壳体平衡法与一维定态传递实例

1、第2章 壳体平衡法与一维定态传递实例 何险峰 2008年9月 传递过程原理 2 壳体动量衡算 动量衡算式 0 体的总力 作用于壳 动量速率 退出壳体 动量速率 进入壳体 边界条件 1. 流体附着条件 2. 气液界面处液体动量通量0 3. 界面连续性假设 3 壳体动量衡算 壳体作用力构成 zzzzzz vAvvVvMF 流动 1. 流体流动产生的力（与流体速度 u 有关） 2. 流体由动量传递产生的剪切力（与速度梯度有关） 3. 流体作用于界面的面力（压力，与流体压力有关） 4. 流体自身的体积力（重力） 剪切面剪切 AF 压力面压力 PAF gVF 体积流体重力 4 柱面壳体平衡法 例题1：通

2、过圆管 的流动 海根-泊谡叶定律 （Hagen-Poiseeuille) 5 柱面壳体平衡法 流体流动形式的力 在 z=0 处进入的力： 在 z=L 处退出的力： 0 )(2( zzz vrvr Lzzz vrvr )(2( 6 柱面壳体平衡法 动量传递形式的力 通过 r 处柱面的进入： 通过 r +r 处柱面退出： rrz rL)2( zrrrrrz LrrrL , )(2)2( 7 柱面壳体平衡法 体积力(重力） grLr)2( 8 柱面壳体平衡法 压力（面力） 在 z=0 处环隙表面的压力： 在 z=L 处环隙表面的压力： )2( 0 rPr )2( L rPr 9 柱面壳体平衡法 所有

3、力加和 0)(2)2( )2()2()2()2( 0 2 0 2 L rrrzrrzLzzzz PPrrgrLr rLrLvrrvrr rg L PP r rr L rrzrrrz r 0 0 )()( lim r L P rg L PP r r g L rz 0 )( d d 10 微分方程解法 r L P r r g rz )( d d r C r L P g rz 2 rz ru令： 11 柱面壳体平衡法 积分 r C r L P g rz 1 2 边界处动量通量限制得 C1=0： r rv r L P z g rz d )(d 2 12 柱面壳体平衡法 最终得 2 2 4 )(Cr L

4、 P rv g z 边界 r=R处， vz=0 22 1 4 )( R r L RP rv g z 13 柱面壳体平衡法 速度和剪应力分布 速度呈现抛物面 14 柱面壳体平衡法 例题1结果分析 2 max, 4 R L P v g z r=0 处， vz最大 vz平均值：max, 2 1 zz vv 体积流量： L RP vRq g zv 8 4 2 15 柱面壳体平衡法 海根-泊谡叶定律适用条件 1. 层流 Re2000 2. 不可压缩流体， 不变 3. 定态流体（与时间无关） 4. 牛顿流体 5. 忽略端效应 6. 流体为连续介质 16 柱面壳体平衡法 非圆形管道海根-泊谡叶定律处理 Z

5、S De4 S： 流动截面积 Z： 润湿周边长 Re 的计算 vD Re e 17 柱面壳体平衡法 例题2 通过环隙的流动 0k1 18 柱面壳体平衡法例题2 r L P rg L PP r r g L rz 0 )( d d r=kR处： vz=0 r=R处： vz=0 )()( 2 2 r R R r L RPg rz r vz rz d d r C r L P g rz 1 2 19 柱面壳体平衡法例题2 )ln(2)( 4 )( 22 2 C R r R r L RP rv g z 1C k k ln 1 2 2 2 计算结果 K 0 ? 20 柱面壳体平衡法例题2 ? rdrd rd

6、rdv v Z z )1 (2kRv Re z 平均速度 雷诺数 Re 21 壳体能量衡算 能量衡算式 0 的生成速率 壳体中热能 热能速率 退出壳体 热能速率 进入壳体 边界条件 1. 给定表面温度 2. 表面处热量通量已知。 3. 牛顿冷却定律：q=h(Ts-Tf) 4. 在固体-固体界面上，温度和热量动量连续 22 柱面壳体热量衡算 2 J Se 例题3 23 壳体热量衡算例题3 壳体热量构成 传热面积热传导 AqQ a 1. 热传导带来的热量 2. 自身带来的热量（化学反应、能量转化等） 自 Q 24 壳体热量衡算例题3 热传导带来的热量 在 r 处输入的热量： 在 r+r处输出的热量

