10.第三章傅里叶变换(2014第十讲)

1、第第5 5周周 第十讲第十讲 电气学院电气学院 通信教研室通信教研室 信号与系统信号与系统 SIGNALS & SYSTEMSSIGNALS & SYSTEMS 3.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 T1/2-T1/2 1 1三角形式的谱系数三角形式的谱系数 是是偶偶函函数数 tf nn aab, 0 0 只只有有 1 2 21 2 21 0 11 1 1 T E dtE T dttf T a T T 3.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 2 222 222 11 11 1 1 11 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 n Sa E

2、T n Sa T E T n T n sin T E T n sin n E dtt T ncosE T dttncostf T a T T n1 1 2 T 1 1 1 2 f T 化为抽样函数化为抽样函数 1 1 111 11 1 1 1 2 cos cos 2 n n EEn f tSant TTT EnE f tSant T 叶级数 或 三角形式傅里 e )( 1 j = tn n n Ftf 1 2 j 11 2 1 e j nt E Tn 2 j 2 j 11 11 ee j nn Tn E 3.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 2. 2. 指数形式的谱

3、系数指数形式的谱系数 2 2 1 1 1 1 )( 1 T T tjn n dtetf T F 2 2 1 1 1 dtEe T tjn 13 1- 1 - 3 1 1=8 =1/20 s，T1=1/4 s 2 2 sin 1 1 1 n n T E Fn=0.2ESa(n /5) 2 sin 2 1 11 n Tn E 1 1 1 Sa 22 n E na T (3) (3) Fn 的最大值出现在的最大值出现在n=0处。处。 x x x sin )(Sa )1( 频谱包络服从抽样函数 3. 3. 频谱特点（频谱特点（1 1） E /T1 1=2 /T1 (2) (2) 频谱具有离散性、谐波性

4、和收敛性。频谱具有离散性、谐波性和收敛性。 (4) (4) 当当n 1=2k / 时（时（k 0），），Fn=0； 当当n 1=0及及n 1=(2k+1) / 时（时（k 0、 1），），Fn=极值极值。 1 1 1 sin 2 2 n n E F n T 3.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 (rad/s) 2 B(Hz) 1 f B （5）02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 , ,即即 信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间 成反比。即成反比。即 越大，其越大，其B 越越 小；反之，小；反

5、之， 越小，其越小，其B 越大。越大。 若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明 显影响。显影响。 当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配匹配”。 例如：例如：语音信号频率约为语音信号频率约为300 3400Hz，音乐信号频率约为音乐信号频率约为50 15,000Hz，扩大器与扬声器有效带宽约为扩大器与扬声器有效带宽约为1520,000Hz。 3. 3. 频谱特点（频谱特点（2 2） 3.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 sTs 4 1 20 1 ) 1

6、( 1 55 n S E F an sTs 2 1 20 1 )2( 1 1010 n S E F an 2020 n S E F an sTs1 20 1 ) 3( 1 结论：结论：当周期当周期 1变大时，变大时，零分量频率不零分量频率不 变：变：B 或或Bf不变；不变； 1减小，谱线间距减减小，谱线间距减 小，谱线变密；有效谱带内谐波分量增小，谱线变密；有效谱带内谐波分量增 多；谱线振幅减小，变化缓慢。多；谱线振幅减小，变化缓慢。 （1 1）设）设f(t)中的中的 E不变，不变， 不变，当周不变，当周 期期 1变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？ 4. 4. 频谱随参数的变化（频谱

7、随参数的变化（1 1） 3.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 （2） 设f(t)中的 E不变，周期1不变， 当 变化时，频谱如何变化？ sTs 4 1 20 1 ) 1 ( 1 55 n S E F an sTs 4 1 8 1 )2( 1 22 n S E F an 结论：结论： 增大时，增大时， 1不变，谱线间距不变，谱线间距 不变；不变；零分量频率减小：零分量频率减小：B 或或Bf变小；变小； 有效谱带内谐波分量减少；谱线振幅有效谱带内谐波分量减少；谱线振幅 较大，减小变化急速。较大，减小变化急速。 4. 4. 频谱随参数的变化（频谱随参数的变化（2 2） 3

8、.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 3.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 3.3 3.3 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 n nTtt)()( T T tt T F T T tn 1 de )( 1 2 2 j n 1 n tn T t 1 j T e 1 )( 【例】求周期冲激序列信号 的指数形式的傅里叶级数表示式。 所以 解解 冲激串信号的复系数为 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 1 ( )lim( ) T T f tf t e )( 1 j = tn n nT Ftf ttf T F T T tn Tn de

9、)( 1 2 2 j 1 1 1 1 f(t) t0 fT(t) T1-T1 t 0 0de )( 1 lim de )( 1 limlim j 1 2 2 j 1 1 1 1 1 11 ttf T ttf T F t T T T tn T T n T n T F lim 1 0 1 1 2 T 谱线间隔谱线间隔 引入引入频谱密度函数频谱密度函数，来，来表示非周期信号的频谱表示非周期信号的频谱。 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 ttfFTF t n T de )(lim)j ( j 1 1 f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换 )(lim)( 1 tftf T T tj = 1 1 e li

10、m n n n T F tj 1 = 1 1 e 2 )j ( lim n n T F d)j ( 2 1 )( jt eFtf T1 , 记记 n 1 = , 1 = 2 /T1 = d , F(j )的傅里叶反变换的傅里叶反变换 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 de )( 2 1 )( j t Ftf ttfFde )()( tj )()( )()( 1 FFtf tfFF )()(Ftf F 或 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 f F FFTF n f nn T limlim 00 1 2 lim)( 1 是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周是单位频率所具有的信号频谱，称之

11、为非周 期信号的期信号的，简称，简称。 d)( 2 1 )( j t eFtf 非周期信号可以分解为无非周期信号可以分解为无数个频率为数个频率为 ，复振幅为，复振幅为 F( )/2 d 的的的线性组合。的线性组合。 )( | )(|)( j eFF F( ) 为为幅度谱幅度谱， ( )为为相位谱相位谱。 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 n T FTF 1 1 lim)( 1 1 )( nn T F F 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 ttfd)( 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 求求F( )的傅里叶反变换的傅里叶反变换f(t)。 0 0 F( ) ( ) - 0 0 A /2 - /2 3.4 3.4 傅里叶变换傅里叶变换 )0(- )( )0 ( )( )()( 0 2 2 0 2 2)( 0 0 j j j eAG