信号与系统(第4章)

1、 4.1 引言 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析 以以傅里叶变换傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它为基础的频域分析方法的优点在于：它 给出的结果有着清楚的物理意义给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，但也有不足之处， 傅里叶变换只能处理符合傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件狄利克雷条件的信号，而有的信号，而有 些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析 受到限制；受到限制； 另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的 无穷积分求解困难。无穷积分求解困难。 ttfd

2、 )(d 2 1 )( 1j tfFeFtf t 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引 入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利 用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 优点优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 缺点缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那样清楚。 本章内容及

3、学习方法 本章首先由本章首先由傅氏傅氏变换引出变换引出拉氏拉氏变换，然后对拉氏变换，然后对拉氏正正 变换、拉氏变换、拉氏反反变换及拉氏变换的变换及拉氏变换的性质性质进行讨论。进行讨论。 本章本章重点重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频复频 域分析域分析。 最后介绍最后介绍系统函数系统函数以及以及H(s)零极点零极点概念，并根据他概念，并根据他 们的分布研究们的分布研究系统特性系统特性，分析，分析频率响应频率响应，还要简略介绍，还要简略介绍 系统系统稳定性稳定性问题。问题。 注意与傅氏变换的注意与傅氏变换的对比对比，便于理解与记忆。，便于理解与记忆。 4.2

4、拉普拉斯变换的定义、 收敛域 主要内容 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换 一从傅里叶变换到拉普拉斯变换 t tfFF e)( 1 ttf tt dee)( j : , )(e ),( 依依傅傅氏氏变变换换定定义义绝绝对对可可积积条条件件 后后容容易易满满足足为为任任意意实实数数乘乘以以衰衰减减因因子子信信号号 t tf 称称为为复复频频率率。具具有有频频率率的的量量纲纲令令 , , j:s )j( F ttfsF ts de 则则 1拉普拉斯正变换 ttf td e)( )j( 2拉氏逆变换 de

5、2 1 e jtt jFtf dej 2 1 j t Ftf j j : s对对积积分分限限：对对 je的的傅傅里里叶叶逆逆变变换换是是对对于于 Ftf t t e 以以两两边边同同乘乘 jdd ; j: ss则则取取常常数数，若若其其中中 j j de j2 1 ssFtf ts ttfsFttfF tst dedej j 所所以以 3拉氏变换对 起因信号：起因信号：考虑到实际信号都是有考虑到实际信号都是有 j j 1 de j2 1 de ts ts ssFtfLtf ttftfLsF 逆变换逆变换 正变换正变换 sFtf:记作记作 ,0 相相应应的的单单边边拉拉氏氏变变换换为为系系统统采

6、采用用 j j 1 0 de j2 1 de ts ts ssFtfLtf ttftfLsF 称为象函数。称为象函数。称为原函数，称为原函数，sFtf ttfF t de j 0 所所以以 二拉氏变换的收敛 0 0e)(limtf t t 收敛域：收敛域：使使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。 记为：记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件； O j 0 收敛坐标收敛坐标 收收敛敛轴轴 收收敛敛区区 4.3 拉普拉斯变换的基本性质 主要内容 线性线性 原函数微分原函数微分 原函数积分原函数积分

7、延时（时域平移）延时（时域平移） s域平移域平移尺度变换尺度变换 初值初值终值终值 卷积卷积对对s域微分域微分 对对s域积分域积分 一线性 )()()()( ,),()( ),()( 22112211 212211 sFKsFKtfKtfKL KKsFtfLsFtfL 则则 为为常常数数，若若 tt ttf j j ee 2 1 )cos()( ss tL j 1 j 1 2 1 cos 22 s s 已知已知 则则 s L t 1 e 同理同理 22 sin s tL 例题：例题： 二原函数微分 )0()( d )(d ),()( fssF t tf LsFtfL则则若若 )0()0()(