7、： rr qrl)2( rrr qrl )2( 25 壳体热量衡算例题3 电能耗散产生的热能速率 e SrLr)2( 26 壳体热量衡算例题3 所有热量加和 rS r rqrq e rrrrr r )()( lim 0 rSrq r er )( d d 27 壳体热量衡算例题3 积分得 r C r S q e r 2 边界处( r0 ) 热量通量有限，得 C=0： r S q e r 2 )(1 4 )( 2 2 0 R rRS TrT e 28 壳体热量衡算例题3 例题3结果分析 2 0max 4 R S TT e r=0 处， T 最大 T 平均值：)( 2 1 max0o TTTT 热流

8、量Q： e LSR dr dT RLQ 2 )(2 29 壳体热量衡算和动量衡算相似性 衡算方程 传递方程 边界条件 传递物性参数() 源 (Pg Se) 假设条件（、=const） 第一次积分(, q) 第二次积分(v, T) 30 简单一阶微分方程的求解方法 分离变量法 齐次方程 线性方程（常数变易法） 贝努里方程(Bernoulli) 全微分方程等. 31 一阶微分方程求解方法分离变量法 )()( d d xgtf t x cttf xg x d)( )( d 方程形式： 方程解： 32 一阶微分方程求解方法分离变量法 t cbxax t x 2 d d 例题 c t t cbxax x

9、 dd 2 ct xxxx x ln )( d 10 ctx xxxxxx lnd )( 1 )( 1 )( 1 1010 ct xx xx xx ln )( )( ln )( 1 1 0 10 其中： a acbb x a acbb x 2 4 2 4 2 1 2 0 10 10 1 10 xx xx ct tcxx x 33 一阶微分方程求解方法齐次方程 ),(),( ),( d d xtfkxktf xtf t x 其中： ), 1 (),( d d d d ufuttf t u tu t x 方程形式： 方程解： uuf t u t), 1 ( d d ct tuuf u d 1 ),

10、 1 ( d utx 令： 34 一阶微分方程求解方法齐次方程 c r r uuf ud ), 1 ( d r L P r r g rz )( d d cr r u L P u g d 1 2 d 例子： u L P r g rz d d cru L P g ln)2ln( 2 1 r C r L P g 1 2 35 一阶微分方程求解方法齐次方程 111 000 d d cxbta cxbta t x 变换形式： 方程解： 0, 0 , 111000 ckbhackbha kxht 满足： 令 11 00 d d ba ba 36 一阶微分方程求解方法齐次方程 2 ) 1 2 (2 d d

11、xt x t x 例子： 方程解： 1, 1, 1, 2, 1, 0 111000 cbacba 令01, 02khk3, 2hk 3, 2tx 2 )(2 d d 37 一阶微分方程求解方法线性方程 )()( d d tQxtP t x dtetQCex dttPdttP)()( )( 方程形式： 方程解（常数变异法）： Q=0， 齐次线性方程 Q0， 非齐次线性方程 dttP eCx )( 0 38 一阶微分方程求解方法线性方程 dtetQCex dttPdttP)()( )( 例子： 解： 1 2 d d 2 0 R r bSq rr q )(1 )(, 2 )( 2 0 R r bSt

12、Q r tP dre R r bSCex dr r dr r 2 2 0 2 )(1 ) 53 1 ( 3 2 0 2 r R b rS r C x 39 一阶微分方程求解方法贝努里方程 xtQxtP t x )()( d d )()1 ()()1 ( d d tQytP t y 方程形式： 方程解： 1 xy 令： 线性微分方程求解 40 高阶微分方程的降阶 不显含未知函数 x 不显含自变量 t 齐次方程 全微分方程 41 高阶微分方程的降阶 不显含未知函数 x 0) d d ,., d d ,( n n k k x x t x tF k k t x y d d 令 得到关于y的（n-k)阶

13、方程 0) d d ,., d dy ,( kn kn x x t ytF 42 高阶微分方程的降阶 不显含未知函数 x 例子 4 4 d d t x y 令 0 d d1 d d 4 4 5 5 t x tt x 0 1 d d y tt y 54 2 3 3 2 5 1 ctctctctcx 43 高阶微分方程的降阶 不显含自变量 t 0) d d ,., d d ,( n n x x t x xF t x y d d 令 得到关于y的（n-1)阶方程 x y y t x d d d d 2 2 则 2 2 22 3 3 d d ) d d ( d d x y y x y y t x 则

