热力学与统计物理--第八章：量子力学的基本原理与解析

1、关于量子力学基本原理的讨论 2012-03 什么是量子力学？ l 量子力学是研究微观粒子系统运动变化规律的理 论。 l 狭义的量子力学：研究对象低能量、无衰变 （长寿命）的粒子以及这样的粒子组成的系统， 非相对论的（至多考虑相对论修正，例如轨道自 旋角动量耦合）。 l 广义的量子力学：即量子场论，或称“场量子 化”。对能量大小，粒子数是否守恒（粒子是否 产生、湮灭）等没有限制。 量子力学的理论体系 l 量子力学已经是一门相当成熟的学科，形成了公 理化的理论体系。它的全部内容可以从五个基本 原理出发，用逻辑推理的方法推演出来。 l 尽管量子力学的基本原理以及由此推出的全部内 容早已得到物理学界的

2、公认，但对基本原理及其 某些推论的理解，以及对微观世界物理图像的认 识，历来存在很大的分歧。 l 量子力学是一门成熟的学科，是对基本原理以上 是事情而言的；对基本原理以下的事情，是相当 不明晰的。量子力学是一幢建在沙地上的大厦。 量子力学的基本原理 l 原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空 间中的矢量。相差一个复数因子的两个矢量，描 写同一状态。 l 讨论： l 1、我们用归一化的右矢 或左矢 描写系统的 状态，称此态为 。与此相应，这个希尔伯特空 间可称为态空间。 l 2、态矢除了常数因子不定性之外还有相位因子不 定性，相位因子的作用留待以后讨论。 量子力学的基本原理 l 原理2：(

3、1) 描写微观系统物理量的是希尔伯特空 间中的厄米算符；(2) 物理量的可能取值，是相应 算符的本征值；(3) 物理量A在状态 中取各值 的概率，与下式中 的复平方成正比： 如果本征值 有简并，即有几个相互正交的本征 矢量与之对应，则物理量A取 的概率与这几个 本征矢量的系数的复平方成正比。 i A i c i A i A icci ii i , 量子力学的基本原理 l 讨论： l 1、“波包的坍缩”处于 态中的系统，如 果测量物理量A得值Ai，则该系统在测量后进入A 的本征态 。这是哥本哈根学派的基于实用主义 的观点，长期以来被物理学家广泛接受，但是它 是“超脱”于薛定谔方程的，因为薛定谔方

4、程不 能描述“波包坍缩”这样的行为（甚至没有任何 数学理论可以描述）。 l 2、原理2指出，每一个物理量与一个厄米算符相 对应，在量子力学中，两者几乎是一回事。 i 量子力学的基本原理 l 3、原理2表明，量子力学所掌握的关于微观世界的 规律是一种统计规律。物理学的统计性不外乎两种 可能：一是微观系统的每一个物理量在每一时刻都 具有确切值，只是目前人们只掌握到统计规律的程 度；二是微观系统的物理量一般根本就没有确切值， 按统计规律取值是微观世界的一个基本规律。这些 是基本原理以下的事情，尚无定论。 这真是个问题！ 不确定度关系？ 测不准原理？ , , 2 px 量子力学的基本原理 l 原理2推

5、论： l 1、在一个物理量A的本证态 中， A取值Ai的概 率为1，去其他值的概率为0。即一个算符(或物理 量)在自己的本征态中，是取确切值的，即相应的 本征值。 l 2、在任意态 (已归一化)中，物理量A有确定的 平均值，记作 i i i ii ii AcAiiiiAAA 2 | | | iic ii i 2 1 量子力学的基本原理 l 原理3：微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算 符Xi (i=1,2,3)和相应的正则动量算符Pi有如下对易关 系： 而不同粒子间的所有算符相互对易。 l 讨论： l 1、物理量对应的算符，两两之间有些是不对易的， 这是量子力学最重要的特点。 ijjijij

6、i iPXPPXX, , 0, , 0, 量子力学的基本原理 l 2、在对易关系中首次出现了 。 的出现，或者说 不为零的对易关系的出现，直接导致了某些物理量， 如束缚系统的哈密顿（谐振子能级的代数算法）和 轨道角动量的量子化。 l 3、原理3中所说的在直角坐标下的正则动量算符， 是指在粒子的经典哈密顿正则方程 中，当正则坐标qi取直角坐标x, y, z时，与经典正则 动量pi相对应的算符。 i i i i q pqH p p pqH q ),( , ),( 量子力学的基本原理 l4、量子化： 量子化一词有两个含义：一是指在经典理论中取连续值谱 的物理量，在量子力学中变为离散值谱的现象（如束缚

7、系统 的能级）；二是指参照系统的经典运动规律写出其量子运动 规律的方法（如Bohr的原子“轨道”量子化理论）。 一种常用的量子化方法： 来描述系统状态。当的不含时的作用对象、给这些算法找一些适 系：、赋予算符如下对易关 看成算符：和、将 程：、写出系统经典正则方 4 )(),(, 0)(),(, 0)(),( 3 )()(),()(2 )( ),( )(, )( ),( )( 1 ijjijiji iiiiii i i i i itPtXtPtPtXtX tPtptXtxpx tx pxH tp tp pxH tx 量子力学的基本原理 l 经过以上4步的量子化手续，就从系统所服从的经典 力学规