8、)0(0 d )(d 2 2 fsfsFs ffsFs t tf L 1 0 )(1 )0()( d )(d n r rrnn n fssFs t tf L 推广：推广： 证明：证明： )(0 deede 000 ssFf ttsftfttf ststst 电感元件的s域模型 )()(),()(sVtvLsItiL LLLL t ti Ltv L L d )(d )( )0()()0()()( LLLLL LisIsLissILsV )(tiL )(tvL L sI L Ls 0 L Li sVL 电感元件的电感元件的s模型模型 应用原函数微分性质应用原函数微分性质 设设 三原函数的积分 ，则

9、，则若若)()(sFtfL s f s sF fL t )0()( d)( 1 证明：证明： fff tt ddd 0 0 0 1 f 00 dedtf st t t st t st ttf s f s 0 0 0 de 1 d e t st ttf s 0 de 1 s f0 1 s sF 4.4 拉普拉斯逆变换 主要内容 由象函数求原函数的三种方法由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况两种特殊情况 一由象函数求原函数的三种方法 (1)(1)部分分式法部分分式法 (2)(2)利用留数定理利用留数定理围线积分法围线积分法 (3)(3)数值计算方法

10、数值计算方法利用计算机利用计算机 二F(s)的一般形式 01 1 1 01 1 1 )( )( )( bsbsbsb asasasa sB sA sF n n n n m m m m ai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。 , 为为有有理理真真分分式式当当sFnm :式式具具有有如如下下的的有有理理分分式式形形通通常常sF )()( )()( )( )( )( 21 21 nn mm pspspsb zszszsa sB sA sF 分解分解 零点零点 极点极点 0)(0)( sFsA因因为为 的的零零点点称称为为的的根根是是sFsAzzzz m ,0, 321 的极点的极点称为

11、称为的根的根是是sFsBpppp n ,0, 321 )(0)(sFsB因因为为 三拉氏逆变换的过程 的极点的极点找出找出sF 展成部分分式展成部分分式将将sF tf查查拉拉氏氏变变换换表表求求 2.含e-s的非有理式 2 1 1 1 )( 1 ss sF )(ee)()( 2 1 1 1 tusFLtf tt 所所以以 )2(ee2 )2(2)2( 1 tutftf tt 所所以以 。求求解解时时利利用用时时移移性性质质，项项不不参参加加部部分分分分式式运运算算 e s s s sF ss 2 1 2 2 e)( 23 e 4.5 用拉普拉斯变换法分析 电路、s域元件模型 主要内容 用拉氏变

12、换法分析电路的步骤用拉氏变换法分析电路的步骤 微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换 利用元件的利用元件的s域模型分析电路域模型分析电路 一. 用拉氏变换法分析电路的步骤 列列s域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手） 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。 求解求解s域方程。域方程。 )()(tfsF，得到时域解答。，得到时域解答。 求响应的步骤 画画0- -等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态； 画画s域等效模型；域等效模型； 列列s域方程（代数方程）；域方程（代数

13、方程）； 解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或或I(s)； 拉氏反变换求拉氏反变换求v(t)或或i(t)。 例例4-5-2 例例4-5-3 4.6 系统函数(网络函数)H(s) 系统函数系统函数 LTI互联网络的系统函数互联网络的系统函数 并联并联 级联级联 反馈连接反馈连接 2.H(s)的几种情况 策动点函数：策动点函数：激励与响应在同一端口时激励与响应在同一端口时 )( )( )( 1 1 sV sI sH 策动点导纳策动点导纳 )( )( )( 1 1 sI sV sH 策动点阻抗策动点阻抗 单端口单端口 网络网络 sI1 sV1 1 1 双端口双端口 网

14、络网络 sI1 sV1 1 1 sI2 sV2 2 2 )( )( )( 1 2 sV sI sH 转移导纳转移导纳 )( )( )( 1 2 sI sV sH 转移阻抗转移阻抗 )( )( )( 1 2 sV sV sH 电压比电压比 )( )( )( 1 2 sI sI sH 电流比电流比 转移函数：转移函数：激励和响应激励和响应不不在同一端口在同一端口 4.应用：求系统的响应 3求H(s)的方法 )()()()()(thtetrthsH 方方法法一一： )()()()(trsEsHsR 方方法法二二： sHth sE sR sH sE sR sH 利用网络的利用网络的s域元件模型图，列域

