材料力学经典讲解

1、 研究工程材料研究工程材料力学行为力学行为和和构件安构件安 全设计全设计理论的学说称为材料力学。理论的学说称为材料力学。 材料力学研究的问题材料力学研究的问题 （1）在各种外力作用下，杆件的内力）在各种外力作用下，杆件的内力 和变形，以及外力、内力和变形之间的和变形，以及外力、内力和变形之间的 关系；关系； （2）杆的几何形状和尺寸对强度、刚）杆的几何形状和尺寸对强度、刚 度和稳定性的影响；度和稳定性的影响； （3）常用工程材料的主要力学性质。）常用工程材料的主要力学性质。 在此基础上，建立保证杆件的强度、在此基础上，建立保证杆件的强度、 刚度和稳定性的条件。刚度和稳定性的条件。 3. 为合理

2、解决工程构件设计中安全性与经济为合理解决工程构件设计中安全性与经济 性之间的矛盾提供力学方面的依据。性之间的矛盾提供力学方面的依据。 强度条件、刚度条件、欧拉公式强度条件、刚度条件、欧拉公式 应力状态分析与四种强度理论应力状态分析与四种强度理论 1.材料的力学性能材料的力学性能；拉伸时与压缩时的力学性能拉伸时与压缩时的力学性能 2. 构件的强度、刚度和稳定性构件的强度、刚度和稳定性； 强度强度：拉伸、压缩、剪切、挤压、扭转、弯曲拉伸、压缩、剪切、挤压、扭转、弯曲 刚度刚度：拉伸、压缩、扭转、弯曲拉伸、压缩、扭转、弯曲 稳定性稳定性：压杆稳定、动载荷、交变应力、疲劳压杆稳定、动载荷、交变应力、疲

3、劳 材料力学研究问题的程序材料力学研究问题的程序 设计截面设计截面 强度或刚度校核强度或刚度校核 确定许可荷载确定许可荷载 应力应力强度条件强度条件 变形变形 刚度条件刚度条件 解超静定问题解超静定问题 内力内力外力外力 载荷与约束反力载荷与约束反力 f f 危险点处的最大应力危险点处的最大应力材料的许用应力材料的许用应力 最大变形位移值最大变形位移值允许变形位移值允许变形位移值 材料力学内容的简单回顾材料力学内容的简单回顾 基本变形问题基本变形问题： 拉伸、压缩、剪切、挤压、扭转、弯曲拉伸、压缩、剪切、挤压、扭转、弯曲 组合变形问题组合变形问题： 拉（压）拉（压）-弯、偏心拉伸（压缩）、弯曲

4、弯、偏心拉伸（压缩）、弯曲-扭转、拉弯扭扭转、拉弯扭 压杆稳定问题压杆稳定问题： 受压直杆的稳定条件受压直杆的稳定条件 动应力问题动应力问题： 动荷载、交变应力动荷载、交变应力 内力：内力：轴力、剪切力、扭矩、弯矩轴力、剪切力、扭矩、弯矩 内力是外力引起的抗力，所以应用截面法，根据内力是外力引起的抗力，所以应用截面法，根据 静力学平衡方程及边界荷载法就可求出内力。回顾我静力学平衡方程及边界荷载法就可求出内力。回顾我 们在研究基本变形问题和组合变形问题时，杆件横截们在研究基本变形问题和组合变形问题时，杆件横截 面上的内力，诸如轴力、剪力、扭矩和弯矩等无一不面上的内力，诸如轴力、剪力、扭矩和弯矩等

5、无一不 是应用截面法及边界荷载法求得的。是应用截面法及边界荷载法求得的。 内力是杆件横截面上分布内力系的合力或合力偶内力是杆件横截面上分布内力系的合力或合力偶 矩，因此它们不能确切表达横截面上各点处材料受力矩，因此它们不能确切表达横截面上各点处材料受力 的强弱的强弱。为了解决杆件的强度计算问题，我们就必须为了解决杆件的强度计算问题，我们就必须 探讨受力杆件横截面上的应力分布规律和应力计算。探讨受力杆件横截面上的应力分布规律和应力计算。 组合受力变形组合受力变形 杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式 轴向拉轴向拉. .压压 剪剪 切切扭扭 转转弯弯 曲曲 受力受力 变形特点变形特点 PP PP

6、P P mm 内力内力 ( (截面法截面法) ) 轴力轴力 N 剪力剪力 Q 挤压力挤压力 Pjy 扭矩扭矩 T 剪力剪力 弯矩弯矩 应力应力 A N jq A Q jy jy jy A P P I T Z I My bI QS Z Z 强度强度 条件条件 min max max A N jyjy max max max Z W M 一侧 PN 一侧 mT 一侧 PQ 一侧 Pxm min)/( )( 9549 rn kwP m m max max t W T 变形变形 刚度条件刚度条件 EA NL L 180 max P GI T xMxEIf ) ( maxmax ff 轴向拉轴向拉. .

