用脉冲响应不变法设计数字滤波器综述

1、皖西学院数字信号处理课程设计报告题 目用脉冲响应不变法设计数字滤波器学院信息工程学院专业通信工程专业班级（初）班学生姓名 陈* 孙*指导教师吴*二0一二年十二月数字信号处理课程设计、八 、刖言数字信号处理课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB结合后的基本实验后开设的，本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB并实现一个较为完整的小型滤波系统。这一点与验证性的基本实验有本质性的区别。开设课程设计环节的主要 目的是通过系统设计、软件仿真、程序安排与调试、写实习报告等步骤，使学生初步掌握工 程设计的具体步骤和方法，提高分析问题和解决问题的能力，提高实际应用水平。IIR数字滤波

2、器具有无限宽的冲激响应， 与模拟滤波器相匹配，所以IIR滤波器的设计可 以采用在模拟滤波器设计的基础上进一步变换的方法。其设计方法主要有间接设计法、直接 设计法和最大平滑滤波器设计方法。间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计 步骤是：先设计过度模拟滤波器得到系统函数，然后将其按某种方法转换成数字滤波器的系 统函数。这是因为模拟滤波器的设计方法已经成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图 表和曲线供查阅；另外还有一些优良的滤波器可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中 设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。FIR数字滤波器的单位脉冲响应应是有限长序列。它的设计问题

3、实质上是确定能满足要求的转移序列或脉冲响应的 常数问题，它不能采用间接法，设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法第12页目录第1章绪论31.1课程设计的目的及意义 3.1.2课程设计题目描述及要求 .3.1.3数字滤波器的概述 3.1.4数字滤波器的分类 3.1.5数字滤波器的技术指标 4.1.6数字滤波器的设计原理 5.第2章 MATLAB介绍6.2.1 MATLAB 的简介 6.2.2 MATLAB的优势和特点6.第3章IIR数字滤波器的设计 7.3.1 IIR数字滤波器的设计概述 7.3.2 IIR数字滤波器的设计思想：7.3.3脉冲响应不变法设计数字滤波器 7.3.4巴特

4、沃斯滤波器的设计原理11第4章利用脉冲响应不变法设计数字滤波器的过程 164.1课程设计的解题思路及过程164.2 MATLAB程序及仿真1.7第5章总结20.参考文献21.第1章绪论1.1课程设计的目的及意义电子信息工程专业的培养目标是具备电子技术的基本理论和应用技术，能从事电子、信 息、通信、电信等领域的工作，具有高素质、宽口径、创新晋升的专业人才。对本专业学生 的培养要进行工程素质培养、拓宽专业口径、注重基础和发展潜力。特别是培养学生的创新 能力，以实现技术为主线多进行实验技能的培养。学生通过数字信号处理课程设计这一重要 环节，可以将本专业的主干课程-数字信号处理从理论学习到实践应用，对

5、数字信号处理技术 有较深的了解，进一步增强学生动手能力和适应实际工作的能力。1.2课程设计题目描述及要求设计题目：脉冲响应不变法设计数字滤波器。设计技术指标： “=02-:，: p 15dB。 设计要求：设计模拟巴特沃斯滤波器并脉冲响应不变法转化成数字滤波器。1.3数字滤波器的概述数字滤波器一词出现在60年代中期。由于电子计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现，也可用大规模集成数字硬件实时实现。所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含 频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。因此，数字滤波器的概念 和模拟滤波器相同

6、，只是信号的形式和实现滤波方式不同。应用数字滤波器处理模拟信号 时，首先须对输入模拟信号进行限带、抽样和模数转换。数字滤波器输入信号的抽样率 应大于被处理信号带宽的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性， 以折叠频率即1/2抽样频率点呈镜像对称。为得到模拟信号，数字滤波器处理的输出数 字信号须经数模转换、平滑。数字滤波器具有高精度、高可靠性、体积小、重量轻、不 存在阻抗匹配问题、可程控改变特性或复用、便于集成等优点，可以实现模拟滤波器无 法实现的特殊滤波功能。数字滤波器在语言信号处理、图像信号处理、医学生物信号处 理以及其他应用领域都得到了广泛应用。1.4数字滤波器的分类按照不同的

