第8章第2节正态总体的假设检验_概率论与数理统计

1、 2 0 2 (1) 的双边检验：的双边检验： 设总体设总体XN ( , 2). X1 , X2 , , Xn是取自是取自X的的样本，样本， 样本均值样本均值 样本方差样本方差S2，X ， 00 :H 原假设原假设 备择假设备择假设 01 :H 取检验统计量：取检验统计量： n X U 0 0 则拒绝域为：则拒绝域为： | 2/ zUW N(0, 1)当当H0为真时，为真时， n X U 0 0 此时，因为此时，因为 是是0的无偏估计量的无偏估计量, 不应太大不应太大.X| 0 X P拒绝拒绝H0|H0为真为真 )( 00 kXP | 00 0 n k n X P | 0 n k UP 所以所

2、以， 2/ 0 z n k 即：即： zUP | 2/ 由此知，拒绝域为：由此知，拒绝域为： | 2/ zUW 推导：推导： (2) 的单边检验：的单边检验： ， 00 :H 原假设原假设备择假设备择假设 01 :H 检验统计量：检验统计量： 拒绝域为：拒绝域为： zUW 统计中把统计中把拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双边拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双边 检验（这里是区间检验（这里是区间 的两侧）的两侧） ），（ 2/2/ zz (a) （证明略）（证明略） n X U 0 0 ， 00 :H 原假设原假设备择假设备择假设 01 :H 检验统计量：检验统计量： 拒绝域为：拒绝域为： zU

3、W 统计中把统计中把拒绝域在某个区间的某一侧的检验称为单拒绝域在某个区间的某一侧的检验称为单 边检验（这里是区间边检验（这里是区间 的某一侧）的某一侧） ），（ zz (b) 这里由于使用的是服从正态分布的这里由于使用的是服从正态分布的 U 统计量来统计量来 进行检验，也称为进行检验，也称为U 检验法（或正态检验法）。检验法（或正态检验法）。 n X U 0 0 0 0 0 0 0 2 zU zU zU U 检验法检验法 ( 02已知已知) n X U / 0 0 原假设原假设 H0 备择假设备择假设 H1 检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域 类型类型 双边双边 检验检验 单边单边 检验检验 0

4、 0 0 0 0 ）（1 2 ntT ）（1 ntT ）（1 ntT T 检验法检验法 ( 2 未知未知) nS X T / 0 原假设原假设 H0 备择假设备择假设 H1 检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域 类型类型 双边双边 检验检验 单边单边 检验检验 2 nS X T 0 例例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随 机地抽取机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，分， 标准差为标准差为15分，问在显著性水平分，问在显著性水平0.05下，是否可以认下，是否可以认 为在这次考试中全体考生的平均成绩为为

5、在这次考试中全体考生的平均成绩为70分？分？ 解：解： ，70: 0 H 原假设原假设备择假设备择假设 70: 1 H 检验统计量：检验统计量： 1 2 ）（ ntTW 拒绝域：拒绝域： 0301. 2|)1( 2/ TntTW ns x t 0 0301. 2)35()1( 025. 02/ tnt 36， 0.05， 4 . 1 36/15 705 .66 0301. 2 Wt 所以接受所以接受H0， 在显著性水平在显著性水平0.05下，可以认为在这次考试下，可以认为在这次考试 中全体考生的平均成绩为中全体考生的平均成绩为70分。分。 因为因为 解解:095. 0088. 0 x ，095

6、. 0: 0 H 原假设原假设备择假设备择假设 095. 0: 1 H 由由2 =0.022知，检验统计量为知，检验统计量为 n X U / 0 0 拒绝域：拒绝域： zUW 例例2.一台机床加工轴的椭圆度一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布服从正态分布 N(0.095,0.022）（单位：）（单位：mm)。机床经调整后随机取。机床经调整后随机取 20根测量其椭圆度，算得根测量其椭圆度，算得 mm 。已知总。已知总 体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值 有无显著降低？有无显著降低？ 088. 0 x )05. 0( 645. 1 05.

7、0 zz 20，0.05， 5652. 1 20/02. 0 095. 0088. 0 ，Wu 所以接受所以接受H0， 在显著性水平在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴下，认为调整后机床加工轴 的椭圆度的均值无显著降低的椭圆度的均值无显著降低. zUW 645. 1 U n x u / 0 0 645. 1 因为因为 例例3.某种电子元件，要求使用寿命不得低于某种电子元件，要求使用寿命不得低于1000 小时。现从一批这种元件中随机抽取小时。现从一批这种元件中随机抽取25 件，测其件，测其 寿命，算得其平均寿命寿命，算得其平均寿命950小时，设该元件的寿命小时，设该元件的寿命 XN(,1

