第7章题目 刚体力学gai

1、第七章第七章 刚体力学刚体力学 刚体平面运动的解题步骤：刚体平面运动的解题步骤： 1. 求刚体受力的情况求刚体受力的情况 (1) 利用质心运动定理列出利用质心运动定理列出 刚体平面运动的刚体平面运动的两个方程两个方程 ci amF (2) 利用刚体绕质心轴转动定利用刚体绕质心轴转动定 律列出方程律列出方程 IM i (3) 利用约束关系利用约束关系 Rac 2. 求刚体运动速度及角速度求刚体运动速度及角速度 （1）利用刚体平面运动）利用刚体平面运动 的动能定理的动能定理 (2) 利用约束关系利用约束关系 )( 22 2 1 2 1 cc ImvA 外外 Rvc 第七章第七章 刚体力学刚体力学

2、例题例题1如图，固定斜面倾角为如图，固定斜面倾角为 ，质量为，质量为 m 半径为半径为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体质心的 加速度加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力及斜面作用于柱体的摩擦力F . x y O C x y 解解 N F F W 根据质心运动定理根据质心运动定理 c amFWF N y 轴上投影轴上投影 c maFW sin 对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理 Rac sin 3 1 sin 3 2 mgFgac 2 2 1 mRIFR 无滑滚动无滑滚动 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例例2质量为质量为m的汽车

3、在水平路的汽车在水平路 面上急刹车，前后轮均停止转面上急刹车，前后轮均停止转 动动. 前后轮相距前后轮相距L，与地面的摩，与地面的摩 擦因数为擦因数为 .汽车质心离地面高汽车质心离地面高 度为度为h，与前轮轴水平距离为，与前轮轴水平距离为l . 求前后车轮对地面的压力求前后车轮对地面的压力. 解解 汽车受力如图汽车受力如图. 根据质心运动定理根据质心运动定理 O C x y x y 1 F 2 F 1N F 2N F c amFFFFW 212N1N 0 2N1N WFFy 轴投影轴投影 2N21N1 FFFF 0)()( 1N2N21 lFlLFhFF 对质心轴的转动定理对质心轴的转动定理

4、LhlmgF LhlLmgF / )( / )( 2N 1N 由上面方程可解出由上面方程可解出 根据牛顿第三定律，前根据牛顿第三定律，前 后轮对地面的压力大小后轮对地面的压力大小 分别为分别为FN1、FN2 ，但，但 方向向下方向向下. W 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例题例题3 在例题在例题1中，设圆柱体中，设圆柱体 自静止开始滚下，求质心下落自静止开始滚下，求质心下落 高度高度 h 时，圆柱体质心的速率时，圆柱体质心的速率. x y OC x y N F F W 解解 因为是无滑滚动，静摩因为是无滑滚动，静摩 擦力擦力F 不做功，重力不做功，重力W做功，做功， 由动能定理有由动能定理有

5、. 222 4 1 2 1 mRmvc Rvc ghvc3 3 2 222 ) 2 1 ( 2 1 2 1 mRmvmgh c 无滑滚动条件无滑滚动条件 sin 3 2 gac sin)sin 3 2 ( 2 1 2 tgh tgvc)sin 3 2 ( gh3 3 2 第七章第七章 刚体力学刚体力学 7.6 刚体的平衡条件刚体的平衡条件 0 iz M 0 i F 刚体平衡的充要条件刚体平衡的充要条件（一般指刚体静止）（一般指刚体静止） 共面力系共面力系 所有力的作用线位于同一平面内所有力的作用线位于同一平面内（Oxy）. . 第七章第七章 刚体力学刚体力学 0 ix F （1） 对对共面力共

