全等三角形(常见辅助线)经典[主要内容]

1、专题学习专题学习 -几何证明中常见的几何证明中常见的 “添辅助线添辅助线”方法方法 -“周长问题周长问题”的转化的转化 1青苗辅导1 .连结连结 目的目的: :构造构造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形 适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在两个点存在两个点X X和和Y Y 语言描述语言描述: :连结连结XYXY 注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法 2青苗辅导1 .连结连结 典例典例1: 1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D. AC B D 1. 1.连结连结ACA

2、C 构造全等三角形构造全等三角形 2. 2.连结连结BDBD 构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形 3青苗辅导1 .连结连结 典例典例2: 2:如图如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证求证: :点点M M是是CDCD的中点的中点. . A C B D 连结连结ACAC、ADAD 构造全等三角形构造全等三角形 E M 4青苗辅导1 .连结连结 典例典例3: 3:如图如图,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分别是分别是BDBD、CDCD 的中点，求证：的中点，求证：AMBAMB ANCANC A CB

3、D 连结连结ADAD 构造全等三角形构造全等三角形 NM 5青苗辅导1 .连结连结 典例典例4: 4:如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC， OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长. . A C B D 连结连结BDBD 构造全等三角形构造全等三角形O 6青苗辅导1 目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到距离相等距离相等 适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在一个点存在一个点X X和和一条线一条线MNMN 语言描述语言描述: :过点过点X X作作XYXYMNMN 注意点注意点: :双添双添-在图形上添

4、虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法 .角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段 7青苗辅导1 .角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段 典例典例1: 1:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. . A C D 过点过点D D作作DEABDEAB 构造了构造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等 B E 8青苗辅导1 .角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段 典

5、例典例2: 2:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC. A C D 过点过点D D作作DEABDEAB 构造了构造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等 B E 思考思考: : (1) (1)若若AB=15cm,AB=15cm,则则BEDBED的周长是多少的周长是多少? ? (2) (2)能否用截长补短法，在能否用截长补短法，在ABAB上截取上截取AE=ACAE=AC？ 9青苗辅导1 .角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线

6、段 典例典例3: 3:如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD. A C D 过点过点E E作作EFBCEFBC 构造了构造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等 B F 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ? E 10青苗辅导1 .角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段 典例典例4: 4:如图如图,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE

7、=180o o, , 求证求证: PD=PE.: PD=PE. A C D 过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB 构造了构造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等 B F 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ? E P G O 11青苗辅导1 目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等 适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MNMN 和和垂直平分线上一个点垂直平分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N 注意点注意点: :双

8、添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法 .垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段 12青苗辅导1 目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等 适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MNMN 和和垂直平分线上一个点垂直平分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N 注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法 .中线延长一倍中线延长一倍 13青苗辅导1 1. 1.已知，如图已知，如图ADAD是是ABCA

9、BC的中线，的中线， .中线延长一倍中线延长一倍 A B C D E )( 2 1 ACABAD求证： 延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD， 连结连结CE.CE. 思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5，求，求ADAD的取值范围？的取值范围？ 14青苗辅导1 .角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段 2. 2.如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD. 延长延长BEBE和和CDCD交于点交于点F F 构造了

10、构造了: : 全等的全等的直角三角形直角三角形 F 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ? A C D B E 15青苗辅导1 1. 1.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分CABCAB DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少? ? .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“角平分线性质角平分线性质” BA C D E BE+BD+DE =BE+BD+CD =BE+BC =BE+AC =BE+AE =AB 16青苗辅导1 2. 2.如图

11、如图, ,ABCABC中中,A=90,A=90o o, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, , E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长. . .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质” B A C DE AD+AE+DE =BD+CE+DE =BC 17青苗辅导1 3. 3.如图如图,A,A、A A1关于关于OMOM对称对称, A, A、A A2关于关于ONON对称对称. . 若若A A1 A A2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周长的周长. . .“周长问题周

12、长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质” B A C O MAB+AC+BC =A=A1 B+ A A2 C+BC =A=A1 A A2 A1 A2 N 18青苗辅导1 4. 4.如图如图, , ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线. . 若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. . .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质” B A C M AB+BC+AC =AB+ BM+MC+6 N =AB+ BM+AM+6 =13+6 19青苗辅导1 5. 5.如图如图, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的角平