7、压压扭扭 转转弯弯 曲曲 L L 虎克定律虎克定律 EG 静不定静不定 问题问题 1、静平衡方程、静平衡方程 2、变形协调方程（几何方程、变形协调方程（几何方程) 32 4 p D I 16 3 D Wt 3、物理方程、物理方程 p IG LT 挠挠 度度 转转 角角 EI Pl y 3 3 max EI Pl 2 2 max EI Ml y 2 2 max EI Ml max EI ql 6 3 max EI ql y 8 4 max EI Ml EI Ml 63 、 Z EI Pl 16 2 max Z EI Pl y 48 3 max Z EI ql 24 3 max Z EI ql y

8、 384 5 4 max 拉（压）拉（压） 1 A P 扭转扭转 p I T 弯曲弯曲y I M z A：面积：面积 Ip：极惯性矩：极惯性矩 Iz：关于中性轴的惯性矩：关于中性轴的惯性矩 分布规律 几何量 内力 应力 拉（压）拉（压） EA Pl l 扭转扭转 p GI Tl 弯曲弯曲 EI M EA：拉伸刚度：拉伸刚度 GIp：扭转刚度：扭转刚度 EI：弯曲刚度：弯曲刚度 刚度 内力 应变 拉（压）拉（压） 扭转扭转 弯曲弯曲 EA：拉伸刚度：拉伸刚度 GIp：扭转刚度：扭转刚度 EI：弯曲刚度：弯曲刚度 刚度 内力 变形能 2 EA lP U 2 2 p GI lT U 2 2 EI l

9、M U 2 2 构件构件 变形固体变形固体 外力外力 解决问题的思路解决问题的思路 衡量构件承载能力的衡量构件承载能力的3个方面个方面材料力学的任务材料力学的任务 一般条件下的两个限制一般条件下的两个限制 变形固体的三个基本假设变形固体的三个基本假设 内力内力 应变应变 构件的几何模型构件的几何模型 变形变形 杆件变形的杆件变形的4种基本形式种基本形式 受力特点受力特点变形特点变形特点 （等）直杆、曲杆（等）直杆、曲杆板（壳）板（壳） 块体块体 位移位移 线位移（点移动的直线距离）线位移（点移动的直线距离） 角位移（一线段（面）转过的角度）角位移（一线段（面）转过的角度） 角应变（切应变）角应

10、变（切应变）线应变线应变 应力应力 与截面垂直的分量与截面垂直的分量-正应力正应力与截面相切的分量与截面相切的分量-切应力切应力国际制单位国际制单位 研究内力的方法研究内力的方法截面法（截、取、代、平截面法（截、取、代、平)）向截面内一点的简化向截面内一点的简化 外力的分类外力的分类 按作用方式分按作用方式分 按随时间变化情况分按随时间变化情况分 静载荷静载荷 动载荷动载荷冲击载荷冲击载荷 交变载荷交变载荷 表面力表面力 体积力体积力 分布力分布力 集中力集中力 分布力分布力 第一章第一章 知识网络图知识网络图 两大主线两大主线：应力分析（讨论强度问题）：应力分析（讨论强度问题） 变形分析（讨

11、论刚度问题）变形分析（讨论刚度问题） 四个基本假设四个基本假设: 连续性、均匀性、各向同性、小变形连续性、均匀性、各向同性、小变形 外力：外力：集中力、体积力、表面力集中力、体积力、表面力 动载荷（冲击、交变）和静载荷动载荷（冲击、交变）和静载荷 内力：内力：轴力、剪切力、扭矩、弯矩轴力、剪切力、扭矩、弯矩 力的分类：力的分类： 应力：应力：正应力、剪应力正应力、剪应力 A P p A lim 0 A P N A lim 0 A PS A lim 0 222 p 变形、位移变形、位移 应变：应变：线应变、角应变线应变、角应变 s u 0s lim ) 2 (lim 0y 0 x 轴向拉伸（压缩

12、）的定义及特征轴向拉伸（压缩）的定义及特征 材料拉伸（压缩）时的力学性质材料拉伸（压缩）时的力学性质 （常温、静载）（常温、静载） 塑性材料、脆性材料的失效准则塑性材料、脆性材料的失效准则 轴力轴力轴力图轴力图 平面假设平面假设圣维南定理圣维南定理 典型低碳钢拉伸时的力学特性典型低碳钢拉伸时的力学特性 脆性材料铸铁压缩时力学特性脆性材料铸铁压缩时力学特性 四个阶段四个阶段 四个极限应力四个极限应力 两个塑性指标两个塑性指标 一个弹性模量一个弹性模量 塑性流动、脆性断裂塑性流动、脆性断裂 强度极限强度极限b、 、 屈服极限 屈服极限s 的确定的确定 材料失效时的极限应力材料失效时的极限应力 塑性

