数学物理方法1

1、 复变函数论复变函数论 微分微分 积分积分 柯西积分定理柯西积分定理 柯西积分公式柯西积分公式 解析函数的 无限次可微 性 柯 西 不 等 式 圆域内圆域内泰勒泰勒 级数级数 环域内的环域内的 罗朗级数罗朗级数 留数定理留数定理 留数和定理留数和定理 辐 角 原 理 莫勒纳定理 刘维尔定理 最大模原理 平 均 值 公 式 三 类 典 型 实 积 分 的 计算 傅里叶积分傅里叶积分变换变换 拉拉普拉斯普拉斯积分积分变换变换 数学物理方法是理工科类专业的一门重要基础数学物理方法是理工科类专业的一门重要基础 课，既是数学课程，又是物理课程，其教学目的课，既是数学课程，又是物理课程，其教学目的 是进一

2、步系统的提高和培养学生建立数理模型，是进一步系统的提高和培养学生建立数理模型， 解决物理问题的能力。是用数学知识解决物理问解决物理问题的能力。是用数学知识解决物理问 题的方法，首先先从数学知识开始讲起题的方法，首先先从数学知识开始讲起。 引言引言 1-1 复数基本运算复数基本运算一、复数的表示法一、复数的表示法 注意：复数的虚部是一个实数注意：复数的虚部是一个实数 一个复数的共扼一个复数的共扼 通常记做通常记做 *zz或（物理学中常用中常用z z* *表示）表示） 213 22 ( , ) here, 1 1, C Re( )Im( ) | Arg 2 arg (cos s zxiyx y i

3、iiii zxzy zrxyzz zk z zri : ， 显然 可表示表示二维平面上的一个点， 该平面被称为复平面，一般用 表示 ： 实部和虚部分别相等 ： | 模 辐角： 辐角的主值： 复数其它表示 ： 复数相等 实部虚部 定义 in ) i re 2.复数的几何表示复数的几何表示 实数组实数组(x,y)(x,y)与平面直角坐标系上的点与平面直角坐标系上的点 一一对应一一对应. .因此因此, ,复数复数z z也与也与 平面直角坐标系上的点一一对应平面直角坐标系上的点一一对应, ,这样的平面叫做复平面。两个坐标这样的平面叫做复平面。两个坐标 轴分别叫做实轴和虚轴。轴分别叫做实轴和虚轴。 （具

4、体图示参看课本具体图示参看课本） 主值主值argz的范围的范围(z=x+iy)： argz= arctg,0,00,arctg0 arctgarctg0,0( yy y xx yy y xx 当x（z在第一象限）;y 或者2 ，当xz在第四象限） ,0,0 2 y 当x（在坐标轴上） arctg,0,0 0,0 y y x y 当x（z在第二象限） 当x（z在第三象限） ,0,0y当x其中 arg 22 y tg x 补充内容补充内容 幅角幅角 应注应注 意的意的 问题问题 3.复数的三角函数与指数函数表示复数的三角函数与指数函数表示 cossin i ei sin 2 ii ee i cos

5、sin i ei cos 2 ii ee 二、复数运算规则二、复数运算规则 1. 复数的基本运算 如果复数z的实部和虚部都等于零, 则复数等于零，记作 z=0。 图示具体见教案图示具体见教案 2. 复数的运算法则复数的运算法则 1212 ()() 11 1 21 2 22 1 2121 212 12121212 , .,arg()argarg /,arg(/)argarg ii zr zz zrr eze zr z zzzz zzz zzzzzzzz 共扼复数的性质： 11 12121212 22 ,., ZZ ZZZZZ ZZ Z ZZ 2 22 .Re( )Im( )Z ZZzz 2Re(

6、 ),2 Im( )ZZz ZZiz 复数的乘法与除法的代数形式与指数形式的计算总结复数的乘法与除法的代数形式与指数形式的计算总结 * 11 2112212122112 *22 222222222 ()()() ()() zz zxiyxiyx xy yi x yx y z zz zxiyxiyxy 12112212121221 ()()()zz zxiyxiyx xy yi x yx y 可见复数的 乘除法用指 数形式方便 3.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根(重点重点) 具体见下页 用指数形式求解用指数形式求解 1 1 (cossin ),(cossin ) (cossin)(cossin