8、律，直接进入到海森堡图像的量子力学。史 称“一次量子化”。 l 5、Xi和Pi是最基本的算符，其余有经典对应的物理 量，其算符也都是Xi和Pi的函数，这些物理量之间 的对易关系，也可以从Xi和Pi的基本对易关系中推 出。 l 6、原理3强调直角坐标，这是因为经典的分析力学 中有一些广义坐标和广义动量的概念是为了描述宏 观物体提出的，量子力学中未必有经典对应量，也 不需要这样的对应量。 量子力学的基本原理 l 原理4：微观系统的状态 随时间变化的规律是薛定谔方程： 式中H(X, P, t)是系统的哈密顿算符。 l 讨论： l 1、哈密顿算符。其函数形式与经典哈密顿相同，取决于系 统本身和系统所处

9、外部环境的情况。一般地说，如果我们研 究的系统只是一个更大的系统的一部分，并且和更大的系统 的其余部分存在能量交换，则所研究的系统的哈密顿是显含 时间的。（系统的能量非守恒量，例如系统处在随时间变化 的电磁场中。） )(),()(ttPXHt t i )(t 量子力学的基本原理 l 2、薛定谔方程是时间的一阶微分方程，只要知道某一时刻 系统的状态（初态），就可以得出以后（以及以前）所有时 刻系统的状态。 l 3、当哈密顿不显含时间时，哈密顿算符即系统的能量算符， 此时可以用分离变数法，令 l 从而得到系统的定态薛定谔方程： l 此时体系所处的态称定态。注意，如何理解定态？ )()(tft Et

10、 i etEH )(, 量子力学的基本原理 l 原理5：描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的 对调，是对称的或者反对称的。服从前者的粒子称为波色子， 服从后者的粒子称为费米子。 l 讨论： l 1、全同粒子系统是由同一种粒子（质量、电荷等内禀性质 相同）组成的系统，原理5反映了全同粒子的不可分辨性。 l 2、对于全同粒子，在其薛定谔方程的全部数学解中，只有 满足对称性或反对称性的解，才能描写系统的状态，而其余 的解是没有物理意义的。 l 3、研究全同粒子需进行“二次量子化”，即需解决全同粒 子物理上不可分辨和数学上必须编号的矛盾。 最后的讨论 l 量子力学是建立在基本原理之上的理论体系

11、，对基本原理以 下的东西，很多都是不知道的，就目前的理论水平而言，目 前即无法验真，也无法证伪。 l 有时候，我们很自然地说出的一句话，那么在量子力学里很 可能是不确定，有争议甚至是不知道含义的，如果这句话包 含基本原理以下的内容的话。 l 首先是关于“观测（或测量）”一词。 l “观测（或测量）”一词在量子力学里无法准确地定义，并 且，量子力学（或者说薛定谔方程）给出的是微观系统被 “观测”之前的规律，以及给出了“观测”结果的预言，至 于观测过程中以及观测之后发生了什么，量子力学并不涉及， 也就是不知道。（这是非常折磨人的事情，可知但不可见！） 最后的讨论 l “物理量”和“可观测量”。很多

12、时候，我们说“物理量” 而不是像狄拉克那样称之为“可观测量”，原因也是不过分 强调“观测”。量子力学中出现的物理量很多，并不是个个 可观测的，甚至极为常见的轨道角动量的平方，也未见有人 指出过其直接观测的方法。 l 在量子力学的基本问题研究中，有一个很大的领域，称“测 量理论”，它属于基本原理以下的问题。（基本原理以下， 是否就是微观世界的本质呢，这也是尚无定论的。况且，何 谓“本质”？） l 其次是关于“统计规律性”。 l 玻恩对波函数的统计诠释，没人反对量子力学给出的是统计 规律。 最后的讨论 l 仍有两种对立的观点：1、认为量子力学对单个粒子成立；2、 认为量子力学对统计系综成立。前者认

13、为处于态中的每一 个粒子其深一层次的运动都是一样的（即认为量子力学就到 头了，没有深一层次的运动了）；后者认为处于态的各粒 子深一层次的运动可能是各不相同的。对这个问题，量子力 学仍然是不知道答案的。 l 再比如电子双缝衍射实验。量子力学只能给出电子落在屏上 某点的概率，至于这个电子究竟是通过哪个缝过来的，量子 力学不知道。 l 所以，实际上，量子力学能够提供的微观世界的信息是相当 少的（而且这多数信息还是看不到的），实质上只包含两方 面： 最后的讨论 l 1、在一定外部环境中的微观系统所处的可能的状态； l 2、处于某一状态的微观系统，其各个物理量的可能取值和 相应的概率。 l 其他很多事情只能回答“不