13、流动塑性流动 s、0.2 脆性断裂脆性断裂 b 许用应力许用应力 横截面上的应力计算横截面上的应力计算 )( A N 第二章第二章 拉伸与压缩知识网络图拉伸与压缩知识网络图 强度条件强度条件 变形能变形能 静不定问题静不定问题 三类计算问题：三类计算问题： 强度校核、截面设计、确定许可载荷强度校核、截面设计、确定许可载荷 横向变形横向变形 力法解静不定问题的基本步骤力法解静不定问题的基本步骤 应力集中应力集中 剪切和挤压剪切和挤压 的实用计算的实用计算 泊松比 EA lP U 2 2 功能原理求位移的载荷唯一性限制功能原理求位移的载荷唯一性限制功能原理功能原理 是否静不定问题及静不定次数的判定

14、是否静不定问题及静不定次数的判定 静力方程静力方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程 温度应力与装配应力温度应力与装配应力 bs bs A P 挤压应力 A Q 切应力 剪切面积的判定剪切面积的判定 挤压面积的判定挤压面积的判定 剪切强度校核剪切强度校核 挤压强度校核挤压强度校核 EA Pl EA Nl l纵向变形纵向变形 轴力图轴力图 表示轴力沿杆轴变化的图形称为轴力图表示轴力沿杆轴变化的图形称为轴力图 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂 直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘 出表示轴

15、力与横截面位置关系的图线，称为出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为 轴力图轴力图 . 将正的轴力画在将正的轴力画在x轴上侧，负的画在轴上侧，负的画在x轴下侧轴下侧. x FN O （1）作法：）作法： B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵纵 坐标表示相应截面上的轴力；坐标表示相应截面上的轴力； （2）举例：）举例： A、用截面法求出各段轴力的大小；、用截面法求出各段轴力的大小； C、拉力绘在、拉力绘在 轴的上侧，压力绘在轴的上侧，压力绘在 轴的下侧。轴的下侧。 xx CABD 600300500400 E 40kN55kN 25kN20

16、kN CABDE 40kN55kN 25kN20kN R kN10100 020202525555540400 0 RRFx CABDE 40kN55kN 25kN20kN 1 0 0 1 1 RFN )()(RF kN N 1010 1 1 R40kNFN2 20kN CABDE 40kN55kN 25kN R 2 0 04040 2 2 RFN )()(RF kN N 50504040 2 2 FN3 20kN25kN CABDE 40kN55kN 25kN20kN R 3 0 020202525 3 3 N F )()kN( N 5 5 3 3 F 20kN FN4 40kN55kN 2

17、5kN20kN R 4 )()(F kN N 2020 4 4 单位：单位：KN x N 选一个坐标系，用其横坐标 表示横截面的位置，纵坐标 表示相应截面上的轴力。 拉力绘在x轴的上侧， 压力绘在x轴的下侧。 0 CABD 600300500400 E 40kN55kN 25kN20kN FN1=10kN （拉力）（拉力） FN2=50kN （拉力）（拉力） FN3= - 5kN （压力）（压力） FN4=20kN （拉力）（拉力） FN1=10kN （拉力）（拉力） FN2=50kN （拉力（拉力） FN3= - 5kN （压力）（压力） FN4=20kN （拉力（拉力） 发生在发生在BC段

18、内任一横截面上段内任一横截面上 50 10 5 20 + + CABD 600300500400 E 40kN55kN 25kN20kN )(FkN Nmax 5050 x x y y 画轴力图要求：画轴力图要求： N图画在受力图下方；图画在受力图下方； 各段对齐，打纵线；各段对齐，打纵线； 标出特征值、符号、注明力的单位。标出特征值、符号、注明力的单位。 注意同一图应采用同一比例。注意同一图应采用同一比例。 画轴力图目的：画轴力图目的： 表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律；表示出轴力沿杆件轴线方向的变化规律； 易于确定最大轴力及其位置。易于确定最大轴力及其位置。 计算轴力的法则：计算轴力的法

19、则： 任一截面的轴力任一截面的轴力=（截面一侧载荷的代数值）。（截面一侧载荷的代数值）。 轴力图突变：轴力图突变： 在载荷施加处，轴力图要发生突变，突变量等在载荷施加处，轴力图要发生突变，突变量等 于载荷值。于载荷值。 轴力的符号：轴力的符号： 离开该截面为正，指向该截面为负。离开该截面为正，指向该截面为负。 根据以上三条可以很方便地画出轴力图根据以上三条可以很方便地画出轴力图。 低低碳碳钢拉伸时的力学性能钢拉伸时的力学性能 O e p s b 线弹性阶段线弹性阶段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 拉伸曲线拉伸曲线 p比例极限比例极限 e弹性极限弹性极限 s屈服极限屈服极限 b强度极限强度

20、极限 %100 1 l ll %100 1 A AA 伸长率伸长率 断面收缩率断面收缩率 强度指标强度指标(失效应力失效应力) 脆性材料 韧性金属材料 塑性材料塑性材料 s 脆性材料脆性材料 b s n b s n s max max A N 塑性材料和脆性材料力学性能比较塑性材料和脆性材料力学性能比较 塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 断裂前有很大塑性变形断裂前有很大塑性变形断裂前变形很小断裂前变形很小 抗压能力与抗拉能力相近抗压能力与抗拉能力相近抗压能力远大于抗拉能力抗压能力远大于抗拉能力 延伸率延伸率 5%延伸率延伸率 1 n1 ） 胡克定律胡克定律 实验证明：实验证明： A Pl l