7、分类方法，数字滤波器有许多种类，按照不同的特性具有不同的分类，具体分类如下:按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。如果我们设计这些理想滤波器是不 可能实现的，因为它们的单位脉冲响应是非因果且无限长的，我们只能按照某些准则设计滤 波器，使之在误差容限内逼近理想滤波器，理想滤波器可作为逼近的标准。按实现的网络结构或单位抽样响应长度分类：无限脉冲响应滤波器（ IIR滤波器）、有 限脉冲响应滤波器（FIR滤波器）。它们的系统函数为：MN AH z h n zn=0、bjZH z 二 j-N1亠二akZ上k=1按滤波器对信号的处理作用可分为：选频滤波器和其他滤波器。上述低通、高通、带通、 带阻滤

8、波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器另外，它还可以被分为线性与非线性、因果与非因果等。其中，线性时不变的数字滤波器是最基本的类型；而由于数字系统可以对延时器加以利 用，因此可以引入一定程度的非因果性，获得比传统的因果滤波器更灵活强大的特性；相对 于IIR滤波器，FIR滤波器有着易于实现和系统绝对稳定的优势，因此得到广泛的应用；对 于时变系统滤波器的研究则导致了以卡尔曼滤波为代表的自适应滤波理论。n , n11h(a)低通,i1弭o）（b高通 一0寓2n G）071（c）带通（d）带阻图口 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性#1.5数字滤波器的技术指标

9、常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。 假设数字滤波器的频率响应函数 H（ej）用下式 表示:H ej =| H ej |ej式中，|H（ej ）|称为幅频特性函数；&）称为相频特性函数。图1.2表示低通滤波器的幅频特性，3p和 气分别称为通带边界频率和阻带截止频 率。通带频率范围为OW|念p,在通带中要求（1 q）|H（划w,l阻带频率范围为 出三创w， 在阻带中要求|H（ei笏。从3p到 气称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的。通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用：p表示，阻带内允许的最小衰减用：s表示。:p越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；s越

10、大，阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；3p与 气间距越小，过渡带就越窄。所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率 Qp、通带最大衰减：p阻带边界频率Qs和阻带最小衰减：（确定。图1一2低通滤披器的幅频特性指标示意图存1.6数字滤波器的设计原理数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。这种 滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现， 也可以采用非递归的方式实现。 数字滤波器的设计

11、方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法等等。随着 MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅 助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。第2章 MATLA介绍2.1 MATLAB的简介MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序 设计的高科技计算环境。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中 常用的形式十分相似，并且吸收了像Maple等软件的优点，使 MATLAB成为一个强大的数学软件。用户也可以将自己编写的实用程序导入到 MATLAB函数库中方便自己以后调用，此 外许多

12、的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。2.2 MATLAB的优势和特点（1）友好的工作平台和编程环境 MATLAB由一系列工具组成。（2）简单易用的程序语言。（3）出色的图形处理功能（4）应用广泛的模块集合工具箱。（5）应用软件开发（包括用户界面）在开发环境中，使用户更方便地控制多个文件和图 形窗口。第3章IIR数字滤波器的设计3.1 IIR数字滤波器的设计概述IIR滤波器系统函数的极点可以在单位圆内的任何位置，实现IIR滤波器的阶次较低，所用的存储单元较少，效率高，又由于IIR数字滤波器能够保留一些模拟滤波器的优良特性，因此应用很广。设计IIR数字滤波器的

13、方法主要有基于脉冲响应不变法的IIR数字滤波器设计，基于双线性Z变换法的IIR数字滤波器设计，数字高通、带通及带阻IIR滤波器设计，基于MATLAB函数直接设计IIR数字滤波器。3.2 IIR数字滤波器的设计思想：目前，IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查 询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便，IIR数字滤波器的设计步骤是：(1) 按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标。(2) 根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H(s

14、)。(3) 在按一定规则将H(s)转换为H(z)。若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束。若所设计的是高通、带 通或者带阻滤波器，那么还有步骤(4)将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为 低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤(2)设计出模拟低通滤波器H(s)，再由冲击响应不变 法或双线性变换将H(s)转换为所需的H(z)设计的关键问题：找出从Ha s到Ha z的转换方法，主要有冲激响应不变法、阶跃响应 不变法、双线性变换法等。下面讨论脉冲响应不变法。3.3脉冲响应不变法设计数字滤波器设模拟滤波器的系统函数为Ha S，相应的单位冲激响应是ha t，Ha s =LT ha