6、面力系系, 在直角坐标系在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为中平衡条件化为 Fiy0 0 iz M 刚体平衡条件的其它形式刚体平衡条件的其它形式0 iz M0 i F 是力对是力对z轴力矩的代数和为零轴力矩的代数和为零, z是垂直于是垂直于Oxy面的任意轴面的任意轴. 0 ix F 0 iz M 0 z i M (2) 在力在力(共面力共面力)的作用平面内选的作用平面内选O和和O 两个参考点，两个参考点，OO 连线不与连线不与Ox轴相互垂直轴相互垂直. 0 iz M 0 z i M 0 z i M (3) 在力在力（共面力）（共面力）的作用平面内选的作用平面内选O、O 和和O 三个参考点，三个

7、参考点， O、O 和和O 三点不共线三点不共线 第七章第七章 刚体力学刚体力学 刚体平衡条件刚体平衡条件 0 ix F Fiy0 0 iz M 0 iz M0 i F 0 ix F 0 iz M 0 z i M(3) 0 iz M 0 z i M 0 z i M (2) (1) (4) 任意力任意力 共面力共面力 共面力共面力 共面力共面力 不垂直不垂直 不共线不共线 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例题例题将长为将长为l ,质量为质量为 m1 的均匀梯子斜靠在墙角下的均匀梯子斜靠在墙角下,已知梯子与已知梯子与 墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为墙面间以及梯子与地面间的静摩擦因数分别为

8、1 和和 2 ，为使质，为使质 量为量为m2 的人爬到梯子顶端时的人爬到梯子顶端时,梯子尚未发生滑动梯子尚未发生滑动.试求梯子与地试求梯子与地 面间的最小夹角面间的最小夹角. 1f F N1 F 2N F m1g 2N22f FF 解解平衡条件平衡条件 0)( 122N1f gmmFF 0 2f1N FF l O 2f F 1N11f FF 联立求解得：联立求解得： 点点对对O 0sincos cos 2 cos 1N1f 12 lFlF l gmglm )(2 2)1( tan 122 2211 1 min mm mm gm2 第七章第七章 刚体力学刚体力学 1.刚体定轴转动几个重要定理和定

9、律刚体定轴转动几个重要定理和定律 质心运动定理质心运动定理转动定律转动定律 动能定理动能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 II dMA z 常量常量 zzZ I M, 0 角动量守恒定律角动量守恒定律 ci amF IM i 第七章第七章 刚体力学刚体力学 3.刚体平面运动几个定理和定律刚体平面运动几个定理和定律 质心运动定理质心运动定理 ci amF 转动定律转动定律 IM i 动能定理动能定理 )( 22 2 1 2 1 cc ImvA 外外 2.刚体的质心和定轴转动的转动惯量的计算刚体的质心和定轴转动的转动惯量的计算 ）；线线；面面（体体lmSmVm mrIddddddd 2

10、 M M c m mx x d d M M c m my y d d M M c m mz z d d 转动惯量的其它计算方法转动惯量的其它计算方法 第七章第七章 刚体力学刚体力学 4. 刚体平衡条件刚体平衡条件 0 ix F Fiy0 0 iz M 0 iz M0 i F 0 ix F 0 iz M 0 z i M(3) 0 iz M 0 z i M 0 z i M (2) (1) (4) 任意力任意力 共面力共面力 共面力共面力 共面力共面力 不垂直不垂直 不共线不共线 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例题例题1 求质量均匀，半径为求质量均匀，半径为R的半球的质心位置的半球的质心位置. 解

11、解 设半球的密度为设半球的密度为 ，将半球分割成许多厚为，将半球分割成许多厚为 dx的圆片的圆片，任取其一体积元任取其一体积元 xdxRxdyVd)( 222 R 8 3 3/2 )( 3 0 22 R xdxRx R 3 32RV V Vdx x V c 由由对称性得对称性得 0 cc zy x R O y z y xxd 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例题例题2 在半径为在半径为R的均质等厚大圆板的一侧的均质等厚大圆板的一侧 挖掉半径为挖掉半径为R/2的小圆板的小圆板,大小圆板相切大小圆板相切,如图如图 所示所示.求余下部分的质心求余下部分的质心. x y O 解解 建立坐标系如图，设平