21、 引入比例常数引入比例常数E,则则 EA lF EA Pl l N （胡克定律）（胡克定律） E表示材料弹性性质的一个常数，表示材料弹性性质的一个常数，称为拉压弹称为拉压弹 性模量性模量，亦称，亦称弹性模量弹性模量。单位：。单位：MPa、GPa. 物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长 l 与与P和杆件的原长度成正比，与横截面面积和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。成反比。 确定安全系数要兼顾确定安全系数要兼顾经济与安全经济与安全，考虑以下几方面：，考虑以下几方面： 标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。标准强度与许用应力

22、的比值，是构件工作的安全储备。 安全系数：安全系数： （1）极限应力的差异；）极限应力的差异； （2）构件横截面尺寸的变异；）构件横截面尺寸的变异； （3）荷载的变异；）荷载的变异； （4）计算简图与实际结构的差异；）计算简图与实际结构的差异； （5）考虑强度储备。）考虑强度储备。 n 0 b b s s n n 脆性材料：脆性材料： 塑性材料：塑性材料： 一般来讲一般来讲 sb nn 因为断裂破坏比屈服破坏更危险因为断裂破坏比屈服破坏更危险 许用应力许用应力 剪切强度条件：剪切强度条件： A Q 名义许用剪应力名义许用剪应力 剪切与挤压的计算剪切与挤压的计算 剪切和挤压与轴向拉伸或压缩无本质

23、联系。剪切和挤压在计剪切和挤压与轴向拉伸或压缩无本质联系。剪切和挤压在计 算形式上轴向拉伸或压缩相似。算形式上轴向拉伸或压缩相似。 名义许用挤压应力名义许用挤压应力 bs bs bs A P 挤压强度条件：挤压强度条件： 注意剪切面面积和挤压面有效挤压面积的确定注意剪切面面积和挤压面有效挤压面积的确定 D d h P 4 4 2 22 2 )( bs dD A h d dhA 因此有因此有： P hd P 4 2 d P bs dD P )( 4 22 受力特点受力特点 变形特征变形特征 扭矩的符号规定和扭矩图扭矩的符号规定和扭矩图 圆截面等直杆圆截面等直杆 扭转的基本概念扭转的基本概念 已知

24、力、力臂、或功率、转速求力偶矩已知力、力臂、或功率、转速求力偶矩 n P m9549 tr m 2 2 )1 (2 E G 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 危险截面危险截面 右手螺旋法则右手螺旋法则 控制面和突变关系控制面和突变关系 纯剪切纯剪切 薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力 切应力互等定理切应力互等定理 剪切胡克定律剪切胡克定律 解释不同的破坏现象解释不同的破坏现象 圆扭转时的应力圆扭转时的应力 变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 静力关系静力关系 强度条件强度条件 max max t W T G 第三章第三章 扭转扭转 知识网络图知识网络图 扭转变形能扭转变形能 p

25、GI lT mu 22 1 2 180 max max p GI T ) 1 2 ( 8 3 max D d d PD 抗扭截面系数抗扭截面系数 )1 ( 162/ 32 )1 ( 4 3 44 D D D R I W p t 刚度条件刚度条件 强度条件和刚度条件的应用强度条件和刚度条件的应用 强度和刚度校核强度和刚度校核 截面设计截面设计 许可载荷的确定许可载荷的确定 注意两种条件并用注意两种条件并用 矩形截面杆扭转理论矩形截面杆扭转理论 圆柱形密圈弹簧的应力与变形圆柱形密圈弹簧的应力与变形 弹簧丝截面上的的应力弹簧丝截面上的的应力 弹簧的变形弹簧的变形 4 3 64 Gd nPR 矩形截面

26、杆的扭转矩形截面杆的扭转 2 hb T t GI Tl 圆扭转时的变形圆扭转时的变形 MeMe 扭转的受力特点扭转的受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶. . 扭转的变形特点扭转的变形特点 杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动. . 扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动任意两截面绕轴线转动 而发生的角位移。而发生的角位移。 剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。 n N m9549 薄壁圆筒扭转时的切应力：薄壁圆筒

27、扭转时的切应力： tr m 2 2 切应力互等原理：切应力互等原理： 切应变、剪切胡克定律：切应变、剪切胡克定律： G ） 1 (2 E G 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩 mT mT mx 0 0 e e e 外力偶矩转向的确定：外力偶矩转向的确定： 主动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相同，主动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相同， 从动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相反从动轮上外力偶矩的转向与轴的转动方向相反 。 （1）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆因扭转使某一段内的纵）联系扭转变形来规定扭矩符号：杆

28、因扭转使某一段内的纵 向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反向母线有变成右手螺旋的趋势时，则该截面上的扭矩为正，反 之为负。之为负。 （2）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把）右手螺旋法则：若按右手螺旋法则把Me表示为矢量，当矢表示为矢量，当矢 量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。量方向与截面的外法线方向一致时，为正，反之为负。 扭转正、负号的规定：扭转正、负号的规定： 右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),反之为反之为 负负(-) Me x n n MeMe x Me x 采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则,当力偶矩矢的指当力偶矩矢的指 向背离

