第6章测量误差的基本理论K

1、第6章 测量误差的基本理论 6.1 概述 6.1.1 测量误差的概念 在测量工作中，无论多么认真仔细，每次观测同一 未知量（一段距离、一个角度等）其观测值之间都不会完 全一致，而这些观测值与理论值也不相等。 在测量观测结果中不可避免的存在着误差。 分析误差的的目的：分析误差的的目的：分析误差的规律，处理误差结果，提高 测量精度。 6.1.2测量误差产生的原因 1.仪器误差 测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定 限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。 2.观测者感官的限制 由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能 力有一定的局限,所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整 平误差、照准误差、

2、读数误差等。 3.外界条件的影响 测量工作都是在一定的外界环境条件下进行 的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化 都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。 上述三个因素即仪器误差、观测者感官的限制、外界条件 的影响总称为观测条件。 观测条件相同的同类观测称为等精度观测；观测条件不相 同的同类观测称为不等精度观测。在观测值的处理上有所不同。 6.1.3 测量误差的分类 根据观测误差的性质可分为：系统误差、偶然误差 1.系统误差（又称累积误差） 仪器制造或校正不完善、观测者生理习性、测量时测 量时外界条件、仪器测定时不一致引起的。 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上

3、，呈现出 以下特性 ： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差在正负号保持不变； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 例如 水准尺端部磨损；水准尺倾斜；水准尺端部磨损；水准尺倾斜； 水准尺弯曲；水准尺的沉降水准尺弯曲；水准尺的沉降; 目标倾斜目标倾斜 消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系 统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。 处理原则：找出规律，加以改正。 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。

4、对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。 2.偶然误差（又称补偿误差） 在相同的观测条件下，有一系列的不可控因素（湿度、温 度、空气振动等）的扰动。对某个固定量作一系列的观测，如 果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾 向，即没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。 式中 表示求和(抵偿性) 设相同观测条件下，对未知量观测了设相同观测条件下，对未知量观测了n 次，观测值为次，观测值为 L1,L2 ,Ln , 未知量的真值为未知量的真值为X，则观测值的真误差为，则观测值的真误差为： = Li X（i=1,2,3,n） 在相同的观测条件下

5、，独立地观测了在相同的观测条件下，独立地观测了217217个三角形的全部内角，个三角形的全部内角， 每个三角形内角之和应等于它的真值每个三角形内角之和应等于它的真值，由于观测值存在误，由于观测值存在误 差而往往不相等。三角形内角和的差而往往不相等。三角形内角和的真误差真误差应为：应为： i i=(L=(L1 1+L+L2 2+L+L3 3) )i i -180 -180 (i=1 (i=1、n) n) 出现在某区间内误差的个数称为频数，用出现在某区间内误差的个数称为频数，用V V表示，表示，频数频数 除以误差的总个数除以误差的总个数n n得得V Vn n，称误差在该区间的频率。统，称误差在该区

6、间的频率。统 计结果列于表计结果列于表6 6，此表称为频率分布表。，此表称为频率分布表。 误差区间误差区间 d d（3 3） + +正误差正误差 - -负误差负误差 V V频数频数 V/n V/n频率频率 V V V/n V/n 0 03 3 3 36 6 6 69 9 9 91212 12121515 15151818 18182121 21212424 24242727 2727以上以上 3030 2121 1515 1414 1212 8 8 5 5 2 2 1 1 0 0 0.1380.138 0.0.097097 0.0.069069 0.0.065065 0.0.055055 0.

7、0.037037 0.0.023023 0.0.009009 0.0.005005 0 0 2929 2020 1818 1616 1010 8 8 6 6 2 2 0 0 0 0 0.0.134134 0.0.092092 0.0.083083 0.0.073073 0.0.046046 0.0.037037 0.0.028028 0.0.009009 0 0 0 0 1081080.4980.4981091090.5020.502 表6-1 小误差出现的百分比较大误差出现的百分比为大；绝对值相等的正负误差出现的小误差出现的百分比较大误差出现的百分比为大；绝对值相等的正负误差出现的 百分比相

8、仿；绝对值最大的误差不超过某一个定值在其它测量结果中也显示出上百分比相仿；绝对值最大的误差不超过某一个定值在其它测量结果中也显示出上 述同样的规律。可以总结出偶然误差具有如下的规律性：述同样的规律。可以总结出偶然误差具有如下的规律性： 1、有界性有界性：偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；：偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 2、大小性大小性：绝对值小的比绝对值大的出现的可能性大；：绝对值小的比绝对值大的出现的可能性大； 3、对称性对称性：误差出现正负的可能性相同；：误差出现正负的可能性相同； 4、抵偿性抵偿性：偶然误差的算术平均值随观测次数增加而趋于零：偶然误差的算术平均值随观测次数增加而

