陕西省咸阳市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科)

1、2015-2016学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1若复数z=i（12i）（i为虚数单位），则=（）A12iB1+2iC2+iD2i2设a=n（n1）（n2）（n50），则a可表示为（）ABCD3下列函数求导正确的是（）A（sinx）=cosx B（cosx）=sinxC（2x）=x2x1D（）=4微积分基本定理：一般的，如果f（x）是区间a，b上的连续函数，并且F（x）=f（x），那么f（x）dx=（）AF（a）F（b） BF（b）F（a） CF（a）F（b）DF（b）F（a）5要证明不等式+

2、2，可选择的方法有（）A分析法B综合法 C反证法D以上三种方法均可6一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为（）A60B70C80D907（12x）4展开式中含x项的系数（）A32B4C8D328某市16个交通路段中，在早高峰期间与7个路段比较拥堵，现从中任意选10个路段，用X表示这10个路段中交通比较拥堵的路段数，则P（X=4）=（）A B CD9实数x，y满足（1+i）x+（1i）y=2，设z=x+yi，则下列说法错误的是（）Az在复平面内对应的点在第一象限 B|z|= Cz的虚部是i Dz的实部是110把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，

3、事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（）ABCD11观察下列各式： =2， =3， =4，若=9，则m=（）A80B81C728D72912已知函数f（x）为偶函数，且当x0时，f（x）=（x1）（x2），则下列关系一定成立的是（）Af（1）f（2）Bf（0）f（1）Cf（2）f（1）Df（1）f（2）二、填空题：每小题5分，共20分13若随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1，2，3，4），则P（X2）=14据气象部门的统计，浙江沿海某市下雨的概率为0.4，且雨天时湿度大于70%的概率为0.6，则该市既下雨同时湿度在70%以上的概率为15函数f（x）=alnx+x在x=1处取得

4、极值，则a的值为16一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种三、解答题：共70分17已知函数f（x）=x3+3x29x+3求：（）f（x）的单调递增区间；（）f（x）的极值18从4名男生，3名女生中选出三名代表，（1）不同的选法共有多少种？（2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？（3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？19已知数列an中，a1=，an=（n2，nN+）（）求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式an（）用数学归纳法证明你猜想的结论20PM2

5、.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758PM2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879（1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（保留2位小数）（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？参考公式： =， =21为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分）

6、，从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名学生的成绩，记获优秀成绩的总人数为X，求X的分布列22已知函数f（x）=+x在x=1处的切线方程为2xy+b=0（）求实数a，b的值；（）设函数g（x）=f（x）+x2kx，且g（x）在其定义域上存在单调递减区间（即g（x）0在其定义域上有解），求实数k的取值范围2015-2016学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共

7、60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1若复数z=i（12i）（i为虚数单位），则=（）A12iB1+2iC2+iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数z=i（12i）=i+2，则=2i故选：D2设a=n（n1）（n2）（n50），则a可表示为（）ABCD【考点】组合及组合数公式【分析】由已知直接利用排列数公式求解【解答】解：由排列数公式，得：a=n（n1）（n2）（n50）=故选：A3下列函数求导正确的是（）A（sinx）=cosxB（cosx）=sinxC（2x）=x2x1D（）=【考点】导数的运算【分析

8、】根据基本导数公式判断即可【解答】解：（sinx）=cosx，（cosx）=sinx，（2x）=ln22x，（）=，故选：D4微积分基本定理：一般的，如果f（x）是区间a，b上的连续函数，并且F（x）=f（x），那么f（x）dx=（）AF（a）F（b）BF（b）F（a）CF（a）F（b）DF（b）F（a）【考点】微积分基本定理【分析】直接利用微积分基本定理，可得结论【解答】解：微积分基本定理：一般的，如果f（x）是区间a，b上的连续函数，并且F（x）=f（x），那么f（x）dx=F（b）F（a）故选：B5要证明不等式+2，可选择的方法有（）A分析法B综合法 C反证法D以上三种方法均可【考点】综