29、截面时扭矩为正，反之为负向背离截面时扭矩为正，反之为负. 2 2、扭矩符号的规定、扭矩符号的规定 3 3、扭矩图、扭矩图 用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标 x 表示横表示横 截面的位置；用垂直于杆轴线的截面的位置；用垂直于杆轴线的 坐标坐标 T 表示横截面上的扭矩，正表示横截面上的扭矩，正 的扭矩画在的扭矩画在 x 轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方轴下方. 例题例题1 一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮，主动轮A输输 入的功率为入的功率为P1 = 500 kW . 若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗

30、的功率，三个从 动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW 及及 P4 = 200 kW. 试做扭矩图试做扭矩图. 解解:计算外力偶矩计算外力偶矩 n P m9549 mN6379 mN4780 mN15900 D CB A m mm m 结果为负号，说明结果为负号，说明T 2 应是负值扭矩应是负值扭矩 由平衡方程由平衡方程 0 0 2 Tmm m CB x mN9560 2 CB mmT 同理，在同理，在 BC 段内段内 mN4780 1 B mT x mBmC T2 mB 1 T 同理，在同理，在 BC 段内段内 在在 AD 段内段内 1 3

31、3 注意：若假设扭矩为正值，则注意：若假设扭矩为正值，则 扭矩的实际符号与计算符号相同扭矩的实际符号与计算符号相同. mDmA mC mB mB mN4780 1 B mT mN6370 3 D mT 作出扭矩图作出扭矩图 从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩 在在 CA段内段内. mN9560 max T 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 p I T R p t I W n i Pi ini GI LT 1 maxmax max tp W T I RT 抗扭截面系数抗扭截面系数 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 P GI TL 等直杆等直杆 切应力互等定理切应力互等定理 在单元体相互垂直的两

32、个平面在单元体相互垂直的两个平面 上，剪应力必然成对出现，且上，剪应力必然成对出现，且 数值相等，两者都垂直于两平数值相等，两者都垂直于两平 面的交线，其方向则共同指向面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。或共同背离该交线。 纯剪切单元体：纯剪切单元体： 单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体. G 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定， 钢材的钢材的

33、G值约为值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系 （推导详见后面章节）：（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。就可以推算出来。 )1 ( 2 E G ） 1 (2 E G E 弹性模量弹性模量 G 切变模量切变模量 泊松比泊松比 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表

34、明材 料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三 个弹性常数之间存在下列关系个弹性常数之间存在下列关系: p I T p I T R max R p t I W 横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式处任一点剪应力计算公式 在圆截面的边缘在圆截面的边缘为最大值为最大值R,则最大切应力为：则最大切应力为： 引入抗扭截面系数引入抗扭截面系数得到：得到： t W T max 式中：式中： T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 极惯性矩，纯几何量，无物理意

35、义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 p I 适用范围适用范围: 以上推导时以平面假设为基础以上推导时以平面假设为基础,只有对横截面不只有对横截面不 变的圆轴平面假设才是正确的变的圆轴平面假设才是正确的,因此因此: 1. 公式只适用于圆截面的等直杆公式只适用于圆截面的等直杆(对沿轴线圆截对沿轴线圆截 面变化缓慢的小锥度杆可近似使用面变化缓慢的小锥度杆可近似使用). 2. 仅适用于仅适用于max低于剪切比例极限的情况低于剪切比例极限的情况(胡克胡克 定律定律) 截面极惯性矩截面极惯性矩Ip和抗扭截面和抗扭截面Wt系数的计算系数的计算 对于实心圆截面：对于实心圆截面： 对于空心圆截面：对于空心圆截

36、面： 16 3 D R I W p t )1 ( 16 4 3 D R I W p t D d 322 2 44 0 32 DR ddAI R A p )1 ( 32 )( 32 2 4 4 442 2 32 D dDddAI D d A p dddA 圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件 强度条件：强度条件： 对于等截面圆轴：对于等截面圆轴： t max max W T max t W T ( 称为许用剪应力。) 强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷： max max t W T max T Wt max t WT

37、）（空： 实： 4 3 3 1 16 16 D D Wt 单位长度扭转角单位长度扭转角 ： (rad/m) d d p GI T x /m)( 180 d d p GI T x 或 刚度条件刚度条件 (rad/m) max p xma GI T /m)( 180 max max p GI T 或 GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。 以 表示扭转角的变化率表示扭转角的变化率 dx d (3.20) 扭转强度条件扭转强度条件 扭转刚度条件扭转刚度条件 已知已知T T 、D D 和和，校

38、核强度校核强度 已知已知T T 和和， 设计截面设计截面 已知已知D D 和和，确定许可载荷确定许可载荷 已知已知T T 、D D 和和，校核刚度校核刚度 已知已知T T 和和 ，设计截面设计截面 已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷 圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 max max t W T 16 3 D Wt p max max GI T 32 4 p D I 第四章 平面图形的几何性质 知识网络图 组合图形静矩的计算组合图形静矩的计算 A z A y ydAS zdAS 求组合图形的形心求组合图形的形心 n i ii