9、趋于零 特性一说明误差出现的范围，即误差的有限性；特性二说明误特性一说明误差出现的范围，即误差的有限性；特性二说明误 差呈单峰性，或称小误差的密集性；特性三说明误差方向的规律，差呈单峰性，或称小误差的密集性；特性三说明误差方向的规律， 称为对称性；特性四是由特性三导出的，它说明该列误差的抵偿称为对称性；特性四是由特性三导出的，它说明该列误差的抵偿 性。性。 0 limlim 21 nn n n n n21 为了充分反映误差分布的情况，除去上述用表格的形式为了充分反映误差分布的情况，除去上述用表格的形式(称误差称误差 分布表分布表)，还可以用直观的图形来表示。，还可以用直观的图形来表示。 在图在

10、图6161中以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差中以横坐标表示误差的大小，纵坐标表示各区间误差 出现的相对个数除以区间的间隔值出现的相对个数除以区间的间隔值( (本例是本例是3)3)。这样，每一误差。这样，每一误差 区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的相对个数。区间上方的长方形面积，就代表误差出现在该区间的相对个数。 如果继续观测更多的三角形，即增加误差的个数，当如果继续观测更多的三角形，即增加误差的个数，当 时，时， 各误差出现的频率也就趋近于一个完全确定的值，这个数值就误差各误差出现的频率也就趋近于一个完全确定的值，这个数值就误差 出现在各区间的概率。如图出现在各区间的概

11、率。如图6262所示所示图图6-1中各长方条顶边所形成中各长方条顶边所形成 的折线将成为一条光滑的连续的折线将成为一条光滑的连续 曲线，如图曲线，如图6-2所示。所示。这条曲线这条曲线 称为误差分布曲线，也称正态称为误差分布曲线，也称正态 分布曲线。分布曲线。曲线上任一点的纵曲线上任一点的纵 坐标坐标y均为横坐标均为横坐标 的函数，其的函数，其 函数形式为：函数形式为： 式中式中e为自然对数的底为自然对数的底 （e）；为观）；为观 测值的标准差（将在下节讨论），测值的标准差（将在下节讨论）， 其平方称为方差其平方称为方差 n 图图6262 2 2 2 2 1 efy 表6.2 衡量精度的指标

12、第一组第二组 次数观测值 真误差 次数观测值 真误差 1180 00 001180 00 01 2179 59 582179 59 58 3179 59 593180 00 06 4180 00 034180 00 00 5179 59 565180 00 01 6179 59 576179 59 53 7180 00 027179 59 59 8180 00 018180 00 00 9179 59 589180 00 03 10180 00 0410180 00 01 0 -2 -1 +3 -4 -3 +2 +1 -2 +4 +1 -2 +6 0 +1 -7 -1 0 +3 +1 问：哪一

13、组的精度高？ 第1组 离散程度高 6.2 衡量精度的指标 6.2.1 中误差 n m 22 2 2 1n 问：利用表6.2分别计算第1组和第2组的中误差来比较精度 8 10 4212343120 2 2 2 222222 2 1 m 108 10 1301710621 222 22 222 2 2 2 m 第1组精度高 8 )4() 1(24)3() 1(3)3( 22222222 1 m 8 ) 1(30)4(6) 1()5(1 2222222 2 m 设有两组等精度观测，其真误差分别为 第一组-3、+3、-1、-3、+4、+2、-1、-4； 第二组+1、-5、-1、+6、-4、0、+3、-

14、1。 试求这两组观测值的中误差。 解： =2.8 =3.3 自水准点自水准点 向水准点 向水准点 进行水准测量 进行水准测量(图图7-3)，设各段所测高差分别为，设各段所测高差分别为 求求 、 、 两点间的高差及其中误差。 两点间的高差及其中误差。 mmh mmh mmh 4346. 2 3305. 6 5852. 3 3 2 1 mm n mmm mh 3 435 2222 3 2 2 2 1 图7-3 解：、之间的高差解：、之间的高差h=h1+h2+h3=7.811m; 高差中误差高差中误差 6.2.2 相对误差 对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全反映观测精度的高低。 例如，分别丈

15、量了100m和200m两段距离，中误差均为0.02m。虽然两者 的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同，后者显然优于前者。 为了客观反映实际精度，常采用相对误差。 观测值中误差m的绝对值与相应观测值D的比值称为相对中误差。它是 一个无名数，常用分子为1的分数表示，即 m D D m K 1 已知：D1=100m, m1=0.01m D2=200m, m2=0.01m 求：K1, K2 20000 1 200 01. 0 10000 1 100 01. 0 2 2 2 1 1 1 D m K D m K 解： 6.2.2 相对误差 在偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差 的

