高中数学 第一章 直线、多边形、圆 2.3 弦切角定理学案 北师大版-1

1、学必求其心得，业必贵于专精23弦切角定理对应学生用书p191弦切角的定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角2弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半弦切角的三要素是什么?提示：（1）顶点在圆上；（2)一边与圆相交；(3）一边与圆相切对应学生用书p20弦切角的计算例1如图，ab为o的直径，cd切o于d,ab延长线交cd于点c，若cad25，求c。思路点拨本题主要考查弦切角定义及定理的应用解此题时，需连接bd，创设弦切角cdb，然后求c.精解详析连接bd.ab为直径,则bda90.又cd为o的切线，切点为d，bdc为弦切角bdccad25。

2、cda9025115。在acd中，c180acda40。利用定义确定弦切角时要紧扣定义中的三要素确定大小时，要区分弦切角所夹的弧对应的是圆心角还是圆周角1。如图，cd是o的切线，t为切点，a是上的一点,若tab100，则btd的度数为（)a20b40c60d80解析：选d如图，作四边形abet，因为四边形abet是圆内接四边形,所以e180a80，又cd是o的切线,t为切点，所以btde80。弦切角定理的应用例2如图,ab为o的弦,cd切o于p,accd于c，bddc于d，pqab于q。求证：pq2acbd。思路点拨本题主要考查弦切角定理的应用，解题时连接pa、pb证明acppqb,bdppq

3、a后可证pq2acbd。精解详析连接pa,pb,如图所示cd切o于p，12。accd于c，pqab于q,acppqb90.acppqb.acpqpabp.同理，bdppqa，pqbdpabp。acpqpqbd,即pq2acbd。利用弦切角定理证明问题的关键是根据条件创设弦切角,从而寻找角的等量关系2如图，oa和ob是o的半径,并且oaob,p是oa上任一点,bp的延长线交o于点q，过点q的o的切线交oa延长线于点r.求证：rprq。证明:作直径bc，连接cq，因为bc是o的直径，所以bc90,因为oaob,所以bbpo90。所以cbpo。又bporpq，所以crpq.又因为rq为o的切线,所以

4、pqrc.所以pqrrpq。所以rprq。例3如图，圆o的直径ab8，c为圆周上一点，bc4，过c作圆的切线l，过a作直线l的垂线ad，d为垂足，ad与圆o交于点e，求线段ae的长思路点拨本题考查利用弦切角定理进行计算问题解此题时,连接be,ac，oc。可知aeb为直角三角形，利用角的关系确定eba30可求ae.精解详析连接oc，be,ac，则beae.bc4，obocbc4，即obc为正三角形,cbocob60。又直线l切o于c，dcacbo60，adl，dac906030,而oacacocob30,eab60.在rtbae中，eba30，aeab4。弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，利用弦

5、切角定理时，注意结合条件添加适当的辅助线以构造弦切角3.如图,pa，pb是o的切线,点c在上,cdab,cepa,cfpb，垂足分别为d，e，f。求证：cd2cecf.证明：连接ca，cb。因为pa，pb是o的切线,所以capcba，cbpcab。又因为cdab,cepa,cfpb，所以rtcaertcbd，rtcbfrtcad,所以，所以，即cd2cecf.本课时常考查弦切角定理及应用，题目难度中等考题印证如图，o和o相交于a，b两点，过a作两圆的切线分别交两圆于c，d两点，连接db并延长交o于点e。证明:(1）acbdadab；（2)acae.命题立意本题考查平面几何中的弦切角定理及相似三

6、角形的判定与性质自主尝试(1)由ac与o相切于a，得cabadb，同理acbdab，所以acbdab。从而，即acbdadab.（2）由ad与o相切于a,得aedbad，又adebda，得eadabd.从而，即aebdadab。结合（1）的结论，acae.对应学生用书p21一、选择题1如图,ab是o的直径,db,dc分别切o于b，c两点，若ace25，则d为()a50b55c60 d65解析：选a连接bc，根据弦切角定理，得aceabc25.又因为abbd,所以cbd90abc65.因为dc，db是圆的切线，所以cbddcb65，所以d18026550。2过圆内接abc的顶点a引o的切线交bc

7、的延长线于点d,若b35,acb80，则d为（)a45 b50c55 d60解析：选a如图,ad为o的切线，dacb35。又acb80，dacbdac803545.3如图，ab是o的直径,ef切o于点c，adef于点d，ad2，ab6，则ac的长为（）a2b3c2d4解析:选c连接bc，如图所示，ef是o的切线，acdabc。又ab是o的直径，acb90。又adef，acbadc.adcacb.ac2adab2612。ac2.4。已知如图，e是两相交圆m和n的一个交点，且me ne,ab为外公切线，切点分别为a，b，连接ae，be，则aeb的度数为（)a145 b140c135 d130解析：

8、选c连接am，bn,因为baeame,abebne，所以baeabe(amebne）,因为maab，nbab,所以manb，所以amnbnm180.因为men90，所以emnenm90，所以amebne1809090 ，所以baeabe9045，所以aeb18045135.二、填空题5.如图，过圆o外一点p分别作圆的切线和割线交圆于a，b，且pb7，c是圆上一点使得bc5,bacapb，则ab .解析：由pa为o的切线，ba为弦，得pabbca,又bacapb，于是apbcab，所以,而pb7，bc5，故ab2pbbc7535，即ab。答案:6如图所示，直线pb与圆o相切于点b，d是弦ac上的

9、点，pbadba。若adm，acn,则ab .解析：因为直线pb是圆o的切线,所以abpc,又因为abpabd,所以abdc，又因为aa,所以abdacb，所以,所以ab。答案：7。如图，四边形abcd内接于o，abbc。at是o的切线，bat55，则d等于 解析：如图，连接ac,由弦切角定理知acbbat55,因为abbc，所以acbcab55，所以b1802acb70，所以d180b110。答案：1108如图,pa切o于点a，割线pbc经过圆心o，obpb1，oa绕点o逆时针旋转60到od,则pd的长为 解析：过点d作depc,垂足为e.pod120，doc60.可得oe，de，在rtpe

10、d中,pd.答案:三、解答题9过o外一点p作o的切线pa，切点为a，连接op与o交于点c，过c作ap的垂线，垂足为d.若pa12 cm,pc6 cm.求cd的长证明：连接ao，pa为圆的切线，pao为直角三角形,设o的半径为r，则122r2(r6)2，r9.又cdpa,于是。cd（cm)10.如图，已知ab是o的直径，abac，bc交o于点d,deac，e为垂足(1)求证：adeb。(2)过点o作ofad,与ed的延长线相交于点f，求证：fddafode。证明：(1)连接od,因为oaod，所以oadoda。因为ab是o的直径,所以adb90,即adbc.又因为abac，所以ad平分bac，即oadcad。所以odadaeoad。因为adedae90，所以adeoda90,即ode90，odef。因为od是o的半径，所以ef是o的切线所以adeb.（2)因为ofad,所以fade。又因为deafdo90,所以fdodea.所以，即fddafode.11如图，o是以ab为直径的abc的外接圆，点d是劣弧的中点,连接ad并延长，与过c点的切线交于p,od与bc相交于点e。求证：（1)oeac；（2).证明：(1)因为ab为o的直径，所以acb90，即acbc。因为d是弧 的中点，由垂径定理得odbc，因此odac，又因为点o为ab的中点