39、z n i ii y yA S zA S 11 n i i n i i i x n i i n i i i y A y A A S y A z A A S z 1 1 1 1 ， d d A S A Ay y A S A Az z zA y A 静矩（一次矩）静矩（一次矩） 量纲：量纲：L3, 符号：符号：+ - 0静矩为零，轴过形心，反之亦然静矩为零，轴过形心，反之亦然 64 4 D II zy 第四章平面图形的几何性质 知识网络图 二次（极）矩二次（极）矩 Ay I A zI A x A y d d 2 2 zy III 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积Ayz I A yz d 极惯极惯 性矩性

40、矩 A I A p d 2 量纲：量纲：L4, 恒为正恒为正量纲：量纲：L4, + - 0 量纲：量纲：L4, 恒为正恒为正 惯性半径惯性半径 A I i A I i z z y y 一坐标轴为图形对成轴，一坐标轴为图形对成轴，Iyz=0 1212 33 hb I bh I zy 圆形截面惯性矩圆形截面惯性矩 64 4 D II zy 矩形截面惯性矩矩形截面惯性矩 平行移轴公式平行移轴公式 转轴公式转轴公式 abAII AbII AaII ccz yyz zcz ycy 2 2 0 00 zy I 2cos2sin 2 2sin2cos 22 2sin2cos 22 11 1 1 yz zy

41、zy yz zyzy z yz zyzy y I II I I IIII I I IIII I zy yz II I 2 2tan 主惯性轴（主轴）主惯性轴（主轴）主惯性矩式主惯性矩式 形心过圆心0 yz I 形心主惯性轴形心主惯性轴 第四章 知识网络图 A S A Ay y A S A Az z zA y A d d A y zdAS A z ydAS 形心坐标公式形心坐标公式 静矩静矩 yAS z zAS y O y dA z z y C y z n i ii z n i ii y yA S zA S 11 组合截面的静矩组合截面的静矩 n i i A A 1 组合截面的面积组合截面的面积

42、 组合截面的形心坐标组合截面的形心坐标 n i i n i i i x n i i n i i i y A y A A S y A z A A S z 1 1 1 1 ， 组合图形的静矩、面积和形心坐标组合图形的静矩、面积和形心坐标 极惯性矩（或截面二次极矩）极惯性矩（或截面二次极矩） A I A d 2 p 惯性矩（或截面二次轴矩）惯性矩（或截面二次轴矩） Ay I A zI A x A y dd 2 2 222 zy 由于 所以所以: : II AzyA Iyz AA d)(d 22 2 p Oy z z y dA （即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为（即截面对一点的极惯性矩，等于

43、截面对以该点为 原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） Ayz I A zI A x A y dd 2 2 A I i A I i z z y y y i 由由: （单位：长度的一次方）（单位：长度的一次方） 称为图形对称为图形对 y 轴和轴和 z 轴的惯性半径轴的惯性半径 惯性半径的量纲是长度惯性半径的量纲是长度 z i 惯性半径惯性半径 矩形截面对其对称轴矩形截面对其对称轴 y , z 轴的惯性矩轴的惯性矩 b h y z C z dz 12 3 bh I y 12 3 hb I z 圆形截面对其对称轴的惯性矩圆形截面对其对称轴的惯性矩 64 4 D

44、II zy 32 4 D III zyp 圆环截面对其对称轴的惯性矩圆环截面对其对称轴的惯性矩 )( 64 22 dDII zy )( 32 44 dDI p 惯性积惯性积 Ayz I A yz d （其值可为正、为负或为零（其值可为正、为负或为零) ) Oy z z y dA 惯性积的量纲是长度的四次方惯性积的量纲是长度的四次方。 坐标系的两个轴中只要有一个为图形的对称轴，坐标系的两个轴中只要有一个为图形的对称轴， 则图形对这一坐标系的惯性积等于零。则图形对这一坐标系的惯性积等于零。 平行移轴公式平行移轴公式 byy c azz c 得到得到： AaII ycy 2 AbII zcz 2 a

45、bAII ccz yyz 由：由： 转轴公式转轴公式 sincos sincos 1 1 yzz zyy y z O y z y z 1 1 A B C D E dA y z1 1 由：由： 代入惯性矩公式，得到代入惯性矩公式，得到: AaII ycy 2 AbII zcz 2 abAII ccz yyz 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法 因为组合图形都是由一些简单的图形（例如因为组合图形都是由一些简单的图形（例如 矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定矩形、正方形、圆形等）所组成，所以在确定 其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，其形心、形心

46、主轴以至形心主惯性矩的过程中， 均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质 以及移轴和转轴定理。以及移轴和转轴定理。 将组合图形分解为若干简单图形将组合图形分解为若干简单图形(子图形），并子图形），并 确定组合图形的形心位置。确定组合图形的形心位置。 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法 以形心为坐标原点，设以形心为坐标原点，设Oyz坐标系坐标系y、z 轴一般轴一般 与简单图形的形心主轴平行。与简单图形的形心主轴平行。 确定简单图形对自形心轴的惯性矩。确定简单图形对自形心轴的惯性矩。 n i i n i i i x

