2021_2022学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.12.1.2两条直线平行和垂直的判定学案新人教A版选择性必修第一册精品

1、2.1.2两条直线平行和垂直的判定学 习 任 务核 心 素 养1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直(重点)2.能应用两条直线平行或垂直的关系解决相应的几何问题(重点、难点)通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.两直线平行，则两直线的倾斜角有什么关系？进而两直线的斜率有什么关系？反之，结论成立吗？知识点1两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件12901290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在图示1.(1)两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？(2)如何用斜率证明A，B，C三点共线？提示(1)不是，垂直于x轴的两条直线，虽

2、然平行，但斜率不存在(2)可证明直线AB与直线AC的斜率相等，且两直线过同一点，从而A、B、C三点共线1.已知直线l1经过两点(1，2)，(1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(，6)，且l1l2，则_.2由题意知l1x轴，又l1l2，所以l2x轴，故2.直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别为n1(1，k1)，n2(1，k2)，若l1l2，则k1，k2满足什么关系？反之，结论是否成立？知识点2两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1l22.“两条直线的斜率之积等于1”是“

3、这两条直线垂直”的充要条件吗？提示不是“两条直线的斜率之积等于1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在2.l1的斜率为，l2经过点A(1,1)，B(0，m)，当l1l2时，m的值为_由条件l1l2得1，解得m. 类型1两直线平行的判定及应用【例1】(1)(对接教材P56例题)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行l1经过点A(2,3)，B(4,0)，l2经过点M(3,1)，N(2,2)；l1的斜率为，l2经过点A(4,2)，B(2,3)；l1平行于y轴，l2经过点P(0，2)，Q(0,5)；l1经过点E(

4、0,1)，F(2，1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)(2)试确定m的值，使过点A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点C(4,3)，D(0,5)的直线平行解(1)kAB，kMN1，kABkMN，所以l1与l2不平行l1的斜率k1，l2的斜率k2，k1k2，所以l1与l2平行或重合由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1l2.由题意，知kEF1，kGH1，kEFkGH，所以l1与l2平行或重合需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG1.所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合(2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率

5、也存在，kAB，kCD.由于ABCD，所以kABkCD，即.解得m2.经验证m2时，直线AB的斜率存在，故m的值为2.试总结判断两条平行的步骤提示跟进训练1已知点A(m,3)，B(2m，m4)，C(m1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为()A1B0C0或1D0或2C法一：A(m,3)，B(2m，m4)，其方向向量为(m，m1)C(m1,2)，D(1,0)，其方向向量为(m，2)，由直线AB与直线CD平行，得m(2)(m1)(m)0，解得m0或m1.经检验，m0或m1时，两直线不重合，故选C法二：当m0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在，此时ABCD，满足题意当m0

6、时，kAB，kCD，由题意得kABkCD，即，解得m1或m0(舍去)经检验，m0或m1时，两直线不重合，m的值为0或1.故选C 类型2两直线垂直的判定及应用【例2】(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直l1经过点A(1，2)，B(1,2)；l2经过点M(2，1)，N(2,1)；l1的斜率为10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)；l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(10,40)，N(10，40)(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，求a的值解(1)k12，k2，k1k21，l1与l2不垂直k110

7、，k2，k1k21，l1l2.由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90，则l1x轴k20，则l2x轴，l1l2.(2)因为直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，所以l2的斜率存在，设为k2.当k20，即a23，亦即a5时，A(3,5)，B(3,3)，显然直线l1的斜率不存在，满足l1l2；当k20，即a23，亦即a5时，显然l1的斜率存在，设为k1，要满足题意，则k1k21，得1，解得a2.综上可知，a的值为5或2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况跟进训练2已知A(m3,2)，B(2m4,4)，C(

8、m，m)，D(3,3m2)，若直线ABCD，求m的值解A，B两点纵坐标不相等，AB与x轴不平行ABCD，CD与x轴不垂直，m3，m3.(1)当AB与x轴垂直时，m32m4，解得m1.当m1时C，D两点的纵坐标均为1.CDx轴，此时ABCD，满足题意(2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得kAB，kCD.ABCD，kABkCD1，即1，解得m1.综上，m的值为1或1. 类型3两条直线平行与垂直的综合应用【例3】(1)已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，点D满足ABCD，且ADBC，则点D的坐标为_(2)已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(5,2)，D(1,2)若四边形ABCD为直

9、角梯形，求A点坐标如何利用直线的平行与垂直关系，求点的坐标？(1)(10，6)设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB1，直线CD的斜率kCD，直线BC的斜率kBC，直线AD的斜率kAD，由ABCD，且ADBC，得解得所以点D的坐标为(10，6)(2)解若AD90，如图(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1)图(1)图(2)若AB90，如图(2)设A(a，b)，则kBC3，kAD，kAB.由ADBCkADkBC，即3；由ABBCkABkBC1，即(3)1.解得故A.综上所述，A点坐标为(1，1)或.关于直线平行与垂直的综合应用(1)设出点的坐标，利用平行、垂直

10、时的斜率关系建立方程(组)去解(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论跟进训练3在直角梯形ABCD中，已知A(5，10)，B(15,0)，C(5,10)，AD是腰且垂直两底，求顶点D的坐标解设D(x，y)，因为DCAB，所以，又因为DAAB，所以1.由以上方程组解得：x11，y2.所以D(11,2)1若过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，1)和点N(3,4)的直线平行，则m的值是()ABC2D2B由kPQkMN，即，得m.经检验知，m符合题意2若直线l1的斜率为a，l1l2，则直线l2的斜率为()ABaCD或不存在D由l1l2，当a0

11、时，kl2，当a0时，l2的斜率不存在，故应选D3若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是()AB CDA依题意得，k11，即k1，解得a，故选A4(多选题)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是1，2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是()A若l1l2，则k1k2B若k1k2，则l1l2C若l1l2，则12D若12，则l1l2ABCD由题意知，两直线l1，l2的斜率存在，根据两直线平行，其斜率和倾斜角的关系知，A，B，C，D均正确5若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为_1若a3b，则P，Q两点重合，不合题意故PQ斜率存在由kPQ1，得线段PQ的垂直平分线