是指在生产要素投入之间 具有不变的替代弹性这样一类生产函数。其一般形式为 式中，Q代表产出,K为资本投入,L为劳动投入。A、为参数， 它们满足A0、01、-1的条件。 1 )1 ( LKAQ 13应用分析 CES生产函数有两个重要特性： （1）它是一次齐次的； （2）它有不变的替代弹性。 14应用分析 1 )1 ( LKAQ 1.已知CES函数 回忆问题1的结论：如果函数达到最优，则价格比等于边际产品之比。 （a）证

7、明CES生产函数的替代弹性为常数，（b）确定的取值范围。 证明：（a）根据提示，函数达到最优投入的条件是价格比等于 边际产量之比 K L K L P P KQ LQ MP MP / / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) 1 ( 11 11) 1 ( KLKA KLKA K Q LLKA LLKA L Q 利用广义幂函数法则求式的一阶导数， 15应用分析 K L P P L K K L KLKA LLKA KQ LQ 11 1 1 1 1 1 1 11 1 11 / / 1 1 1 1 1 1 1 K L K L P P L K P P L K 为了计算方便，令 1 1

8、1 h 1 1 K L P P h L K 则 根据式，函数达到函数达到 最优投入的条件是最优投入的条件是 价格比等于边际产量之比价格比等于边际产量之比 16应用分析 由于和为常数，正如问题4一样，将K/L视为PL/PK的函数。我们知道 函数的边际函数与平均函数之比为替代弹性， KL KL KL KL PP LK PPd LKd PP PPd LK LKd / / )/( )/( / )/( / )/( 则边际函数为 1 1 1 1 1 )/( )/( K L KL P P h PPd LKd 平均函数为 1 1 1 / / K L KL P P h PP LK 1 1 K L P P h L

9、 K 由式， 17应用分析 （b）由（a） 得 ，而 的取值范围是 -1， 若-11; 若=0， 则=1； 若0 , 则1 (1) 23应用分析 将预算约束代入（1）式 结论：产品种类越丰富，也就是说消费者偏好尽可能 多的产品，效用也越大。 1 1 )( n p E 1 0 1 n i dyY (2) 24应用分析 2.消费者效用最大化 根据上式，构建拉格朗日函数： 分别对产品变量i和j求偏导： n ii i Eypts y MaxY 0 . 0 n o ii n ii EypdyL 1 0 1 25应用分析 对于产品i ii n ii pydy 1 1 1 1 0 1 1 1 对于产品j j

10、ii n i pydy 1 1 1 1 0 1 1 1 j j j i j i j i p p y y p p y y 1 两式相除可得： (3) 26应用分析 对两边分别取对数： 结论： 不仅是产品之间的替代弹性也是需求的价格 弹性。 )ln()ln()ln()ln( jiji ppyy j i j i p p y y lnln (4) (5) 27应用分析 对（3）式两边同乘Pi 为了求出j产品的需求函数，对产品i在0到n的区间上进行积分： j i j ii p p y yp 1 j n ii i n iii p dp y dyp 0 1 0 n ii j j dp p Ey 0 1 (6

11、) 28应用分析 结论：pj自身价格越高，这Yj的消费越少，P为综合价格， 综合价格越高，对Yj的需求越大。 1 P p EPEpyy j jjj ， 将（7）式代入（6）式， 1 1 0 1 n ii dpP 定义综合价格指数： (7) (8) 29应用分析 对（6）式改写为： 两边同时对j产品在0到n上进行积分： 1 0 1 1 1 1 n ii j j dp p Ey 1 0 1 0 1 1 0 1 n ii n ij i n j dp dp Edy 3.间接效用 30应用分析 1 1 1 0 1 1 0 1 n ij n ij dpEdy 1 1 0 1 n ij dpEY P E V

12、Y(9) 结论：间接效用随着综合价格的上升而下降。 31应用分析 因为对称性假设pi=p,我们可以将（7）式改写为： 1 1 1 1 0 1 1 1 np dp n i 1 1 0 1 n ii dpP 结论：综合价格指数随着产品种类的增加而上 升，进而引起间接效用的增大。 32应用分析 生产者市场均衡 假定有n个厂商生产不同的产品，每个厂商对其所生 产的产品具有垄断性。 对于厂商j有如下成本函数： 其中 wFcyTCjj)(10) FcyL j 33应用分析 该成本函数具有以下特征： a.劳动投入是影响产量的唯一因素，劳动报酬等于工资率w。 b.厂商具有不变的固定成本F和边际成本c。 c.成

13、本函数是次加性的，即存在规模经济。 jj j j y Fw cw y TC AC 0 2 jj j y Fw y AC 也就是说对于每一种产品只有唯一一个生产商。 34应用分析 1.利润最大化问题（PMP） 考虑到消费者的需求，每一垄断厂商将设定一个 价格。 对于垄断厂商j其利润函数为： jjjj TCyp(11) 35应用分析 因此，厂商j的利润最大化问题可表示为： Max s.t. jjj TCyp 1 p p Ey j j wF p p cE p p EpMax jj j p j 11 36应用分析 对上式求 的导数（FOC）： j p 01 1 1 1 p p cwEp p E j j

14、 cwp j 1 （12） 37应用分析 结论： a.每个垄断厂商面临着同样的均衡价格 b.当价格高于边际成本时，厂商即可获利。利润随 着替代弹性的增大而减少，当替代弹性趋于无穷大 时，厂商的均衡价格就等于边际成本，也即为垄断 竞争的最优均衡。 pp j 38应用分析 而这正与我们之前所熟知的垄断厂商的定价规则 一致： 是替代弹性的绝对值。 MCp 1 1 1 39应用分析 2. .均衡产出 首先，我们用公式（12）来重新改写公式（11）的 利润函数： 假设厂商自由进入（边际厂商的净收益为零），每 个垄断厂商都是零利润经营，即 Fcywywc ijj 1 0 j Fcywywc jj 1 40应用分析 整理上式我们可得均衡产出式： 等式（13）表明对于所有的垄断厂商均衡产出是 一样的。 由于效用函数和成本函数都是对称的，在市场均衡 时，每个厂商具有相同的均衡产量、面对同样的 均衡价格。 c F yy j 1（13） 41应用分析 3.3.均衡产品种类 为了得到均衡的产品种类，我们假设劳动力市场是 确定的： 对（14）两边同乘w后作变形可得： 这个表达式可以直观的看出，因为劳动投入是影 响产出的唯一因素，所以总收益等于总成本。 )(FcynL （14） )(TCnwL 42应用分