8、002)，在显著性水平，在显著性水平0.05下下,确定这批元件确定这批元件 是否合格？是否合格？ 解解:1000950 x ，1000: 0 H 原假设原假设备择假设备择假设 1000: 1 H 由由2 =1002知，检验统计量为知，检验统计量为 n X U / 0 0 拒绝域：拒绝域： zUW 645. 1 05. 0 zz 25 ， 0.05， 5 . 2 25/100 1000950 Wu 所以拒绝所以拒绝H0， 在显著性水平在显著性水平0.05下，认为这批元件不合格下，认为这批元件不合格. zUW 645. 1 U n x u / 0 0 645. 1 因为因为 2 检验法检验法 原假

9、设原假设 H0 备择假设备择假设 H1 检验统计量检验统计量 拒绝域拒绝域 类型类型 双边双边 检验检验 单边单边 检验检验 n i i X 1 2 0 0 2 )( )( 22 2 1 2 2 2 n n 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 )( 22 n 2 0 2 2 0 2 )( 2 1 2 n 0 当当H0为真时，为真时， P拒绝拒绝H0|H0为真为真 所以拒绝域为：所以拒绝域为： 推导（推导（双边检验情形）双边检验情形） ： n i i X 1 2 0 02 )( 2 n n X Pn X P n i i n i i )( )( )( )( 2 2 0 1 2 2 12

10、 0 1 2 22 )()( 222 1 2 22 nnW ， 此时，因为此时，因为 是是2的无偏估计量的无偏估计量, n i i X n 1 2 0 0 )( 1 拒绝域应表现为拒绝域应表现为 偏小或偏大，偏小或偏大， n i i X 1 2 0 02 )( 2 检验法检验法 原假设原假设 H0 备择假设备择假设 H1 检验统计量检验统计量 拒绝域拒绝域 类型类型 双边双边 检验检验 单边单边 检验检验 )1( )1( 22 2 1 2 2 2 n n 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 )1( 22 n 2 0 2 2 0 2 )1( 2 1 2 n 2 0 2 2 )1( S

11、n 例例4. 在生产线上随机地取在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值只电阻测得电阻值 （单位：欧姆）如下：（单位：欧姆）如下：114.2，91.9，107.5，89.1， 87.2，87.6，95.8 ，98.4，94.6，85.4 设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性 水平水平=0.1下方差与下方差与60是否有显著差异？是否有显著差异？ 解解: ，60: 2 0 H 原假设原假设备择假设备择假设 60: 2 1 H 检验统计量：检验统计量： 拒绝域：拒绝域： 2 2 2 )1( Sn )1()1( 222 1 2 22 nnW ， 6823.

12、87 2 s 919.16325. 3 22 W， 10 ，0.1，325. 3)9()1( 2 95. 0 2 1 2 n 919.16)9()1( 2 05. 0 2 2 n 2 2 2 )1( Sn 15235.13 60 6823.879 W 2 所以接受所以接受H0，因为因为 即在显著性水平即在显著性水平=0.1下，认为方差与下，认为方差与60无显著差异无显著差异. 例例5. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过某种导线，要求其电阻的标准差不得超过 0.005欧姆，今在生产的一批导线中取样本欧姆，今在生产的一批导线中取样本9根，根， 测得测得s=0.007欧姆欧姆.设总体服从正态分布

13、，参数均未设总体服从正态分布，参数均未 知，问在显著性水平知，问在显著性水平=0.05下，能否认为这批导下，能否认为这批导 线的标准差显著地偏大？线的标准差显著地偏大？ 解解: ， 22 0 005. 0: H原假设原假设备择假设备择假设 22 1 005. 0: H 检验统计量：检验统计量： 拒绝域：拒绝域： 2 2 2 )1( Sn )1( 22 nW 222 005. 0007. 0 s 507.15 2 W 9 ，0.05，507.15)8()1( 2 05. 0 2 n 2 2 2 )1( Sn 68.15 005. 0 007. 08 2 2 W 2 所以拒绝所以拒绝H0，因为因为

14、 即在显著性水平即在显著性水平=0.05下，认为这批导线的标准差显下，认为这批导线的标准差显 著地偏大著地偏大. 507.15 1 , 21n XXX为取自总体为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本的样本, 2 , 21n YYY为取自总体为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本的样本, 2 2 2 1 ,;,SYSX分别表示两样本的样本均值与样本方差分别表示两样本的样本均值与样本方差 且两总体相互独立。且两总体相互独立。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 zU zU zU U 检验法检验法 2 2 2 1 2 1 n n YX U 原假设原假设 H0 备择假设备择假设 H1 检验

15、统计量检验统计量拒绝域拒绝域 类型类型 双边双边 检验检验 单边单边 检验检验 2 2 2 1 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ）（2 21 2 nntT 原假设原假设 H0 备择假设备择假设 H1 检验统计量检验统计量拒绝域拒绝域 类型类型 双边双边 检验检验 单边单边 检验检验 2 2 2 1 ， 2 2 2 1 T 检验法检验法 w S nn YX T 21 11 )( ）（2 21 nntT ）（2 21 nntT 2 ) 1() 1( 21 2 22 2 11 2 nn SnSn Sw 例例6.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：