9、合法与分析法(选修）【分析】利用三种方法，给出不等式的证明，即可得出结论【解答】解：用分析法证明如下：要证明+2，需证（+）2（2）2，即证10+220，即证5，即证2125，显然成立，故原结论成立综合法：（+）2（2）2=10+220=2（5）0，+2反证法：假设+2通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论从以上证法中，可知三种方法均可故选：D6一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为（）A60B70C80D90【考点】极差、方差与标准差【分析】种子要么发芽，要么不发芽，符合二项分布XB，代入E（X）=np，求出即可【解答】解：10080%=80，发芽的种子数

10、X的均值为80，故选：C7（12x）4展开式中含x项的系数（）A32B4C8D32【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项求出二项式展开式的通项，令通项中x的指数为1求出r的值，将r的值代入通项求出4展开式中含x项的系数【解答】解：（12x）4展开式的通项为TR+1=（2）rC4rxr令r=1得展开式中含x项的系数为2C41=8，故选C8某市16个交通路段中，在早高峰期间与7个路段比较拥堵，现从中任意选10个路段，用X表示这10个路段中交通比较拥堵的路段数，则P（X=4）=（）AB CD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】由题意本题是一个超几何分布的问题，P（X=4）即取出的1

11、0个村庄中交通不方便的村庄数为四，由公式算出概率即可【解答】解：由题意P（X=4）=，故选：A9实数x，y满足（1+i）x+（1i）y=2，设z=x+yi，则下列说法错误的是（）Az在复平面内对应的点在第一象限 B|z|= Cz的虚部是i Dz的实部是1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把（1+i）x+（1i）y=2，化为x+y2+（xy）i=0，利用复数相等的充要条件，求出x，y的值，则z=1+i，再由复数的基本概念逐个判断得答案【解答】解：实数x，y满足（1+i）x+（1i）y=2，化为x+y2+（xy）i=0，解得x=y=1则z=x+yi=1+i对于A，z在复平面内对应的点的坐标为：

12、（1，1），位于第一象限，故A正确对于B，|z|=，故B正确对于C，z的虚部是：1，故C错误对于D，z的实部是：1，故D正确故选：C10把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分析】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，代入条件概率的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，P（B|A）=，故选A11观察下列各式： =2， =3， =4，若=9，则m=（）A80B81C7

13、28D729【考点】归纳推理【分析】观察每个等式可以发现每个被开方数的分数部分的分母是分子的立方减去1所得，从而可求m【解答】解： =2=2，=3， =4=4，所以，所以=9=9，所以m=931=7291=728；故选C12已知函数f（x）为偶函数，且当x0时，f（x）=（x1）（x2），则下列关系一定成立的是（）Af（1）f（2）Bf（0）f（1）Cf（2）f（1）Df（1）f（2）【考点】导数的运算【分析】根据导数和函数单调性的关系吗，求出函数的单调区间，再根据偶函数的性质即可判断【解答】解：当f（x）0时，即（x1）（x2）0解得0x1或x2，函数单调递增，当f（x）0时，即（x1）（x

14、2）0解得1x2，函数单调递减，f（x）在（0，1）和（2，+）单调递增，在（1，2）上单调递减，f（1）f（2），f（0）f（1）=f（1），f（2）=f（2）f（1），f（1）=f（1）f（2），故选：C二、填空题：每小题5分，共20分13若随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1，2，3，4），则P（X2）=0.7【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】由已知得P（X2）=P（X=3）+P（X=4），由此能求出结果【解答】解：随机变量X的分布列为P（X=i）=（i=1，2，3，4），P（X2）=P（X=3）+P（X=4）=0.7故答案为：0.714据气象部门的统计，浙江沿海某市下雨的概