14、0,.) d d ) d d (, d d ,( 2 2 22 x y y x y y t y yytF 44 高阶微分方程的降阶 不显含自变量 t （例子） 0 d d d d1 2 2 t x t x B 得 x y y t x d d d d 2 2 0 d d y x y B y 则 t x y d d t x cBxy d d Bt eCCx 21 45 高阶微分方程的降阶 齐次方程 0) d d ,., d d ,( n n k k x x t x xtF 0,.) d d , 1 ,( 2 t y yytF ) d d ,., d d ,() d d ,., d d ,( n n

15、 m n n x x t x xtFk x x k t x kkxtF 对 m 次齐次方程 若： xy t x d d 令 ) d d ( d d 2 2 2 t y yx t x 则 ) d d d d 3( d d 2 2 3 3 3 t y t y yyx t x 则 (n-1) 阶方程 46 高阶微分方程的降阶 齐次方程 （例子） Nx t x t x B d d d d1 2 2 得 NBxBxy t y yx) d d ( 2 代入得 xy t x d d 令 ) d d ( d d 2 2 2 t y yx t x 则 NBBy t y y d d 2 47 高阶微分方程的降阶

16、齐次方程 （例子） 最终得 tyty eCeCx 10 43 t NBByy y d d 2 ct yy yy yy )( )( ln )( 1 1 0 10 其中： 2 4 2 4 2 1 2 0 NBBB y NBBB y 48 高阶微分方程的降阶 全微分方程 49 球形壳体热量衡算 例题4 )(1 2 0 F r R r bSS Sr 单位体积发热速率 (J/m3s) S0 球中心的体积发热速率 (J/m3s) b 无量纲参数 RF 容纳裂变物质的球直径 T0 50 球形壳体热量衡算例题4 取 r, r+r 一段球体进行热量衡算 热传导带来的热量： 在 r 处输入的热量： 在 r+r处输

17、出的热量： rr qr)4( 2 rrr qr )2( 2 51 球形壳体热量衡算例题4 自身产生的热量： 在 r RF 时： rrr rSrrrrSVSq 233 4) 3 4 )( 3 4 核 0 核 q 52 球形壳体热量衡算例题4 热量通量微分方程： r rrrrr r Sr r qrqr 2 22 0 )()( lim 2 2 0 2 1 )( d d r R r bSqr r F r 在 r RF 时： 0)( d d 2 r qr r 53 球形壳体热量衡算例题4 解微分方程得： 2 1 3 2 0 ) 53 ( r C r R br Sq F r 在 r RF 时： 2 2 r

18、 C qr 边界条件： r 0， qr 有限 r =RF 时，两个方程值计算值相同 54 球形壳体热量衡算例题4 热量通量方程为： ) 53 ( 3 2 0 r R br Sq F r 在 r RF 时： 2 3 0 ) 53 1 ( r Rb Sq F r 由傅立叶传热定律得温度计算公式： )1)( 5 3 1 ( 3 )(1 10 3 )(1 6 2 0 42 2 0 C F C F FFF F r R RbRS R r b R rRS T 55 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 )( 01 0 0 TT TT SS cc Sc 单位体积化学反应的发热率 （J/m3s) 例题5 vcp,，

19、已知， 56 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 流动带来的热能： zp TTcvR)( 011 2 zzp TTcvR )( 011 2 z 处流入 z +z 处流出 57 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 热传导方式带来的热能： zz qR 2 zzz qR 2 z 处输入： z +z 处 输出 58 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 化学反应产生的热能速率 c zSR 2 59 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 能量衡算得： 0)()( 222 011 2 011 2 czzzzzzzpzp zSRqRqRTTcvRTTcvR 微分方程为： z T q ez d d 其中： cp z S

20、z T cv z q d d d d 11 cpe S z T cv z T d d d d 11 2 2 即： 60 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 三段的能量衡算方程分别是： )( d d d d 01 022 11 2 2 2 TT TT S z T cv z T cpe II段： III段： 0 d d d d 1 11 2 1 2 z T cv z T pe I段： 0 d d d d 3 11 2 3 2 z T cv z T pe 61 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 边界条件： z T z T ee d d d d 21 11 TT Z -： Z =0: 21 TT Z =

