三角函数基本性质及基本运用

1、三角函数一、三角函数的基本概念1 .角的概念的推广（1）角的分类：正角（逆转）负角（顺转）零角（不转）终边相同角： k 3600（k z）（3）直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角.2 .角的度量（1）角度制与弧度制的概念180（2）换算关系：180（弧度）1弧度 （）57 18一.一一 c 1 i 12（3）弧长公式：1r扇形面积公式：s -lr - r22yrsincsc一ryxrcos一sec一rxyxtan-cot一xyp(x,yk7二0x3.任意角的三角函数注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦” 二、同角三角函数的关系式及诱导公式sin oc 和 csc a+0ta

2、n a 和 c(+ a全+一 x+cos a 和 sec a-可编辑修改-7-,tan 5;sin52cos2（二）同角三角函数的基本关1 tan212 cos12 cos1tan2tancot1 ； sin csc1;cossec（三）关于公式sin22 cos1的深化等。系式：平方关系sin22cos1 ;sincos商式关系tan:cot 倒数关系cossin1。（一）诱导公式：函数2223232sin-sincostank - （k z）与 的三角函数关系是“奇变偶不变，符号看象限”。如2. . . 2 - 一 _ sin 一cos 21 sin sin cos ； 、：1 sin s

3、in cos ；、：1 sin如：ji sin8 sin 4 cos4 sin4 cos4； ，1 sin 8 sin 4 cos4注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为090角的三角函数。2、主要用途：a） 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（要注意题设中角的范围，用三角函数的定义求解会更方便）；b） 化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式。三、两角和与差的三角函数 （一）两角和与差公式sinsin cos cos sincoscos cos sin sintantan tan1 tan tan（二）倍角公式1、公式sin 22sin cos2 1 cos2cos

4、 2 a=221 cos2sin2 a=2cos22cos2sin2 cos21 1 2sin2tan22 tan22tantan 2sin1 cos1 cossinasinbcosa a2b2 sin()(cos,sin b2注：（1）对公式会“正用”，“逆用”，“变形使用”。（2）掌握“角的演变”规律（3）将公式和其它知识衔接起 来使用。（4）倍角公式揭示了具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律，可实现函数式的降嘉的变化。2、两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：（1）求值“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。 仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除

5、非特殊角“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论（2）化简化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号化简三种基本类型：根式形式的三角函数式化简、多项式形式的三角函数式化简、分式形式的三角函数式化简化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化

6、切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。（3）证明化繁为简法左右归一法变更命题法条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的 区别与联系。无论是化简还是证明都要注意：（1）角度的特点（2）函数名的特点（3）化切为弦是常用手段（4）升降募公式的灵活应用 四、三角函数的性质y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图象0vcv1-ja f廿得v,定义域x rx rx，k 无+ 一(k e z) 2x，k mk & z)值域ye -1,1ye 1,1y ry r奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在区间2k无,2k无+ 上都是增函数在区间2k无+ ,2k无+ -上都是减函数2在区间2k

7、无-2k同上都 是增函数在区间2k无，2k无+无上 都是减函数在每一个开区间（k 花, k 冗+）内都是增函数在每一个开区间（k冗,k冗+冗）内都是减函数周期t=2无t=2无t=无t=无对称轴x k2x k无无对称 中心k ,0k ,0 2口口五、已知三角函数值求角1、反三角概念：(1)若 sinx=a a 1, x ,一 贝u x=arcsina ,说明：a0 , arcsina 为锐角； a=0,arcsina=0; a0 , arccosa 为锐角;a=0,arccosa=90 0; a0 , arctana 为锐角; a=0,arctana=0;a260 0 ,而 arctan(-3)

8、=-arctan3.而 sin(arcsin 一)不存在。32、反三角关系：(1) arcsin(-x)=-arcsinax;arctan(-x)=arctanx;arcos(-x)= -arccosx由此可知：y arcsin x, y arctan x是匠函数，而 y arccosx非奇非偶(2) arcsinx+arccosx= 23、x 0,2 时求角x :x 0,2sinx=a1a 10 a 11 a 0xiarcsin ax2arcsin axiarcsin ax22 arcsinacosx a al 1x1 arccosa; x22 arccosatanx aa ra 0a 0xi arctanax2arctanaxiarctanax22 arctana六、三角函数的最值(1)配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数一 2 2y sin x sinx 1的最值，可转化为求函数 y t t 1,t1,1上的最值问题。(3) 化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：asinx bcox a a2 b2 sin(x )(4)