16、第一批：第一批：140，138，143，142，144，137，141 第二批：第二批：135，140，142，136，138，140. 设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同，设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同， 试判断这两批学生的平均身高是否相等（试判断这两批学生的平均身高是否相等（=0.10 ）。）。 解解:， 210 :H 原假设原假设 检验统计量：检验统计量： 拒绝域：拒绝域： 备择假设备择假设， 211 :H 2 ) 1() 1(11 21 2 22 2 11 21 nn SnSn nn YX T 2 21 2 ）（ nntTW 21 11 nn 7989.

17、 1112 05. 021 2 ）（）（tnnt ，7143.140 x，5714. 6 2 1 s 5 .138 y1 . 7 2 2 s =0.10 ，7 1 n ，6 2 n 5563. 0 6 1 7 1 2 ) 1() 1( 21 2 22 2 11 nn snsn 6099. 2 11 1 . 755714. 66 7989. 1|2| 21 2 TnntTW ）（ 2 ) 1() 1(11 21 2 22 2 11 21 nn snsn nn yx t 5251. 1 6099. 25563. 0 5 .1387143.140 7989. 1 Wt 所以接受所以接受H0，因为因为

18、 认为这两批学生的平均身高是相等的认为这两批学生的平均身高是相等的. . 例例7.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出 50名，测得平均身高名，测得平均身高174.34cm，从不经常参加体育，从不经常参加体育 锻炼的男生中随机地选出锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高名，测得平均身高 172.42cm，统计资料表明两种男生的身高都服从正，统计资料表明两种男生的身高都服从正 态分布，其标准差分别为态分布，其标准差分别为5.35cm和和6.11cm，问该校，问该校 经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体

19、育锻 炼的男生平均身高要高些？炼的男生平均身高要高些？ （=0.05 ） 解解: ， 210 :H 原假设原假设 检验统计量：检验统计量： 拒绝域：拒绝域： 备择假设备择假设， 211 :H ，34.174 x，42.172 y ，yx 2 2 2 1 2 1 n n YX U zUW ， 22 1 35. 5 ， 22 2 11. 6 ，05. 0 2 2 2 1 2 1 n n yx u zUW 645.1 05.0 zz 645.1 U 6717. 1 50 11. 6 50 35. 5 42.17234.174 22 645.1 Wu 所以拒绝所以拒绝H0，因为因为 认为该校经常参加体

20、育锻炼的男生比不经常参认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参 加体育锻炼的男生平均身高要高些加体育锻炼的男生平均身高要高些. F 检验法检验法 原假设原假设 H0 备择假设备择假设 H1 检验统计量检验统计量 拒绝域拒绝域 类型类型 双边双边 检验检验 单边单边 检验检验 )( )( 21 21 1 2 2 nnFF nnFF ， ， 2 2 2 1 2 2 2 1 21 ， 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n i i n i i Y n X n F )( 21 nnFF ， )( 211 nnFF ， F 检验

21、法检验法 原假设原假设 H0 备择假设备择假设 H1 检验统计量检验统计量 拒绝域拒绝域 类型类型 双边双边 检验检验 单边单边 检验检验 ) 11( ) 11( 21 21 1 2 2 nnFF nnFF ， ， 2 2 2 1 2 2 2 1 21 ， 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ) 11( 21 nnFF ， ) 11( 211 nnFF ， 2 2 2 1 S S F 例例8.设两家银行储户的年存款余额均服从正态分布，设两家银行储户的年存款余额均服从正态分布， 经市场调查，分别抽取容量为经市场调查，分别抽取容量为21和和16的样本，得样本的样本，得样

22、本 均值分别为均值分别为650元和元和800元，样本方差分别为元，样本方差分别为802和和702， 能否认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于能否认为第二家银行储户的平均年存款余额显著高于 第一家银行储户的平均年存款余额。第一家银行储户的平均年存款余额。 （ =0.10 ） 解解: 检验统计量：检验统计量： 拒绝域：拒绝域： （1）先检验两家银行储户的年存款余额的方差）先检验两家银行储户的年存款余额的方差 有无显著性差异。有无显著性差异。 原假设原假设 2 2 2 10 H ：备择假设备择假设 2 2 2 11 H ： 2 2 2 1 S S F ) 11() 11( 2121 1 22 nnFFnnFFW ， ) 11() 11( 2121 1 22 nnFFnnFFW ， ) 11( 21 2 nnF， 16,21 21 nn )1520( 05. 0 ，F ) 11( 21 1 2 nnF ， ) 11( 1 12 2 nnF， )