12、板面建立坐标系如图，设平板面 密度为密度为 ,由对称性，由对称性，yc= 0 余下部分余下部分 2 1 41Rm 2/ 1 Rx c 2 2 43Rm 2 2 22 4/32/41 0 R xRRR c 6 2 R x c 小圆板小圆板 i ii c m xm x 0 c x 2 Rm大圆板大圆板 ? 2 c x 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例题例题3一圆盘形均质飞轮质量为一圆盘形均质飞轮质量为m=5.0kg，半径为半径为 r=0.15m,转速为转速为n=400r/min.飞轮作匀速转动飞轮作匀速转动.飞轮飞轮 质心距转轴质心距转轴d=0.001m，求飞轮作用于轴承的压力求飞轮作用于轴承的

13、压力. 计入飞轮质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计计入飞轮质量但不考虑飞轮重量（这意味着仅计 算由于飞轮的转动使轴承受到的压力，不考虑飞算由于飞轮的转动使轴承受到的压力，不考虑飞 轮所受重力对该压力的影响）轮所受重力对该压力的影响）. rad/s rad/s n 9 .41 30 1416. 3400 30 解解 根据质心运动定理根据质心运动定理 N NdmF8 . 8001. 09 .410 . 5 22 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例例1一匀质细棒的质量为一匀质细棒的质量为M，长为，长为L，转轴通过，转轴通过 棒上离中心为棒上离中心为D的一点并与棒垂直，求细棒对的一点并与棒垂直，求细棒

14、对 给定转轴的转动惯量。给定转轴的转动惯量。 x dm x 解：由题意可给出右图解：由题意可给出右图 L O L/2-D c D D L D L D O L D 取一质量元取一质量元dm，设，设=M/L， 建立坐标系如图，建立坐标系如图， 质量元的质量元的 长度为长度为dx。 =dx 由转动惯量定义有，由转动惯量定义有， dxxI DL DL 2/ )2/( 2 2.2 转动惯量的计算举转动惯量的计算举 例例 第七章第七章 刚体力学刚体力学 dxxI DL DL 2/ )2/( 22332 12 1 12 1 MDMLDLL x dm x L O L/2-D c D D L D L D O L

15、 D = dx 22 12 1 MDMLI 讨论讨论 （1）当）当D=0时时 2 12 1 MLI （2）当）当D=L/2时时 2 3 1 MLI 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例例2(1)求薄圆环求薄圆环(m,R)过环心且与环面垂直的转过环心且与环面垂直的转 轴的转动惯量轴的转动惯量 .（薄圆柱环）（薄圆柱环） 2 mRI (2) 求圆柱环求圆柱环(m,R1, R2)对柱环体轴线的转动惯量对柱环体轴线的转动惯量 . (3) 求圆柱体求圆柱体(m,R)对柱体轴线的的转动惯量对柱体轴线的的转动惯量 . r dr x y z 解解 盘由许多薄环柱组成盘由许多薄环柱组成 mdrId 2 2 1 2

16、 1 2 22 R R R R rdhrrmdrI 2 1 3 2 R R rdrh )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 RRmRRRRh 第七章第七章 刚体力学刚体力学 【例例3】一匀质球壳的质量为一匀质球壳的质量为M，内半径为，内半径为R0，外，外 半径为半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。 解：球壳的体积为解：球壳的体积为 质量体密度为质量体密度为 如图示，在球壳中取一体积元，如图示，在球壳中取一体积元， 33 0 4 () 3 VRR 33 0 3 4() MM VRR 其质量为其质量为 到转动轴到转动

17、轴z的距离为的距离为 其体积为其体积为drd d rdVsin 2 drd d r dVdmsin 2 rDsin yr dV R O D z x R0 第七章第七章 刚体力学刚体力学 转动惯量为转动惯量为 球壳的转动惯量为球壳的转动惯量为 255 0 0 1 2(cos1)dcos() 5 RR 355 0 0 11 2( coscos )() 35 RR 55 0 8 () 15 RR 55 0 33 0 2 5 . RR M RR dmDI M 2 0 2 34 00 dsindd R R Jrr dmDI M 2 讨论：讨论： （1）当）当R0=0时时 2 5 2 MRI （1）当）当