16、绝对值不会超过一定的限值，即极限误差。根据误差理 论和大量的实践证明，在一系列的等精度观测误差中，真 误差绝对值大于中误差大概率约为32%；大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的机会只有5%；大于三倍中误差的偶 然误差，其出现的机会仅有3，也就是说，大于3倍中误 差作为偶然误差的极限值，即： m3 容 在对精度要求较高时，常取二倍中误差作为容许误差，即： m2 容 6.3 算术平均值及其中误差 对观测值进行观测，给予适当处理，求出最可靠值，对观测值 进行最佳估计。其中，取算术平均值的方法，是最常见的一种观测 的估计。 设在相同的观测条件下对某量进行了n次等精度观测，观测值为 l1,l2 ,，ln

17、,其真值是X,真误差为1，2， 观测值的真误差公式为 (i=1,2, ,n) 11 22 lX lX . . . . . . nn lX Xli i 11 22 lX lX . . . . . . nn lX 全部相加 Xnlll nn 2121 nXli nn l X i 0 lim n n 当 真值X也就是算术平均值 n l x i 在实际测量中，根据有限个观测 值求出的算术平均值与其仅差一 微小量 。故算术平均值是观测 值的最可靠值，通常也称为最或 是值（most probable value）。 n 6.3.2 改正数 算术平均值与观测值之差称为观测值的改正数（v）： 11 22 nn

18、 vxl vxl vxl 上式相加得 vnxl 0 l vnl n 一组观测值取算术平均值后，其改正值之和恒 等于零。这一特性可以作为计算中的校核。 6.3.3 按观测值的改正值计算中误差 由于未知量的真值X一般无法确知，真误差 也是未知数，故不能直接用 求出中误差。 实际工作中，多利用观测值的改正数v来计算观 测值的中误差，公式（也称为白塞尔公式）： 1 vv m n 可以根据偶然误差的特性证明之。 n m i 22 2 2 1n vvvvv 设算术平均值的中误差为mx，则有 n m m n m n m n mx 2 2 2 2 2 2 2 2 111 故 n m mx 由此可知，算术平均值

19、的中误差为观测值的中误 差的 倍。 n 1 因为 n L n L n L x n 21 式中：1/n为常数； 由于各独立观测值的精度相同，设其中误 差均为m。 四、算术平均值中误差 n LLL n L x ni 21 设对某角进行了5次同精度观测，观测结果如下表， 试求其观测值的中误差及算术平均值的中误差。 - - - + + 观测值中误差2 . 2 15 20 1 n vv m 算术平均值中误差为0 . 1 5 2 . 2 n m mx 设对某段距离进行了6次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值 的中误差及算术平均值的中误差。 观测值Li观测改正数vvv -18324 +636 -636

20、 +18324 0730 n li x =6832 1 n vv m= n m mx =15 14 730 6.4 误差传播定律及其应用 6.4.1 误差传播定律 在间接观测的情况下，未知量的中误差和观测值 中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律为 误差传播定律。 即根据观测值的中误差去求观测值函数中误差 。 例： 高差 （和差函数 ） 平均距离 （线性函数） 实地距离 (倍数函数） 三角边 （一般函数） 坐标增量 （一般函数） . 12 1 () sin sin cos n hab SSSS n DM d ab xD 平均 一、应用误差传播定律的基本步骤 列出观测值函数的表达式 ),(

21、 21n xxxfZ 2.对函数Z进行全微分 n x n xxZ x f x f x f )()()( 21 21 写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式 222 2 2 2 2 1 2 1 )()()( n n Z m x f m x f m x f m 计算观测值函数中误差 二、和(差)函数的中误差 和差函数： 且X1、X2独立，则有 21 XXZ 222 21 XXZ mmm 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中 误差的平方和。 当Z是一组观测值X1、X2 Xn代数和(差)的函数时， 即 ，Z的中误差的平方为： n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观 测值中误差平方之和。

22、 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差， 与观测值个数n的平方根成正比，即 n XXXZ 21 2222 21n XXXZ mmmm nmmZ 例6-4 已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为 (包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)， 若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n 站所得高差闭合差的容许误差。 解：水准测量每一站高差 mm2 读 m ).,2 , 1(nibah iii 观测n站所得总高差 n hhhh 21 则n站总高差h的中误差 mm8 .2nnmm 站总 若以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误 差为 mm84 . 88 . 23nnn）（ 容 则每站高差中误差 2 22 读读读站 mmmm mm8 .222 三、线性函数 线性函数 ，则有 2222 2 22 1 21n XnXXZ mKmKm