15、率为0.4，且雨天时湿度大于70%的概率为0.6，则该市既下雨同时湿度在70%以上的概率为0.24【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】根据题意，某一天浙江沿海某市下雨的概率为0.4，且雨天时湿度大于70%的概率为0.6，进而根据根据相互独立事件概率的乘法公式可得答案【解答】解：根据题意，浙江沿海某市下雨的概率为0.4，且雨天时湿度大于70%的概率为0.6，根据相互独立事件概率的乘法公式可得，故该市既下雨同时湿度在70%以上的概率0.60.4=0.24，故答案为：0.2415函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，则a的值为1【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】由题意得求出函数的

16、导数f（x）=+1，因为函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，所以f（1）=0进而可以求出答案【解答】解：由题意得f（x）=+1因为函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，所以f（1）=0，即a+1=0，所以a=1故答案为116一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】有题意需要分两类，第一类，当爷爷在6排D座时，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后排其他人，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，当爷爷在6排D

17、座时，再排小孙女，最后排其他人，共有=18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有=12种，根据分类计数原理共有18+12=30种，故答案为：30三、解答题：共70分17已知函数f（x）=x3+3x29x+3求：（）f（x）的单调递增区间；（）f（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）可求导数得到f（x）=3x2+6x9，而通过解f（x）0即可得出函数f（x）的单调递增区间；（）根据x的取值可以判断导数符号，这样由极值的概念便可得出函数f（x）的极值【解答】解：（）f（x）=3x2+6x9，解f（x）0得：x1，或x3；f（x）的

18、单调递增区间为（，3，1，+）；（）x3时，f（x）0，3x1时，f（x）0，x1时，f（x）0；x=3时f（x）取极大值30，x=1时，f（x）取极小值218从4名男生，3名女生中选出三名代表，（1）不同的选法共有多少种？（2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？（3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？【考点】排列、组合的实际应用【分析】（1）根据题意，要从7人中选出3名代表，由组合数公式可得答案；（2）至少有一名女生包括3种情况，、有1名女生、2名男生，、有2名女生、1名男生，、3名全是女生，由组合数公式可得每种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；（3）由（1）可得，从7

19、人中选出3人的情况有C73种，从中排除选出的3人都是男生的情况与选出的3人是女生的情况，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，共有7人，要从中选出3名代表，共有选法种；（2）至少有一名女生包括3种情况，、有1名女生、2名男生，有C31C42种情况，、有2名女生、1名男生，有C32C41种情况，、3名全是女生，有C33种情况，则至少有一名女生的不同选法共有种；（3）由（1）可得，从7人中选出3人的情况有C73种，选出的3人都是男生的情况有C43种，选出的3人是女生的情况有C33种，则选出的3人中，男、女生都要有的不同的选法共有种19已知数列an中，a1=，an=（n2，nN+）（）求a2，a3，

20、a4的值，并猜想数列an的通项公式an（）用数学归纳法证明你猜想的结论【考点】数学归纳法；归纳推理【分析】（）由题意a1=，an=（代入计算，可求a2、a3、a4值，并根据规律猜想出数列an的通项公式；（）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【解答】解：（）a1=，an=，a2=，a3=，a4=，猜想：an=，（）：当n=1时，猜想成立，假设n=k（kN*）时猜想成立，即ak=那么n=k+1时，ak+1=当n=k+1时猜想仍成立根据，可以断定猜想对任意的nN*都成立20PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与P

21、M2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758PM2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879（1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（保留2位小数）（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？参考公式： =， =【考点】独立性检验的应用【分析】（1）利用描点法可得数据的散点图；（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；（3）根据（2）的性回归方

22、程，代入x=25求出PM2.5的浓度【解答】解：（1）散点图如图所示（2），=64， =50，故y关于x的线性回归方程是： 8（3）当x=2.5时，y=1.2825+4.88=36.8837所以可以预测此时PM2.5的浓度约为3721为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名学生的成绩，记获优秀成绩的总人数为X，求X的分布列【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图【分析】（1）由茎叶图知甲班样本的5个数据中优秀成绩有2个，非优秀成绩有3个，由此能求出从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只有一个优秀成绩的概率（2）由茎叶图知甲班样本的5个数据中优秀成绩有2个，非优秀