解三角形地必备知识和典型例题与习题

1、解三角形的必备知识和典型例题及习题 、知识必备： 1 直角三角形中各元素间的关系： 在厶 ABC中，0= 90 , AB= c, AG= b, BG= a。 (1) 三边之间的关系：a2+ b2= c2。(勾股定理) (2) 锐角之间的关系：A+ B= 90 ; (3) 边角之间的关系：(锐角三角函数定义) sin A= cos B= a , cos A= sin B= b , tanA= a。 ccb 2 斜三角形中各元素间的关系： 在厶AB0中, A B、0为其角，a、b、c分别表示 A B、0的对边。 (1) 三角形角和：A+ B+ 0= n o (2) 正弦定理：在一个三角形中，各边和

2、它所对角的正弦的比相等 a b sin A sin B c sinC 2R (R为外接圆半径) (3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍- a2= b2 + c2 2bccosA；b2= c2 + a2 2cacos B；c2= a2+ b2 2abcos G 3 三角形的面积公式： (1) S 111 =aha= bhb=chc (ha、hb、he分别表示 a、b、c 上的咼)； 222 (2) S 111 =absin 0= besin A=acsin B； 222 4 解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个角)中的三个元素(其中

3、至少有一个是边)求其 他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及 切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型： (1) 两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角 5 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 (1 )角的变换 因为在 ABC 中，A+B+Cn，所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A

4、+B)= cosC; tan(A+B)= tanC。 .A B CAB. C sincos, cossin ； 2 2 2 2 (2)判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 6 .求解三角形应用题的一般步骤： (1 )分析：分析题意，弄清已知和所求； (2) 建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； (3) 求解：正确运用正、余弦定理求解； (4 )检验：检验上述所否符合实际意义。 二、典例解析 题型1 :正、余弦定理 题型2 :三角形面积 例 2 .在 ABC 中，sin A cosA , AC 2 , AB 3，求 tanA 的值和

5、ABC 的面积。 2 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道 三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3:三角形中的三角恒等变换问题 例3 .在 ABC中, a、b、c分别是/ A、/ B/ C的对边长，已知 a、b、c成等比数列，且 a2 c2=ac b2=ac可变形为 b2 =a, c 再用正弦定理可求 bsin B c 的值。 bsin B bc,求/ A的大小及 的值。 c 分析：因给出的是 a、b、c之间的等量关系，要求/ A,需找/ A与三边的关系，故可用余弦定理。由 下载可编辑 解法一： a、b、c成等

6、比数列，b2=ac。 2 2. . 2 2 2 . 又 a c =ac be,： b +c a =bc。 在厶ABC中，由余弦定理得: cosA= b2 c2 a2 bc 1 2bc 2bc 2 / A=60。 在厶ABC中，由正弦定理得 sin B= bsin A ,： b2=ac, a / A=60, bsinB b2sin6 =丽60 =2 c ac2 解法二：在 ABC中, 由面积公式得 1 bcsin A= 1 acsin B 2 2 2 2 / b =ac,Z A=60,. bcsin A=b sin B。 nA=_2。 c 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两

7、边两角之间的关系常用正弦定理。 题型4:正、余弦定理判断三角形形状 例 4 .在 ABC中，若 2cosBsin A= sinC，则 ABO的形状一定是() A.等腰直角三角形B.直角三角形 O.等腰三角形D.等边三角形 答案：O 解析：2sin AcosB= sin C =sin (A+ B) =sinAcosB+cosAsinB sin (A B)= 0,. A= B 另解：角化边 点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解 题途径- 题型5:三角形中求值问题 B c 例5.ABC的三个角为A、B、C，求当A为何值时，cos A 2cos取得最

8、大值，并求出这 2 个最大值。 B+O n AB+O A 解析：由 A+B+C=n,得 2 所以有 cos=sin ?。 B+OA2AAA 1 2 3 cosA+2cos =cosA+2sin ? =1 2sin+ 2sin $= 2(sin - ?) + ?; AA口亠QQ 当sin = ，即 A=y 时，cosA+2cos 三-取得最大值为 2。 点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质 求得结果。 题型6 :正余弦定理的实际应用 三、思维总结 1.解斜三角形的常规思维方法是： (1 )已知两角和一边(如 A、B、C),由A+BC= n求C,

9、由正弦定理求 a、b; (2) 已知两边和夹角(如 a、b、c),应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角， 然后利用A+B+C= n，求另一角； (3) 已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A,应用正弦定理求 B,由A+申C= n求C,再由正弦 定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况； (4) 已知三边a、b、c,应余弦定理求 A B,再由A+B+C = n ,求角 C 2 三角学中的射影定理：在 abc中，b a cosC c cos A， 3两角与其正弦值：在厶abc中，A B sin A sinB， 4 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三

10、角形边对大角定理及几何作图 来帮助理解”。 正余弦定理应用 一、正弦 已知 ABC中, a=2, b= 3, B= 60，那么角 A等于 已知 ABC中, a= x, b= 2, B= 45,若该三角形有两个解，则x的取值围是 在 ABC 中，a=15,b=10,A=60 ，贝V cosB = ABC的三角 A B、C的对边边长分别为 a、b、c.若a = b, A= 2B,则cosB= 在厶 ABC中，角 A B C所对的边分别为 a、b、c.若(&b c)cos A= acosC,贝U cosA= b 在锐角 ABC中, a、b、c分别是三角 A B C的对边，且 B= 2A则-的取值围是

11、 a 二、余弦 已知 ABC 中，AB 4, AC 3, BAC 60，则 BC 在 ABC中，a、b、C所对的边分别是 a、b、c,已知a2 b2 c2 . 2ab，则C 若 ABC的三个角满足 sinA:sinB:sinC 5:11:13，贝U ABC是 若厶ABC的角A B C所对的边a、b、c满足(a+ b)2 c2 = 4,且C= 60 ，贝U ab的值为 在厶ABC中，角 A B C的对边分别为 a、b、c,若(a2+ c2 b2)ta n B=J3ac，则角B的值为 2 2 2 . . 在厶 ABC中, sin A sin B+sin C sin Bsin C,则 A 的取值围是

12、 在厶 ABC 中，a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边，且 2asi nA (2 a c)s in B (2 c b)si nC. (i)求a的大小；(n)若sin B sinC 1,试判断 ABC的形状.(3)求sinB si nC的最大值. 三、综合 在 ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c，若a,b,c成等差数列，B 30,ABC的面积为-，则b 2 在厶 ABC中，角 A B, C 的对边分别是 a，b，c.若 a2- b2=3bc，sin C= 2寸3sin B,贝U A= 在 ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且 a 1,b 、3,则 Sabc= 在厶ABC中，角A B C对边的边长分别是 a、 b、c.已知 c= 2，C= 下载可编辑 (1)若厶ABC勺面积等于3，求a、b的值；(2)若sin C+ sin( B- A) = 2sin2代求厶ABC的面积. 在 ABC中，角A、B、c的对边长分别为a、 b、 c，已知a2 c2 2b，且 sin AcosC 3cosAsinC,求 b 判断三角形形状 ，那么 ABC定是 在厶