材料力学课件3-1

1、第三章 扭 转 1 概概 述述 变形特征变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对 的转动。 受力特征受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内， 作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。 扭转角扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。 2 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 v 1、各圆周线绕轴有相 对转动，但形状、大 小及两圆周线间的距 离不变。 v 2、各纵向线仍为直线， 但都倾斜了同一角度 ，原来的小矩形变 成平行四边形。 横截面上没有正应力。 横截面上必有存在，其 方向垂直于圆筒半径。 每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度，故圆筒 表面上每个小矩形侧面上的均相等。 :切应变 直角的改变量 Me

2、 n n dA n n Me T TrdA A A AdA r 0 r 0 r 0 2 r 2 0 2 r T 0 2A T L rL L r T 0 2A T G 剪切胡克定律剪切胡克定律 G:切变模量切变模量 3 传动轴的外力偶矩 . 扭矩及扭矩图 外加力偶矩与功率和转速的关系外加力偶矩与功率和转速的关系 mN n P M r kW e .1055.9 min/ 3 mnm n A B (a) 扭矩扭矩 扭矩图扭矩图 n x n T mI I T+ 右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相 同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若 扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩 为正，反之为负。

3、扭矩符号规定扭矩符号规定： mI T I m I I T mI T I m I I T T T 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求11截面和2 2截面上的扭矩，并画扭矩图。 A m B m C m 1 1 2 2 轮轮 轴轴 轴承轴承 6KNm 4KNm 一圆轴如图所示，已知其转速为n300转分，主动轮A输入的功率为NA 400KW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NBNC120KW，ND 160KW。试画出此圆轴的扭距图。 1 1 2 23 3 B m C m A m D m A m C m B m D m 轴的转向轴的转向 BC A D

4、 3.82kNm 7.64kNm 5.10kNm 平衡吗？平衡吗？ 切应力互等定理 x y z dx dy dz 根据力偶平衡理论 dydxdzdxdydz)()( v 在相互垂直的两个平 面上，切应力必成对 出现，两切应力的数 值相等，方向均垂直 于该平面的交线，且 同时指向或背离其交 线。 v不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。 v因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。 所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的所以不

5、论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。 v若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切状态。若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切状态。 试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上 的切应力是否正确。的切应力是否正确。 kN10 kN20 kN10 kN20 kN30 kN50 kN50 kN30 kN30 30kN 4 等直圆杆扭转时的应力.强度条件 Me Me 变形几何 平面假定 x dx T T d d dx dx d G G dx d G A TdA TdA dx d G A 2 Ip P GI T dx

6、d P GI T P I T dx d x dx T T d d dx dx d G dx d G A TdA TdA dx d G A 2 Ip P GI T dx d P GI T P I T dA A P I T P I Tr max r I W P P 扭转截面系数扭转截面系数 P W T max 实心圆截面实心圆截面 空心圆截面空心圆截面 d d A P dAI 2 A d 2 2 2 0 3 2 d d 32 4 d I P 16 3 d WP D d P I 2 2 3 2 D d d 44 32 dD D d 4 4 1 32 D I P 4 3 1 16 D WP 由两种不同

7、材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变 模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆 轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的 切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示 的四种结论，请判断哪一种是正确的。 d2 d T 1 G 2 G O (A)(B)(C)(D) 解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明 二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假 定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面， 即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一 角度。 因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。 由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层 （圆环截

8、面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层 在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的 切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。 在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于 零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应 变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于 零。 根据以上分析，正确答案是（C） 因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒 和空心圆轴设计 薄壁圆筒设计 D d 设平均半径 R0=(d+)/2 2 0 2 R T T d 2 2 T dd 2 2 223 Pa mN mm 6 3 2 3233 1080 1052 10100101002 mm7

9、 . 3 空心圆轴设计 P W T max 44 16 dD D WP 2 dD 44 16 dD DT 01081 . 0105161080 6 4 346 PamDmNDPa mmD7 .107 2 dD 2 1007 .107mmmm mm85. 3 当R0/10时，即可认为是薄壁圆筒 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭 矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定空心圆轴 的壁厚。 T T 圆轴扭转时斜截面的应力 A A e f sindA cosdA dA x n e f 0 F 0cossinsincos dAdAdA 0 F 0sinsincoscos dAdA

