函数零点问题中参数范围的求解

1、在函数零点问题中求解参数范围江山中学 杨作义王芳根据函数的零点情况，讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点.对于这类问题，我们可以利用零点定理、 数形结合思想、函数单调性与参数分离思想来求解.一、利用零点定理求解参数范围如果函数y f(x)在a,b上连续且满足f(a) f(b) 0,则y f(x)在区间(a,b)上至少存在一个零点， 即存在c (a,b),使得f (c) 0 .这就是零点定理.对于高中阶段常遇到的问题：“已知连续函数 y f (x)在a,b上单调，且在区间(a, b)上存在一个零点，求参数的范围”可用f(a) f(b) 0求解.例1 2012 年高考数学天津卷(理科)第 4题改

2、编已知函数f(x) 2x x3 a(a r)在区间(0,1)内存在 一个零点，则实数 a的取值范围是 .解：因为函数f(x)在区间(0,1)内存在一个零点，故f (0) f (1) 0 ,整理得(1 a)(3 a) 0 ,解得1 a 3 .所以，实数a的取值范围是(1,3).二、利用数形结合思想求解参数范围如果通过变形，可以将函数f(x)转化为两个函数 g(x), h(x)之差的形式，那么 g(x),h(x)图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点.因此对于含参数函数f(x) g(x) h(x),我们可以利用数形结合思想作出g(x), h(x)的图象，并根据两图象的交点情况求解参数范围.把原函数

3、转化为两个函数时，要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的.在作图时，要利用函 数奇偶性、单调性等性质，并标注出函数图象上的零点、最高点、最低点等一些特殊点，尽量把图象画准确，避免 误判.x 2;若关于x的方程f (x) k2例2 2011年高考数学北京卷(理科)第13题已知函数f (x) x有两个不等的实根，则实数解：当x 2时，f (x)时，f(x) (x 1)3,此时f (x)1。k的取值范围是.2,此时f(x)在2, 上单调递减, xf (x)过点(1,0),(0, 1),且在 ,2(x 1)3, x 2.且 0 f (x) 1。当乂 2上单调递增。当x2时,精品资料如图1所

4、示作出函数 y f(x)的图象，由图可得 f(x)在-,2上单调递增且f(x) 1 , f(x)在 2,上单调递减且0 f (x) 1,故当且仅当0 k 1时，关于x的方程f(x) k有两个不等的实根.即实数 k的取值范围是 0,1三、利用函数单调性求解参数范围如果函数y f(x)在a,b上单调递增或递减，则 y f(x)在a,b上至多只有一个零点.反之，如果函数y f (x)在a,b上单调且存在零点，那么f (a) f (b) 0必然成立.对于某些形式复杂的函数y f(x),如果直接作出其图象有困难，我们可以先通过求导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，再观察函数f(x)图象与直线

5、y b的图象的交点.通过平移直线y b确定交点个2x xsinx cosx,若曲线 y f (x)数，即可求解参数范围.2013年高考数学北京卷(文科)第18题第(2)问已知函数f(x)四、利用参数分离法求解参数范围如果函数y f(x)或方程f(x)=0中的参数变量a能被分离出来，形成 a h(x)形式，函数的零点问题就转化为与x轴平行的直线y a和函数y h(x)的图象的交点问题.通过讨论函数y h(x)的单调性或值域，即可判断函数的零点，由此可得参数范围.利用参数分离法求解，可以回避对参数取值情况的讨论例4 2013 年高考数学陕西卷(理科)第21题第(2)问已知函数f(x) ex(x 0

6、),讨论曲线y f(x)与曲线y mx2(m 0)公共点的个数.解：曲线y f(x)与曲线y2/_mx (m0)公共点的个数即方程ex mx2(x 0)的解的个数，也就是方程xe /m (xx0)的解的个数.令 g(x)x%(x x0),则 g (x)ex 2x4xex(x 2)当 x (0,2)时，g (x) 0, g(x)在(0,2)上单调递减；当x (2,)时，g(x)0, g(x)在(2,2e)上单调递增.所以g(x)min g(2)-42e 又当x趋近于。时，g(x)趋近于 ；当x趋近于 时，g(x)趋近于 .所以，当m 0, 时，曲线4222y f(x)与曲线y mx (m 0)无

7、公共点；当m 一时，它们有1个公共点；当 m , 时，匕们有2个 44公共点.【练一练】1 .已知函数f(x) mx2 2x 1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是(a),1(b),0 u 1(c),0 u 0,1(d),12 .已知函数f(x) x3 3x2 9x 3,若函数g(x) f (x) m在 2,5上有3个零点，求实数 m的取值范围.【参考答案】1 21.b (提不：当m 0时，f(x) 2x 1,函数零点为x ,满足题意；当m 0时，若 2 4m 0,2解得m 1,由此可得x 1是唯一零点，满足题意；若 0,则函数与坐标轴有两个不同的交点.因为f(0) 1,所以x=0不

8、是函数的零点.若函数f(x)开口向上，则两个零点必定同为正或同为负，不合题意，只有当 f(x)开口向下时，函数f(x)的两个零点一正一负，符合题意2.此时有2 4m 0,解得m 0 .综上可得m 0.m ,0 u 1 )2.解：f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3),其图象为开口向上的二次图象 ，零点为 x1 = -1, x2=3，结合 2,5 可得，当 x 2, 1 u(3,5时，f (x) 0；当 x (1,3)时， f (x) 0,所以函数f(x)在2, 1)和(3,5上单调递增，在(1,3)上单调递减.故 f(x)极小值 f(3)24,f(x)极大值 f( 1) 8,此外，f( 2) 1,f(5) 8.如图3所示，作出函数 f(x)的大致图象，要使函数 g (x) f (x) m在 2,5上有3 个零点，只要使函数f (x)在 2,5上的图象与直线 y m有3个交点即可.由图3可知，当m 8时，函数f(x)与直线y m至多有2个交点；当m 1,8)时,函数f