15、 t 。LT 代表拉氏变换，对 ha t进行等间隔采样，采样间隔为T,得到ha nt，将h nv-ha nT作为数字滤波器的单位脉冲响应，那么数字滤波器的系统函数 H(z)便是h(n)的Z 变换。因此脉冲响应不变法是一种时域逼近方法，它使 h(n)在采样点上等于ha(t)。 但是， 模拟滤波的设计结果是 Ha(S)，所以下面基于脉冲响应不变法的思想，导出直接从Ha(S)到H z的转换公式设模拟滤波器Ha(S)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(S)用部分分式表示:NH a(S)i -1AiS Sj(3.1)式中Si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(S)进行逆拉氏变换，得

16、到：Ns tha(t) = a Ai e j u (t)(3.2)i =1式中，u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为 T,得到：Nh(n)二 ha(nT ) = v AieSiTu(nT )(33)i =4对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z),即NH(z)八 4eATz-i(3.4)i _：11- ez对比(3.1)和(3.4)式，Ha(s)的极点Si映射到z平面的极点为eST，系数Ai不变。下面我们 分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，S平面和z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方 法的优缺点。这里以理想采样信号作为桥梁，推导其映射关系。设h a t

17、的理想采样信号用忆t表示，即Q0忆 t = ha t、t - nTn 二：:对ha t进行拉氏变换，得到：Wa(s) ha(t)、(t - nT) edt二、ha(n T)e$nTnha(n)z*=H(z)z*( 3.5)nz=esT上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：st( 3.6)z = e我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换 Ha(j Q和其采样信号ha t的傅里叶变换 H a j 11之间的关系满足：1 oOHa(j)订 Ha(j-jk) T kR将s=j Q代入上式，得H?a(S)=； JHa(Sjks)=H(Z)vsT设 s= ；- j1 ,

18、z= rejT kjoQ-得到：re = eTeT(3.7)由此可得 r与二的关系c=0 （s平面虚轴）-0 （s右半平面） 与的关系：二T门=0 （s平面实轴）r=1 （z平面单位圆）r1 （z平面单位圆外部）=0 （z平面正实轴）门=. % （s平面平行于实轴的直线）oT（z平面始于原点，辐角为I T的辐射线）1 :从-二/T 二/T（s平面为2JT的一个水平带）: 从 -二（z平面辐角转了一周，覆盖整个z平面）jQn/T0a-n/Tzf Ifll图3.1脉冲响应不变法s平面和z平面之间的映射关系存在的问题：混叠失真1 00由：H(z)=Ha(s-jks)可得:T k=-jod1 00(3

19、.8)H(ej )=1、HaT k =joo数字信号处理课程设计数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓图3.2脉冲响应不变法的频谱混叠现象示意图 假设H(ejQT)没有频谱混叠现象，即满足1-2*TcosJ 第 1z页 e-2 2_TJI r11-由(3.8 )式得到:H ej #Ha| * 亠 2 jJ-化1/f-/ zX#一-h* 眄L图3.4三阶巴特沃斯滤波器极点分布图为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s),而右半平面的N个极点构成Ha( s)。Ha(s)的表达式为NH a(s)二( 3.14)| 丨 (s sk )k =0设N=3，极

20、点有6个，它们分别为取s平面左半平面的极点s0、si、s2组成系统函数Ha(s),即Sc.2 兀-1cejT,2_7：s-阳 ce1 3So=Q.2J3cSi二-c,S2=Qj ce2n3.1.1-j nj：ns3=Qe 3cS4c，S5=Qe 3c 由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统-将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用对 3 dB截止频率Qc归一化，归一化后的系统函数为Ga(3.15)令p=n+j Qs/Qc, 2=0/Qc,入称为归一化频率，p称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的 归一化低通原型系统函数为(3.16)Ga(P)二I 1 (P - Pk

