2026年学期春高二数学人教B版（2019）第11周周末小测卷

第六章第六章导数及其应用第十一周·周末小测卷考查范围：利用导数解决实际问题一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款金额x（单位：万元）满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款()A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元2.进入5月份以来，为了应对五一小长假人们的购物需求，A地组织物流企业的汽车运输队通过高速公路向上海运送物资.已知A地距离上海，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（单位：）的立方成正比，正比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为()A. B. C. D.3.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额y（单位：万元）与莲藕种植量x（单位：万斤）满足关系式（a为常数）.若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕()A.7万斤 B.8万斤 C.9万斤 D.10万斤4.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm5.学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动量为个单位，则捕鱼活动的收益，捕鱼活动的成本，其中k为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下，且当时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到，使得时捕鱼活动的利润减少到0，则约为()A.4.6 B.5.4 C.6.2 D.7.06.将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，()A.3 B.4 C. D.7.现有一块边长为2米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为()A.米 B.米 C.米 D.米8.某厂生产x万件某产品的总成本为万元，且.已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为()A.23万件 B.25万件 C.50万件 D.75万件二、选择题：本题共2小题.每小题6分.共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为V，则下列说法正确的是()A.（）B.方盒容积的最大值为C.在区间上单调递增D.当时，10.如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的等腰直角三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则下列说法正确的有()A.冰块的最大体积为B.冰块的最大体积为C.冰块体积达到最大时，冰块的高度为D.冰块体积达到最大时，冰块的高度为三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分.11.近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为________.12.滑县木版画是河南安阳最传统的手工艺品，创始于明朝初期，距今已有六百多年的历史了，滑县木版画制作工艺考究，至今一直都是纯手工制作，颜色精细淡雅，色彩和谐，人物造型夸张，线条刚劲有力，极具当地的民俗特色.张华的伯伯制作滑县木版画并出售，寒假期间张华通过调研得知伯伯制作的A系列木版画的成本为30元／套，每月的销售量（单位：套）与销售价格x（单位：元／套）近似满足关系式，其中，则当A系列木版画销售价格定为_____________元／套时，月利润最大.13.甲、乙两地相距，汽车从甲地以速度v（单位：）匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元.为使全程运输成本最小，汽车应以____________的速度行驶.14.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中r（单位：）是球的半径.已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为_________.四、解答题：本题共1小题，共16分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是分，其中r(cm)是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.(1)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？参考答案参考答案1.答案：B解析：依题意，，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以当时，函数取得最大值.故选B.2.答案：C解析：设运输成本为y元，依题意可得，，则.令，则.当时，；当时，.故函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，所以当时全程运输成本最低.故选C.3.答案：B解析：由题意，利润函数，即，则，解得.故，则.令，则有，令，则有，所以的极大值点即最大值点，为，故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤.故选B.4.答案：B解析：由题意可知，每瓶液体材料的利润，所以，令，得.当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故每瓶液体材料的利润最大时，.故选：B.5.答案：C解析：设捕鱼活动的利润为y，则，，所以，令，解得，所以当时，，y单调递增；当时，，y单调递减；所以当时，y取最大值，为25，所以；由题意可得当单位捕鱼活动的成本增加到，时，，所以，解得.故选：C.6.答案：D解析：由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为x，则.所以无盖方盒的容积为，.所以，令，解得；令，解得.∴函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值即最大值，即当时方盒的容积最大.故选：D7.答案：C解析：设截去的小正方形边长为x米，由题意容器底边长为米，高为米，故体积，则.故当时，单调递增；当时，单调递减.故为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为米.故选：C.8.答案：B解析：设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以，（其中k为非零常数），又生产100件这样的产品单价为50元，所以，故，所以，记生产x件产品时，总利润为，所以，，则，令有，且在上单调递减，故由，得；由，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，因此当时，取最大值，即产量定为25万件时，总利润最大.故选：B9.答案：ABD解析：由题意可知，无盖方盒底面是边长为的正方形，高为x.根据长方体体积公式，可得方盒容积，展开可得：因为要能做成无盖方盒，则且，即，所以，故A选项正确.对求导，可得：，令，即，解得，.因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.则在处取得极大值，也是最大值，，故B选项正确.由上述求导分析可知，当时，，所以在区间上单调递减，故C选项错误.当时，.易知.所以，，，，.一共有9组和为2的数对，再加上，则，故D选项正确.故选：ABD.10.答案：BC解析：由圆锥的轴截面为面积是的等腰直角三角形，可算出该三角形直角边长为，斜边长为，如图所示.则圆锥母线长，高，底面半径，.设冰块的底面半径，高为h，由题可得，若冰块的体积最大，则冰块的高度，故冰块的体积，其中，则有，令，解得；令，解得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，冰块的体积最大，最大值为，此时冰块高度.故选BC.11.答案：0.047解析：设y表示收益，则存款量是，贷款收益为，则收益，，当时，，当时，，所以函数y在内单调递增，在单调递减，即收益y在时取得极大值，亦即最大值.所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047，故答案为：0.047.12.答案：50解析：设A系列木版画的月利润为，则，，所以，.令，则.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，利润取到极大值，也是最大值，即当A系列木版画销售价格定为50元／套时，月利润最大.13.答案：80解析：设全程运输成本为y元，由题意，得，，所以.令，得.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，全程运输成本最小.14.答案：6解析：由已知，每个瓶子的利润为，，则，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，又，所以当时，函数取得最大值，即当半径为时，利润最大；故答案为：6.15.答案：(1)瓶子半径为时，每瓶饮料的利润最大(2)瓶子半径为