上海市浦东新区2020年高三调研数学试题

1、( )oor上海市浦东新区 2020 年高三调研数学试卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效. 2. 本试卷共有 20 道试题，满分 150 分考试时间 100 分钟.一、填空题（本题满分 55 分）本大题共有 11 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 5 分，否则一律得零分。a 3, n 11不等式2 x 1 -x -10 的解集为 。打印a1 32若 a 4 ,1 ， b (1 , ) ， c ( x , - ) ，且2 2ab ac =0，则x =。否n n +1n 103根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系

2、，可写出这个数列的第 3 项是 。结束是 a a (a +1)4已知实数 x 和纯虚数 y 满足：（2 x -1) +(3 -y )i =y -i，（i 为虚数单位），则 x =。5 如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角） 是 。6 某赛车场的路线中有 a , b , c , d 四个维修站如图所示若维修站之间有路线直接联结（不 经过其它维修站），则记为；若没有直接路线联结，则记为 0（ a 与 a ， b 与 b ， c 与 c ， d 与 d记 0），现用矩阵表示这些维修站间路线联结情况为 。b7一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的

3、体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 。8（文科）已知 | a | = 2 , | b | =3 ， ( 2 a +b ) b=3 ，则向量 a 与 b 的夹角为 。 （理科）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的三位数 n = n n n ，其中1 2 32 1n 的各位数字中， n =1 ， n ( k =2 , 3) 出现 0 的概率为1 k，出现 1 的概率为 ，记 3 3acdx=n +n +n ，当该计算机程序运行一次时，随机变量x 1 2 3的数学期望是 。9如图， | oa |=|ob |=1 ， oa 与 ob 的夹角为 120 ， oc 与 oa 的夹角为 30

4、 ， | oc |=5 ，roa =a ， ob =b ，若 oc = la +mb ，则 l+m= 。 b10半径为 1 的球面上的四点 a 、 b 、 c 、 d 是正四面体的顶点， 则 a 与 b 两点间的球面距离为 。oa11（文）某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图和俯视c图中，这条棱的投影是长为6 和 2 的线段，在该几何体的侧视图中，这条棱的投影长cd( a)( b )(c )( d )pp31pi i i2 2 2 2为 。11（理）设 oabc 是四面体， g 是 dabc 的重心， g 是 og 上一点，且 og =3og ，若1 1 1og =xoa + yob

5、 +zoc ，则 ( x , y , z ) 为 。二、选择题（本题满分20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结 论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑选，对得 5 分，否则一律得零分. 12下列所给的四个命题中，不是真命题的为（ ）( a)两个共轭复数的模相等( b ) z r z =z(c ) | z |=|z | z =z1 2 12( d ) | z | 2 =z z.13命题甲：实数x, y满足x 2 +y 2 4；命题乙甲：实数x, y满足x 2 +y 2 2 x，则命题甲是命题乙的（ ）( a)(c )充分不必要条件 充要条件( b )

6、( d )必要不充分条件 既不充分又不必要条件.14（文）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如 图所示，则组成这个几何体的正方体的个数最多有 （ ）( a)12 个 ( b ) 13 个 (c ) 14 个 ( d ) 18 个主视图 左视图（理）如图，已知长方形的四个顶点 a (0 , 0) , b (2 , 0) , c (2 ,1) , d (0 ,1) ，一质点从 ab 的 中点 p 沿与 ab 夹角为 q 的的方向射到 bc 边上的点 p 后，依次反射到 cd 、da 和 ab 上的0 1点 p 、p 和 p （入射角等于反射角），设 p 的坐标为 ( x ,

7、0) ，若1 x 2 ，则 tan q 的取值 2 3 4 4 4 4范围是 （ ） y p2 1 1 2 2 1 2 2( ,1) ） ( , ) ( , ) ( , )3 3 3 5 2 5 34 qa p0 b xa x +b y +c z =d1 1 1 115一位同学对三元一次方程组 a x +b y +c z =d （其中实系数 a , b , c ( i =1 , 2 , 3) 不a x +b y +c z =d3 3 3 3全为零）的解的情况进行研究后得到下列结论：结论 1：当 d =0 ，且 d =d =d =0 时，方程组有无穷多解；x y z结论 2：当 d =0 ，且

8、d , d , d 都不为零时，方程组有无穷多解；x y z结论 3：当 d =0 ，且 d =d =d =0 时，方程组无解。x y z但是上述结论均不正确。下面给出的方程组可以作为结论 1、2 和 3 的反例依次为（ ） x +2 y +3 z =0 x +2 y =0 2x +y =1 （1） x +2 y +3 z =1 ； （2） x +2 y +z =0 ； （3） -x+2 y +z =0 。x +2 y +3 z =22 x +4 y =0x +3 y +z =2( a)（1）（2）（3） ( b ) （1）（3）（2） (c ) （2）（1）（3） ( d ) （3）（2）（

9、1）.三、解答题（本题满分 75 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对 应的题号）内写出必要的步骤。16（满分 12 分）在 dabc 中， a、b、c 所对的边分别为 a、b、c 已知 a =2 3 , c =2 ，且2 2sin c sin b 00 b -2c =0 ，求 dabc 的面积。 cos a 0 117（满分 16 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 7 分。（文）已知 p ( x , y ) 是抛物线 y2=-8xx y的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线所围成8 2的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，求 z

10、=2 x -y 的最大值。（理）假设某射击运动员的命中概率与距离的平方成反比。当他人在距离 100 米处射击 一个移动目标时，命中概率为 0.9，如果第一次射击未命中，则他进行第二次射击时，距离 为 150 米；如果仍然未命中，则他进行第三次射击时，距离为 200 米。（1） 求该运动员在第二次和第三次命中目标的概率。（2） 求该运动员命中目标的概率.18（满分 16 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分某地消费券近日在上海引起领券“热潮”。甲、乙、丙三位市民顾客分别获得一些景区 门票的折扣消费券，数量如表 1。已知这些景区原价和