47、n i i n i i i y A y A A S y A z A A S z 1 1 1 1 ， Ay I A zI A x A y d d 2 2 Ayz I A yz d 矩形截面矩形截面 圆环截面圆环截面 圆形截面圆形截面 角钢截面角钢截面 槽钢截面槽钢截面 工字钢截面工字钢截面 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法 4. 利用移轴定理（必要时用转轴定理）确定各个利用移轴定理（必要时用转轴定理）确定各个 子图形对全截面形心轴（子图形对全截面形心轴（y、z轴轴)的惯性矩和惯性积。的惯性矩和惯性积。 5. 计算组合图形的形心惯性矩计算组合图形的形心惯

48、性矩Iy0和和Iz0和和Iyz0 。 组合图形的形心惯性矩组合图形的形心惯性矩=(子图形惯性矩之和子图形惯性矩之和) abAII AbII AaII ccz yyz zcz ycy 2 2 a、b为自形心轴与全截面形心轴的距离为自形心轴与全截面形心轴的距离 6. 计算计算形心惯性积，形心惯性积，判断是否是主形心轴。判断是否是主形心轴。 2cos2sin 2 11 yz zy zy I II I 8. 计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩 确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法确定组合图形的形心主轴和形心主矩的方法 zy yz II I 2 2tan 0 0 11 zy I如果：如果： 即为形心主轴

49、。即为形心主轴。 0 11 zy I如果：如果： 计算：计算： I II II I I yz z y z y z y 2 2 1 4 )( 2 2 0 0 7. 确定形心主轴位置，即形心主轴与确定形心主轴位置，即形心主轴与 z 轴的夹角轴的夹角. 第五章 弯曲内力 知识网络图 梁梁 对称弯曲对称弯曲 支座的简化支座的简化 剪力和弯矩剪力和弯矩 静定梁的基本形式静定梁的基本形式 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件 载荷的简化载荷的简化 纵向对称面纵向对称面 外力作用在此外力作用在此 纵向对称面内纵向对称面内 变形后的轴线仍变形后的轴线仍 在纵向对称面内在纵向对称面内 简支梁：一端固定绞支座

50、一端可动铰支座简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座 外伸梁：简支梁一端或梁端伸出支座以外外伸梁：简支梁一端或梁端伸出支座以外 悬臂梁：一端固定一端自由悬臂梁：一端固定一端自由 内力方程内力方程 剪力符号：左上右下为正剪力符号：左上右下为正 弯矩符号：左顺右逆为正弯矩符号：左顺右逆为正 内力符号内力符号内力图内力图 梁上梁上n+1个控制个控制 面面N组内力方程组内力方程 注明各控制注明各控制 面的面的 值，单值，单 位及正负号位及正负号 变形主线变形主线 支座的简化支座的简化 载荷的简化载荷的简化 支座的简化支座的简化 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件 支座的简化支座的简化 载荷的简化载

51、荷的简化 支座的简化支座的简化 纵向对称面纵向对称面 外力作用在此外力作用在此 纵向对称面内纵向对称面内 外力作用在此外力作用在此 纵向对称面内纵向对称面内 变形后的轴线仍变形后的轴线仍 在纵向对称面内在纵向对称面内 外力作用在此外力作用在此 纵向对称面内纵向对称面内 简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座 外伸梁：简支梁一端或梁端伸出支座以外外伸梁：简支梁一端或梁端伸出支座以外 简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座 内力符号内力符号内力符号内力符号 剪力符号：左上右下为正剪力符号：左上右下为正 内力符号内力符号内力符号内力

52、符号 剪力符号：左上右下为正剪力符号：左上右下为正 弯矩符号：左顺右逆为正弯矩符号：左顺右逆为正 剪力符号：左上右下为正剪力符号：左上右下为正 弯矩符号：左顺右逆为正弯矩符号：左顺右逆为正 剪力符号：左上右下为正剪力符号：左上右下为正 梁梁 对称弯曲对称弯曲纵向对称面纵向对称面 外力作用在此外力作用在此 纵向对称面内纵向对称面内 变形后的轴线仍变形后的轴线仍 在纵向对称面内在纵向对称面内 纵向对称面纵向对称面 外力作用在此外力作用在此 纵向对称面内纵向对称面内 外力作用在此外力作用在此 纵向对称面内纵向对称面内 变形后的轴线仍变形后的轴线仍 在纵向对称面内在纵向对称面内 外力作用在此外力作用在