21、 )k =0式中，pk=sk/Qc,为归一化极点，用下式表示:.2k 12Nk = 0,1,，N - 1(3.17)(3.18)显然,Sk 八 cPk这样，只要根据技术指标求出阶数 N,按照(3.17)式求出N个极点，再按照(3.16)式得到归一化低通原型系统函数Ga(p)，如果给定Qc，再去归一化，即将p=s/Qc代入Ga(p)中(或由(3.18)式求出Sk = QcPk)，便得到期望设计的系统函数Ha(s)将极点表示式(3.17)代入(3.6)式，得到Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示:Ga P 二1N；NZ1 ； NPbN4PbgPdpb(3.19)归一化原型系统函数Ga(p)

22、的系数bk，k=0，1，N-1，以及极点pk，可以由表3.5得到。 另外，表中还给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N,查表可得到Ga(p)及各极点，而且可以选择级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了因式分解运 算工作。表3.5巴特沃斯归一化低通滤波器参数阶散洽Fg N- IP|j- W-2, .V-S户务“一11. 000020. 7071j0.70713o. 5000 jo. sseo-1-00004 CL 3827-l-jD. 939o. eassztjo, s&2750, 3OSQjO, 9&110. BD90jOP sazs=L 00000, ZEifiR

23、 l jO. flSEiSD. 7D71 +jflr 70710,70” 2235:1 j0. 9749D.+ 7fil80. 9091 hjfO. 4339Jr D0O080.1951士JO. 930BD. 5556jO. 83150. 8315 JO. 55560. 9803-1-A 15190.1736j0. 94fi0. SOOOztjO. 86S06 T66OdzjOa 6428 CL 9357 zbjO. M201. 0000、母多项式 阶数跖、EQ)护十方出+1沪一】+%-.严一丸+“+知夕+九屁饬匹叽爲折毎齢1L000021.0000 1.41*231.00002.00002.

24、 QOQO41.00002.C1313.41422.61351.00003.23615,23SJS.23S13.236161.00003.S6377.4611氏 Ml百7.411乳歸71.00004.494010.fl7814.591S14.5D1810.09784.494。81,0000&, 1258 IS. 1S7121.8462E5.6S842L8C42 13+13715, 125891.00005.育期U.5&1731.163441. $4 41.9S64 31.-15 1&.5817 翥巧般1+1X + 1.3473+!)5(护十0. 6190ft +1)3+ LSlBOfi十十 1

25、)6(+0, 5176i+1) (p1+k 4142j+1) (*+1, 93191)7(./+趴 4450+1X4-1. 2470/+l)(p3-l-l+ 旳 19pl)(pD8(护+仇 3902/+1)(4-!, Jlll+l)(p2 + l+ 5639+1)( + L961flp+1)&(.护十0. 3473/+l)( + +l)(:+1. 5321A +l)+t 0&7O4 l)(p+l)由(3.13)式和(3.14)式可知,只要求出巴特沃斯滤波器的阶数 N和3 dB截止频率Qc,就 可以求出滤波器的系统函数Ha(s)。所以，巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指标求 阶数N和3 d

26、B截止频率Qc的过程。下面先介绍阶数 N的确定方法。阶数N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过渡带、阻带的幅度下降速度，它由 技术指标Qp、：卩、Qs和s确定。将Q= Qp代入幅度平方函数(3.11)式中，再将幅度平方函数 |Ha(jQ)|2 代入:p2=1OlgHa(j0pp，得至V：N= 1Op/10(3.20)2将=$代入(3.4.11)式中，再将 |Ha(jQ)|2 代入：10lgHa j ，得到:/、2 NG =10s/10(3.21)由(3.20)和 (3.21)式得至 U：10：s/10 -1 = 10：p/10 -1(3.22a)则N由下式表示:10 ： s/10 - 1

27、1O：p/10 -1(3.22b)lg k spN =lg sp用上式求出的N可能有小数部分，应取大于或等于N的最小整数。关于3 dB截止频率Qc，如果技术指标中没有给出，可以按照(3.20)式或(3.21)式求出。由(3.20)式得到：1程.(100.1邛_1厂云(3.22c)(3.23)由(3.21)式得到:(3.24)1c =s(1001s -1) 2N请注意，如果采用(3.23)式确定Qc，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余；如果采用 (3.24)式确定Qc，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1) 根据技术指标Qp、：p Qs和：