7、 ) 2 ,coscos ,0, 1, 2, 012 n n n n n Zriui uzuz ninri k rnrk n 设 即 即 不难验证，当k ， ， ， n-1时，存在n个幅角不同的方根，当 k取其它值时，所得方根是这n个不同方根中的一个。 如果在复平面上画出这n个不同方根,它们就是以原点为 中心,以r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点 . 1121 (2) 22 (cossin) k i ikn nnnn kk zrer eri nn k=0,1,2.n-1 For example! 3 8求的根 解：1、先把代数式化为指数式 因为-1的辐角为，而模为8。2、根据公式可得

8、12 3 33 1 3 88 22 8 (cossin),(0,1,2) 33 k i e kk ik 3 8 13 02sin)2()13 22 1,2sin)2 55 3,2sin)2sin) 13 2()13 22 iii ki kii ii 1 2 3 因此的三个根为 k ，z（cos 33 z （cos z（cos（cos 3333 333 811求， ，的三个根 4、方根的图示、方根的图示 i e 5 图示为z = 三、例题三、例题1、2、3、4见课本见课本 3 8i求的根 在实变函数微积分学中的在实变函数微积分学中的 只是一个符号而已只是一个符号而已。 而复球面上的无穷远点复球面

9、上的无穷远点 却是一个完全确定的点，却是一个完全确定的点， 并且只有一个无穷远点并且只有一个无穷远点。 补充一些内容补充一些内容 具体见课本具体见课本 复数的无穷远点复数的无穷远点 本节总结与注意 1、掌握书上的例题，并且会举一反三。 例题1要根据复数的模的基本性质证明。 例题2要记住结论。 例题3此类题目用z=x+iy代入方程化简即可。 2 2 zz与 的区别 2 22 . z zzz zz 是复数z的模r的平方 是复数 的自乘，即 3、 2、复数的幂和根式的求法（见例题4） 重点内容重点内容 首先要求把复数的代数形式化为极坐标形式，找出模与 幅角的主值。 一、复变函数的定义一、复变函数的定

10、义 画图说明 以某点z0为圆心,以任意小 的正实数为半径的圆的内 部，称为z0 的邻域。邻域。 二、复平面上的区域二、复平面上的区域 点z的集合不包含点z0, 叫做点z0的去心邻域去心邻域. 具体见课本与教案 要画图说明 三、单与复连通区域三、单与复连通区域 “有洞”“无洞” 画图说明画图说明 单连通区域可以经过变形而缩成一点，而多连通区域就 不具有这个特征。 abc 复连通区域单连通化（补充） 区域的判断方法及实例分析区域的判断方法及实例分析(补充补充) 0 lim( ) zz f zA (1)、定义： 去心邻域去心邻域 四、复变函数的极限四、复变函数的极限 f(z) 解释一下作业题 0 0

11、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 lim ( , )Re 1) lim( ) lim ( , )Im lim ( )( ) lim( ) 2) lim( ) ( ) lim( ) ( ) lim, 0 ( ) xx xy zz xx xy zz zz zz zz zz u x yAu f zAuiv v x yAv f zg zAB f zA f z g zAB g zB f zA B g zB (2)、复变函数极限的基本定理、复变函数极限的基本定理 复变函数与二元实变函数极限的区别在于复变函数复变函数与二元实变函数极限的区别在于复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中包含两个二元实变函数中包含两个二元实变函数u(x,y)和和v(x.y). 因此有下面的定理因此有下面的定理: 求复变函数的极限就是求两个二元实变函数的极限求复变函数的极限就是求两个二元实变函数的极限,因此具有相同的因此具有相同的 几何意义几何意义. 因此可以证明因此可以证明,在存在极限在存在极限limz-z0f(z)=A, limz-z0g(z)=B的的 条件下条件下, 下列极限运算法则对复变函数的极限运算也成立下列极限运算法则对复变函数的