18、R0=R时时 2 3 2 MRI 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的 两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所 受的摩擦阻力矩为Mr。绳与滑轮之间无相对滑 动。试求物体的加速度和绳的张力。 m1 m2 a m1 m2 a m 第七章第七章 刚体力学刚体力学 m1 m2 m1 m2 2 T1 T2 G 2 G 1 m 1 m 2 T2 T1 T2 G 2 G 1 m 1 m 2 解：按题意，滑轮具解：按题意，滑轮具 有一定的转动惯量，在有一定的转动惯量，在 转动中，两边绳子的张转动中，两边绳子的张 力

19、不再相等力不再相等. . 规定竖直向下为规定竖直向下为X轴正轴正 方向，垂直屏幕向里方向，垂直屏幕向里 为为Z轴的正方向轴的正方向 m 第七章第七章 刚体力学刚体力学 T 2 T1 T2 G 2 G 1 m 1 m 2 T2 T1 T2 G 2 G 1 m 1 m 2 对对m1 1111 amgmT 2222 amgmT对对m2 对对mIMrTrT r 12 11 TT 22 TT 21 aa ra 2 第七章第七章 刚体力学刚体力学 )2( )( 21 12 2 mmm rMgmm a r )2( )( 21 12 1 mmm gmmrM a r rmmm rMgmm r )( )( 2 1

20、 21 12 )( )2( 2 1 21 2 1 21 1 mmm rMgmmm T r )( )2( 2 1 21 2 1 12 2 mmm rMgmmm T r 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例题例题2如图如图(a)表示半径为表示半径为R的放水弧形闸门，的放水弧形闸门， 可绕图中左方支点转动，总质量为可绕图中左方支点转动，总质量为m,质心在距质心在距 转轴转轴2/3R处，闸门及钢架对支点的总转动惯量处，闸门及钢架对支点的总转动惯量 为为 ,可用钢丝绳将弧形闸门提起放水，可用钢丝绳将弧形闸门提起放水， 近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧近似认为在开始提升时钢架部分处于水平，弧 形部分

21、的切向加速度为形部分的切向加速度为a=0.1g，g为重力加速为重力加速 度度,不计摩擦不计摩擦,不计水浮力不计水浮力. 2 9 7 mRI 图图(a) 第七章第七章 刚体力学刚体力学 （1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸 门的拉力和支点对闸门钢架的支承力门的拉力和支点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸）若以同样加速度提升同样重量的平板闸 门门图图(b)需拉力是多少？需拉力是多少？ T F W 图图(b) 图图(a) 第七章第七章 刚体力学刚体力学 x y O N F T F W 图图(a) 解解（1）以弧形闸门及钢架为隔离体，

22、受力如）以弧形闸门及钢架为隔离体，受力如 图图(a)所示所示. 建立直角坐标系建立直角坐标系Oxy， 根据转动定理根据转动定理 zT mRRmgRF 2 )9/7() 3/2( y cyNT maFmgF 根据质心运动定理根据质心运动定理 cxxN maF 0 x c a Ra z / Ra zcy ) 3/2( mgF T 90 67 0 xN F mgF yN 90 29 解得解得 第七章第七章 刚体力学刚体力学 T F W 图图(b) (2) 用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，表示提升平板形闸门所用的拉力， 对闸门应用牛顿第二定律，得：对闸门应用牛顿第二定律，得： T F mgF T

23、10 11 比较，可见提升弧形闸门所用的拉力较小比较，可见提升弧形闸门所用的拉力较小. mamgF T 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例题例题3如图表示一种用实验方法测量转动惯量如图表示一种用实验方法测量转动惯量 的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕的装置。待测刚体装在转动架上，线的一端绕 在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴在转动架的轮轴上，线与线轴垂直，轮轴的轴 体半径为体半径为r，线的另一端通过定滑轮悬挂质量为线的另一端通过定滑轮悬挂质量为 m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得并测得m自自静静 止开始下落止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t