28、s用(3.22)式求出滤波器的阶数N。(2) 按照(3.17)式，求出归一化极点pk，将Pk代入(3.16)式，得到归一化低通原型系统 函数Ga(p)。也可以根据阶数N直接查表3.5得到pk和Ga(p)。(3) 将Ga(p)去归一化。将p=s/ Q c代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数Has = G p | s这里Q c为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出 Q c,可以按照(3.23)式或(3.24)式求出。第4章利用脉冲响应不变法设计数字滤波器的过程4.1课程设计的解题思路及过程利用模拟巴特沃斯滤波器及脉冲响应不变法设计一数字滤波器，技术指标如下：p=0.2二,ap 15dB(1)

29、 将数字滤波器的指标转换为相应的模拟滤波器指标。设采样周期为T , p=2dB ,:s=30dB，由(3.7)式得到：pT罕吧，一论=30 dB(2) 设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数Ha(s) 确定阶数Nksp100.1 匕106-1-1= 41.3223=3覺汁.39,取N=4 按照(3.17)式，其极点为.5j8兀p0 = e :9P2 二 e ,ejr:=e，.11临兀P3 二 e 8按照(3.16)式，归一化低通原型系统函数为1G a( p) = 丨丨(P - Pk)k =0上式分母可展开成四阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解式。这里不如直接 查表3.5简单，由N=

30、4直接查表得到:极点：-0.3827 _ j0.9239, -0.9239 _ j0.3827归一化低通原型系统函数为1Ga(P)432p +dp +b2p +0卩+5式中，b0 =1.0000, 6=2.6131, b2 =3.4142, b3 =2.613分母因式分解形式为Ga( P)二12 2(p 0.7654 p 1)( p 1.8 4 7p8 1)以上公式中的数据均取小数点后四位 为将Ga(p)去归一化，先求3dB截止频率程。按照(3.23)式，得到:1Cc =0p(1OO.1cfr -1)即=0.2139兀 ra%将入代入(3.24)式，得到：2N=0.5072 兀 raS此时算出

31、的0s比题目中给的0s小,因此，过渡带小于指标要求。或者说，在0s = 0.5072兀ra%时衰减大于30dB，所以说阻带指标有富余量Ha(s)二将P=S代入Ga(p)中，得到：S4 - b/s3 b22s2 - bzcs -1 c4(3) 按照(3.1)和(3.10)式，将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z):Ha(s)工氏，H(z)上 AklkmS Skk=11e z4.2 MATLAB程序及仿真调用MATLAB信号处理工具箱函数进行设计。设计程序如下用脉冲响应不变法设计数字滤波器程序：T=1;fs=1/T;%T=1swp=0.2*pi/T;ws=0.6*pi/T;

32、Rp=2;As=30;%T=1s 的模拟滤波器指标N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As, s);%计算相应的模拟滤波器阶数 N和3dB截止频率wcB,A=butter(N,wc, s);%计算相应的模拟滤波器系统函数B z, Az=impi nvar(B,A,fs);%用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器W=li nspace(0,pi,100*pi);%指定一段频率值hs=freqs(B A W); hs0=abs(hs)/abs(hs(1);%计算模拟滤波器的幅频响应hs1=20*log10(hs0);subplot(2,2,1);plot(W/2/pi,hs1);gr

33、id on%绘出巴特沃斯模拟滤波器的幅频特性曲线xlabel(f/Hz);ylabel (幅度 /dB); title(a)巴特沃斯模拟滤波器) axis(0 0.4 -50 0)Hz=freqz(B z, Az,W);Hz0=abs(Hz)/abs(Hz(1);%返回频率响应Hz1=20*log10(Hz0);subplot(2,2,2);plot(W/2/pi,Hz1);grid on%绘出巴特沃斯数字低通滤波器的幅频特性曲线xlabel(f/Hz);ylabel(幅度 /dB)title(b)数字滤波器)axis(0 0.4 -50 0)程序中，impinvar是脉冲响应不变法的转换函数，Bz,Az=impinvar(B ，A, fs)实现