15、元件模型图，列s域方程域方程 微分方程两端取拉氏变换微分方程两端取拉氏变换 二LTIS互联的系统函数 ththth 21 )()()( 21 sHsHsH )()()( : 21 ththth 时域时域 )()()( : 21 sHsHsH 频频域域 sH1 sH 2 sE sR sH1 sH 2 sE sR 1LTI系统的并联 2LTI系统的级联 4.7 由系统函数零、极点分布决 定时域特性 序言序言 H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征波形特征 H(s) 、E(s)的极点分布与自由响的极点分布与自由响 应、强迫响应特性的对应应、强迫响应特性的对应 一序言 冲激响应冲激响应h(t)与

16、系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域两方从时域和变换域两方 面表征了同一系统的面表征了同一系统的本性本性。 在在s域域分析中，借助系统函数在分析中，借助系统函数在s平面平面零点与极点零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的规律。系统的时域、频域特性时域、频域特性集中地以其系统函数的集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点： 1可以预言系统的时域特性；可以预言系统的时域特性； 2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）；（自由强迫，瞬态稳态

17、）； 3可以用来说明系统的正弦稳态特性。可以用来说明系统的正弦稳态特性。 一阶极点 在原点，在原点，0, 1 )( 1 p s sH)()()( 1 tusHLth ap as sH 1 , 1 )( , 0),(e)(, , 0 ),(e)(, , 0 指数增加指数增加在右实轴上在右实轴上 指数衰减指数衰减在左实轴上在左实轴上 atutha tutha at at 在虚轴上在虚轴上,j,)( 1 22 p s sH )(sin)(，等幅振荡，等幅振荡ttuth , )( )( 22 s sH 共轭根共轭根,j,j 21 pp 当当 ，极点在左半平面，衰减振荡，极点在左半平面，衰减振荡 当当

18、，极点在右半平面，增幅振荡，极点在右半平面，增幅振荡 0 0 二阶极点 , 1 )( 2 极极点点在在原原点点 s sH )(,),()(thtttuth 极点在实轴上，极点在实轴上，, )( 1 )( 2 as sH 0)(, 0),(e)( thttutth t 在虚轴上，在虚轴上，, )( 2 )( 222 s s sH 增增幅幅振振荡荡 )(,),(sin)(thtttutth , t )(sH 有实际物理意义的物理系统都是有实际物理意义的物理系统都是因果系统因果系统，即随，即随 ， 这表明的极点位于这表明的极点位于左左半平面，由此可知，半平面，由此可知， 收敛域收敛域包括虚轴包括虚轴

19、， 均存在，两者可通用，只均存在，两者可通用，只 需需 将即可。将即可。 )(j FsF和和 js 0th 4.8 由系统函数零、极点分布 决定频响特性 定义定义 几种常见的滤波器几种常见的滤波器 根据根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线零极图绘制系统的频响特性曲线 一定义 所谓所谓“频响特性频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响是指系统在正弦信号激励下稳态响 应随频率的变化情况。应随频率的变化情况。 H j 前提：稳定的因果系统。前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 0lim th t 时域：时域： 频域：频域：H(s

20、)的全部极点落在的全部极点落在s左半平面。左半平面。 其收敛域包括虚轴：其收敛域包括虚轴： 拉氏变换拉氏变换 存在存在 傅里叶变换傅里叶变换 存在存在 tEtesH 0m sin ，激励源，激励源设系统函数为设系统函数为 000mmm sin tHEtr 0 j 00 0 ej j HH s sH 其中其中 HH s sH j ejj j H j H(s)和频响特性的关系 频响特性频响特性 系统的稳态响应系统的稳态响应 幅频特性幅频特性 相相频特性（相移特性）频特性（相移特性） 二几种常见的滤波器 O jH c O jH c O jH 1c 2c O jH 1c 低低通通滤滤波波器器高高通通滤滤波波器器 带带通通滤滤波波器器带带阻阻滤滤波波器器 通通带带阻阻带带 截截止止频频率