21、0:32 TT z T z T ee d d d d 32 有限 3 T Z +： 62 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 无量纲化处理： )( 011 0 11 01 0 TTcv LS N Lcv B TT TT L z Z p e p 63 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 无量纲化的微分方程： II段： III段： I段： N ZZB d d d d1 2 2 2 2 0 d d d d1 1 2 1 2 ZZB 0 d d d d1 3 2 3 2 ZZB 64 带有化学反应热源的形壳体热量衡算 微分方程解： II段： III段： I段： BZ eCC 211 BZ eCC 653

22、ZmZm eCeC 43 432 65 带有化学反应的形壳体热量衡算 温度曲线 66 壳体质量衡算 质量衡算式 0 AAA 速度反应产生 壳体中均相化学 质量流率 退出壳体 质量流率 进入壳体 边界条件 1. 给定表面浓度 2. 表面处质量通量已知。 3. A从表面处扩散到流体中的速度：NA0=kc(CA0-CA) 4. 表面处化学反应速率给定,如 NA0=k1CA 67 壳体质量衡算球面壳体 通过球状膜的扩散的 物理模型 68 壳体质量衡算球面壳体（等温） 在 r 和 r+r 处扩散 进出球面的质量流率： rAr Nr 2 4 rrAr Nr 2 4 r 处输入： r +r 处 输出: 化学

23、反应带来的A： A rRr 2 4 0 A R 69 壳体质量衡算球面壳体（等温） 质量衡算式： 0)( d d 2 Ar Nr 其中： dr dx cDJNNxN A ABArBrArAAr * )( 带入得： 0) d d 1 ( d d 2 r x x cD r A A AB 70 壳体质量衡算球面壳体（等温） 以xB表示的衡算式： 积分得： 边界条件： 0) d d ( d d 2 r x x r B B ) 11 (ln 1 1 1 rr C x x B B ) 11 (ln 12 1 1 2 rr C x x B B ) 11 /() 11 ( 1 2 1 121 rrrr B B

24、 B B x x x x 71 壳体质量衡算球面壳体（等温） 组分A的摩尔流量： 得： 1 2 21 2 1 ln 11 4 4 1 B BAB rrArA x x rr cD NrW r x x cD N B B AB Ar d d 72 壳体质量衡算球面壳体（非等温） 温度对扩散的影响 浓度的影响： 扩散系数的影响： RT p c 2 3 1 1 , T T DD ABAB n r r T T 11 温度分布 73 壳体质量衡算球面壳体（非等温） 微分方程： 0 d d )1)(d d 2 11 2 r x r r xRT pD r A n A AB )2/1( 1 )2/1( 2 )2/

25、1( 1 )2/1( 1 2 1 nn nn rr rr B B B B x x x x 解得（n -2)： 74 壳体质量衡算球面壳体（非等温） 摩尔流量： 12 1 lnln lnln 1 2 1 rr rr B B B B x x x x n =-2时： 1 2 2/ 1 )2/1( 2 )2/1( 11 2 1 ln )( )2/1 (4 4 1 B B nnn AB rrArA x x rrrRT npD NrW 75 壳体质量衡算带化学反应的球面壳体 浸没于气流中的催化剂颗粒 76 壳体质量衡算带化学反应的球面壳体 在 r 和 r+r 处扩散进出球面的质量流率： rAr Nr 2

26、4 rrAr Nr 2 4 r 处输入： r +r 处 输出: 77 壳体质量衡算带化学反应的球面壳体 化学反应带入A的速率： A rRr 2 4 AA ackR 1 对一级反应： a：比表面积（m-1 ；单位体积催化剂的表面积） 催化剂空穴 催化剂 VV A a 78 壳体质量衡算带化学反应的球面壳体 质量衡算式： A AA ack r c r r D 1 2 2 ) d d ( d d AAr RrNr 22 )( d d 代入各式得： r c DN A ABAr d d 79 壳体质量衡算带化学反应的球面壳体 解微分方程： )sinh()cosh( 1211 r D ak r C r D

27、 ak r C c c AAAs A r f cA 代入各式得： 令： f D ak r f A 1 2 2 d d 80 壳体质量衡算带化学反应的球面壳体 解微分方程： )sinh( )sinh( )( 1 1 R D ak r D ak r R c c A A As A R 处的摩尔流量： 由边界条件： r 0，CA有限； r R，CA = CAS Rr A AAsAs dr dc DRNRW 22 44 )coth(1 4 11 R D ak R D ak cRDW AA AsAsAs 81 壳体质量衡算带化学反应的球面壳体 有效因子： ) 1coth( 3 2 0 KK KW W A As A R