53、此 纵向对称面内纵向对称面内 剪力和弯矩剪力和弯矩内力符号内力符号内力符号内力符号内力符号内力符号 载荷集度、剪力和弯矩的关系载荷集度、剪力和弯矩的关系 利用微分关利用微分关 系或积分关系或积分关 系指导内力系指导内力 图的绘制或图的绘制或 检查检查 刚架和曲杆刚架和曲杆 剪力符号：左上右下为正剪力符号：左上右下为正 剪力和弯矩剪力和弯矩内力方程内力方程 剪力符号：左上右下为正剪力符号：左上右下为正 弯矩符号：左顺右逆为正弯矩符号：左顺右逆为正 内力符号内力符号内力图内力图 梁上梁上n+1个控制个控制 面面N组内力方程组内力方程 注明各控制注明各控制 面的面的 值，单值，单 位及正负号位及正负

54、号 在在x向右，向右，y 向上的右手向上的右手 坐标系内坐标系内 )( )( )( )( )( 2 2 xq dx xMd xQ dx xdM xq dx dQ s s 第五章第五章 弯曲内力弯曲内力 知识网络图知识网络图 非对称弯曲非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称 面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。 P q NANB 纵向对称面纵向对称面 对称弯曲（对称弯曲（平面弯曲平面弯曲） 一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通 过几何形心的对称轴，

55、因而整个杆件都有一个包含轴线的纵过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵 向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称 平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个 对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲 变形，简称为平面弯曲。变形，简称为平面弯曲。 A B 对称轴对称轴 纵向对称面纵向对称面 梁变形后的轴线与梁变形后的轴线与 外力在同一平面内外力在同一平面内 梁的轴线梁的轴线 RA P1P2 RB

56、 弯曲及其特征弯曲及其特征 外力特征外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴外力或外力偶的矢量垂直于杆轴 变形特征变形特征：杆轴由直线变为曲线：杆轴由直线变为曲线. 梁的分类：梁的分类：直梁直梁 曲梁曲梁 对称梁对称梁 非对非对 称梁称梁 对称弯曲对称弯曲（平面弯曲平面弯曲）与与非对称弯曲非对称弯曲： 弯曲变形后的轴线位于对称面内的一条曲线。这种变弯曲变形后的轴线位于对称面内的一条曲线。这种变 形称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。梁不具有纵向对形称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。梁不具有纵向对 称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面

57、内的弯曲。内的弯曲。 静定梁的基本形式静定梁的基本形式 简支梁简支梁 外伸梁外伸梁 悬臂梁悬臂梁 弯曲内力和弯矩方程弯曲内力和弯矩方程 xQQ xMM 梁的剪力方程梁的剪力方程 梁的弯矩方程梁的弯矩方程 静定梁的基本形式静定梁的基本形式 静定梁静定梁 梁的支座反力可以由静力平衡方程就可确定。梁的支座反力可以由静力平衡方程就可确定。 相应于不同的支座形式，静定梁可分为三种形式：简相应于不同的支座形式，静定梁可分为三种形式：简 支梁，外伸梁，悬臂梁。支梁，外伸梁，悬臂梁。 简支梁简支梁 外伸梁外伸梁 悬臂梁悬臂梁 梁载荷的分类梁载荷的分类 q q(x) 均匀分布载荷均匀分布载荷 线性（非均匀）线性

58、（非均匀） 分布载荷分布载荷 P 集中力集中力 T T 集中力偶集中力偶 T 分布载荷分布载荷 载荷集度载荷集度 q(N/m) 5. 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。 作剪力图和弯矩图的步骤作剪力图和弯矩图的步骤： 1. 用静力系平衡方程求解支座反力；用静力系平衡方程求解支座反力； 2. 建立坐标系（一般以梁的左端为原点）；建立坐标系（一般以梁的左端为原点）； 3. 分段分段 在在 载荷变化处载荷变化处 分段：分段： 集中力或集中力偶的作用处集中力或集中力偶的作用处 分布载荷的起始和终点分布载荷的起始和终点 4. 列出每一段的剪力方程和弯矩方

59、程；列出每一段的剪力方程和弯矩方程； 6. 注意图形的极值点（是否有极值、大小、位置）。注意图形的极值点（是否有极值、大小、位置）。 弯矩图为正值画在弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在轴上侧，负值画在x 轴下侧轴下侧 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力图为正值画在剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在轴上侧，负值画在x 轴下侧轴下侧 以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相表示横截面的位置，以纵坐标表示相 应截面上的剪力和弯矩应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图这种图线分别称为剪力图和弯矩图 x Q(x) Q 图的坐标系图的坐标系 O M

60、图的坐标系图的坐标系 xO M(x) 求弯曲内力的法则 任一截面的剪力Q=一侧横向力的代数和 左上右下为正左上右下为正，反之为负，反之为负 横向力横向力：载荷、约束反力、分布力、集中力：载荷、约束反力、分布力、集中力 任一截面的弯矩M=一侧外力对截面形心之 矩的代数和 左顺右逆为正左顺右逆为正，反之为负，反之为负 外力：载荷、约束反力、分布力、集中力、集中力偶外力：载荷、约束反力、分布力、集中力、集中力偶 受均布载荷作用的悬臂梁受均布载荷作用的悬臂梁 受集中力作用的悬臂梁受集中力作用的悬臂梁 8/ 2 ql x Q x ql 2/ 2 ql l q x xM xQ BA l NY NBY x2