10、dA 2sin 2cos 2sin 2cos 讨论: 0 45 max 450 0 45 min 450 max min 0 0 45 0 0 45 0 0 0 0 0 max 00 强度条件 max 强度计算的三类问题 ： (1)、强度校核 P W Tmax (2)、截面设计 max T WP (3)、确定许用荷载 P WT max ：P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min,=100r/min,许用切应力许用切应力40MPa,40MPa, 空心圆轴的内外径之比空心圆轴的内外径之比 = 0.5= 0.5。 : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外径和空心轴的外径D

11、D2 2。 n P TM e 3 1055. 9 mN 2 .716 1 max p W T 3 6 1 1040 2 .71616 d 2 max p W T 3 64 2 10405 . 01 2 .71616 D 100 5 . 7 1055. 9 3 3 1 16 d T MPa40 mm45 4 3 2 1 16 D T MPa40 mm45 5 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件 dx d x dx T T d d dx dx d G dx d G A TdA TdA dx d G A 2 Ip P GI T dx d P GI T P I T 4 等直圆杆扭转时的变形.刚度条件 P

12、GI T dx d l d dx GI T l P 0 当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。 当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时 P GI TL i iP ii GI LT P GI T 如图所示阶梯轴。外力偶矩M10.8KNm， M2 2.3KNm， M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC 段的直径d27cm。已知材料的剪切弹性模量G80GPa， 试计算AB和AC。 0.8kNm 1.5kNm 0.8m1.0m 1 M 2 M 3 M 1 d 2 d A B C 32 4 1 1 d I P 4 1 .25

13、 cm 32 4 2 2 d I P 4 236cm 1 11 P AB GI LT rad0318. 0 2 22 P BC GI LT rad0079. 0 BCABAC radrad0079. 00318. 0 rad0239. 0 图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M19KNm，轮2、轮 3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M24KNm，M33.5KNm，M4 1.5KNm。已知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D， 并求出全轴两端的相对扭转角24。G80GPa，60MPa。 5kN 1.5kN 4kN 500500 1 M 2 M 3 M 4 M 500 4 3 1 16

14、D WP max T WP max 4 3 1 16 TD 3 4 max 3 1 16 T D mm7 .76 mmD78mmd39 P GI LT21 21 rad00734. 0 P GI LT 13 13 rad00917. 0 P GI LT34 34 rad00275. 0 34132124 rad00458. 0 已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW， 转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。 设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土 壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强

15、度校核；（3） 求A、B两截面相对扭转角。 M A l B A B )(xT x T n P T 3 1055. 9 Nm390 单位长度阻力矩L T M m Nm 40 390 m Nm75. 9 P W T max 16 60 50 160 10390 4 3 3 MPa7 .17 l P AB GI dxxT 0 MxxTx L T dx GI l x T l P AB 0 2 l GI T P 21050601080 4039032 12449 rad148.0 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实 心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆 杆的材料不同，其切

16、变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2， 假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。 试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画 出沿半径方向的切应力变化规律。 d D 1 2 e M 2 1 因两杆扭转变形时无相对转动 21 22 2 11 1 PP IG LT IG LT 22 11 2 1 P P IG IG T T 2 2 1 1 2 1 2 2 P P I d T I D T d D IT IT P P 12 21 2 2 1 G G 1 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作 用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm20mm，试 比较这两种杆的最

17、大切应力和截面面积。 圆杆: P W T max 3 16 d T 3 3 40 1040016 MPa9 .31 矩形杆:3 b h 267. 0 hb T 2 max 6020267. 0 10400 2 3 MPa4 .62 2 2 1260 4 mm d A 2 1200mmbhA 矩形面积与圆形面积相 近.但最大应力却增大了一 倍,且 h/b之值越大，切应 力也越大，因此工程中应尽 量避免使用矩形截面杆作扭 转杆件。 刚度条件 max m 0 0 max 180 P GI T 6 等直圆杆扭转时的应变能 x y z dx dz dy dxdydzdW 2 1 单元体外力作功 dxdy

18、dz 2 1 dVdW 应变能密度 dV dV v dxdydz dxdydz 2 1 2 1 等直圆杆扭转时的应变能 V dVvV l A dAdxv v 2 1 G l A dAdx G V 2 2 P I T A P dA I T G l 2 2 2 P GI lT 2 2 7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形 自由扭转： 非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。 约束扭转： 横截面可以自由翘曲。 横截面的翘曲受到限制。 横截面上只有切应力而无正应力 横截面上既有切应力又有正应力 角点切应力等于零角点切应力等于零 边缘各点切应力沿边缘各点切应力沿 切线方向切线方向 最大切应力最大切应力 发生在发生在 长边中点长边中点 T max 1 t W T max