11、折扣价如表 2（单位：元）。数量 景区 1 景区 2 景区 3门票 景区 1 景区 2 景区 3甲 0 2 2原价 60 90 120乙 3 0 1折扣后价 40 60 80丙 4 1 0表 1表 2（1） 按照上述表格的行列次序分别写出这三位市民获得的折扣消费券数量矩阵 区的门票折扣后价格矩阵 b ；（2） 利用你所学的矩阵知识，计算三位市民各获得多少元折扣？（3） 计算在对这 3 位市民在该次促消活动中，景区与原来相比共损失多少元？a和三个景r r119（满分 16 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分r r r r已知 i

12、=(1,0), c =(0, 2), 若过定点 a(0, 2) 、以 i -lc( lr )为法向量的直线 l 与 过点 b (0,-2)以c+li为法向量的直线 l 相交于动点 p 2(1)求直线 l 和 l 的方程;1 2(2)求直线 l 和 l 的斜率之积 k k 的值，并证明必存在两个定点1 2 1 2e , f ,uuur uuur使得 pe + pf 恒为定值；(3)在（2）的条件下，若 m , n 是 l : x =2 2 上的两个动点，且uuuur uuur uuur取最小值时，向量 em +fn 与 ef 是否平行，并说明理由。uuuur uuurem fn =0 ，试问当

13、mn20（满分 18 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6，第 3 小题满分 8 分。n 2 ( n 4, n n *)个正数排成一个 n 行 n 列的矩阵a =a11a21lanaa l12a l22l la ln 2a1na2 nlann，其中aik（1 i n , 1 k n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为 2 的等比数列，且 a23=8 ， a34=20 。（1） 求 a 和 a 11 ik（2） 计算行列式；a11a21a12a22和aaiijjaaiijj；（3）设a =an 1n+a2( n

14、-1)+a3( n -2)+l +an1，证明：当n是 3 的倍数时，a +nn能被 21整除。7 8（理）（文）1 1 11 pa c 1p2k222222 2x y12020 年度浦东新区高三数学调研试卷参考答案与评分标准一、填空题1. -1 , 2 2.53123.156 4. -325.p3601101 10 1101101103 5 3p5 3 49010 p-arccos1311（理） ( , , )4 4 4（文） 6二、选择题12.c 13.b 14.(理)c （文）b 15.b 三、解答题16. 【解】（1）由已知： b sin c -2c sin b cos a =0， （

15、2 分）即 sin b sin c -2sin b sin c cos a =0， （4 分） cos a = ，故 a = 。 （6 分） 2 3（2）由 = ，得 sin c = ， （8 分） sin a sin c 2c = ， b = 6p2。 （10 分）故 sdabc=12ac =2 3。 （12 分）17.【解】（理）设三次事件依次为a 、b 、c，命中率分别为p ( a) 、p ( b ) 、p (c )，（ 1 ） 令 p =ks 2， 则 =0.9100， k =0.9 1002， p ( b ) =0.9 100 2=150 5，p (c ) =（2）0.9 100 9

16、。 （6 分）=200 40p ( a) +p ( ab ) +p ( abc ) =0.9 +p ( a) p ( b ) +p ( a) p ( b ) p (c ) =190720000.9535。 （13 分）（文）抛物线 y 2 =-8x的准线是 x =2， （3 分）双曲线 - =1 8 2的两条渐近线是 y = x2。 （6 分）三条线为成得三角形区域的顶点为 o (0 , 0)， a ( 2 , 1)， b ( 2 , -1)，（10 分）当 x =2 , y =-1时， z =5max。 （13 分）4 1 02 1 02 1 0x - 2 ly +2l=02 2，由 k k

17、 = =-，得 + =11 22222y= 6或 1nn18.【解】（1） a =0 2 23 0 1， b =( 40 , 60 , 80)。（4 分） 0 3 4（2）令 c =2 0 1， d =( 20 , 30 , 40)， 0 3 4 d c =( 20 , 30 , 40) 2 0 1 =(140 , 100 , 110) ，（8 分）即三位市民各获得 140、100 和 110 元折扣。（10 分）（3） 140 +100 +110 =350（元）。（16 分）19.【解】（1）直线 l 的法向量 n =(1 , - 2l1 1即为 ；（2 分）)， l1的方程： x - 2

18、l( y - 2 ) =0，直线 l 的法向量 n =( l , 2 ) ， l 的方程： lx + 2 ( y + 2 ) =0 2 1 2即为 lx + 2 y +2 =0 。 （4 分），（2） k k = 1 211 l(-l 1) =-2 2。 （6 分）设点 p的坐标为 ( x , y )y - 2 y + 2 1 x y x x 2 4 2。（8 分）由椭圆的定义的知存在两个定点 e 、f，使得 | pe | +| pf |恒为定值 4。此时两个定点 e 、f为椭圆的两个焦点。（10 分）（3）设 m ( 2 2 , y )1， n ( 2 2 , y )2，则 em =(3 2 , y )1， fn =( 2 , y )2，由 em fn =0 ，得 y y =-6 01 2| mn | =( y -y ) = y1 2 1。（12 分）+y -2 y y -2y y -2 y y =-4y y =24 2 1 2 1 2 1 2 1 2；当且仅当 1 y =- 62y=-6 y = 62时， | mn |取最小值 6。（14 分）em +fn =( 4 2 , y +y ) =( 4 2 , 0) =2 ef ，故 em +fn 与 e