24、,求待测物体的转求待测物体的转 动惯量动惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线不计滑轮和线 的质量，线的长度不变的质量，线的长度不变. h I I0 r m 第七章第七章 刚体力学刚体力学 解解分别以质点分别以质点 m 和转动系统和转动系统 I+I0 作为研究作为研究 对象，受力分析如图对象，受力分析如图. x y O N F 2T F maFmg T 1 )( 02 IIrFT 21TT FF ra 2 2 1 ath 0 2 2 ) 1 2 (I h gt mrI h I I0 r m 1T F W 解得解得 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例例: 已知均匀直杆已知均

25、匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，一端挂在光滑水平轴上， 开始时静止在竖直位置，有一子弹（开始时静止在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射水平射 入底部而不出。求杆与子弹一起运动时的角速度入底部而不出。求杆与子弹一起运动时的角速度. 解：解：重力、轴的作用力重力、轴的作用力对轴的力矩为零对轴的力矩为零, 角动量守恒角动量守恒 2 0 1 () 3 mlvmlvMllmMmv)3/(3 0 ()vl vo 0 0 mlvI 碰撞前角动量碰撞前角动量 方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外 碰撞后角动量碰撞后角动量 方向垂直屏幕向外方向垂直屏幕向外 2 0 1 () 3 mlvmlvMl 第七章

26、第七章 刚体力学刚体力学 例例: 已知均匀直杆已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，一端挂在光滑水平轴上， 开始时静止在竖直位置，有一子弹（开始时静止在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射水平射 入杆内而不出。问子弹击中杆的何处，系统的动入杆内而不出。问子弹击中杆的何处，系统的动 量守恒。量守恒。 vo 0 ) 3 1 ( 2 0 Mlvmlvml xx x lv 2 0 l Mmvmv llx 3 2 lmMmv)43/(6 0 第七章第七章 刚体力学刚体力学 v o v o o m p T R 圆圆 锥锥 摆摆 子子 弹弹 击击 入入 杆杆 o v 以子弹和以子弹和 杆为系统杆为

27、系统 以子弹和沙袋以子弹和沙袋 为系统为系统 圆锥摆系统圆锥摆系统 讨讨 论论 子子 弹弹 击击 入入 沙沙 袋袋 细细 绳绳 质质 量量 不不 计计 下面几种情况系统的动量下面几种情况系统的动量、角动量和机械角动量和机械 能是否守恒？能是否守恒？ 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例：圆盘质量例：圆盘质量M,半径半径R,J=MR2/2,转轴光滑转轴光滑,人的人的 质量质量m,开始时，两者静止开始时，两者静止求：人在盘上沿边求：人在盘上沿边 缘走过一周时，人、盘对地面转过的角度分别缘走过一周时，人、盘对地面转过的角度分别 为多少？为多少？ 解：解：在走动过程中在走动过程中,人盘系统人盘系统 角动

28、量守恒角动量守恒 设任意时刻，人对盘设任意时刻，人对盘: ；盘对地；盘对地: ; 人对地人对地: + 0)2/1 ()( 22 MRmR )2/(2Mmm 第七章第七章 刚体力学刚体力学 )2/(4 )2/(2 )2/(2 0 00 Mmm dtMmm dtMmmdt t t t 盘盘 )2/(2Mmm )2/(2 )2/( )2/( 0 00 MmM dtMmM dtMmMdt t t t 人人 人对盘人对盘: ；盘对地；盘对地: ;人对地人对地: + )2/(MmM 第七章第七章 刚体力学刚体力学 例题例题1装置如图所示，均质圆柱体质量为装置如图所示，均质圆柱体质量为m1， 半径为半径为R，重锤质量为重锤质量为m2 ，最初静止，后将重最初静止，后将重 锤释放下