函数的单调性与极值经典例题复习训练

1、函数的单调性与极值练习、选择题1.函数 f(x) x3 3x (|x|1)a.有最大值，但无最小值c .无最大值，也无最小值b .有最大值，也有最小值d .无最大值，但有最小值2.函数f (x) x3 a x b在区间(一1, 1)上为减函数,1, +)上为增函数,b 3d. a 3, b r)。a. a 1, b 1 b. a 1, b r c.3.函数12. 心乂、上 、，-x inx的单倜减区间为2a.(01) b . (0, 1) u (8,1) c. (0,i)1,+ ) d. (0, +0)4.函数-的单调增区间为 3x 2a.i)1,2)1)u( 1, 72)d.i)尬)5.二、

2、填空题6.已知a0,函数f(x)x3a x 在1+ 8 )上是单调减函数，则 a的最大值7.设 f (x)(x1)(x 2)(x 3),则方程 f(x) 0的实数根的个数是8.求函数f (x)三、解答题1x 的极值。x函数的单调性与极值类型一导数与函数的单调性一、选择题1 .函数y x x3的单调增区间是。32 .右二次函数 y a x x在区间(一8, +oo)内是减函数，则a的取值氾围。3 .函数y xln x在区间(0, 1)上的增减性是。二、填空题4 .若函数f(x) x3 bx2 cx d的单调递减区间为1,2,则b , c 。35 .若函数f(x) ax x恰有三个单调区间，则 a

3、的取值范围是。2 .26 .设f (x) x 一(x 0),则f(x)的单调增区间为。 x7 .求函数y x2 lnx2的单调区间。类型二、函数的极值一、选择题一、.，11 .函数f(x) -(ex ex)的极小值点是。2 .函数y sin(x )在区间,上的极大值点为。33 .函数y 1 3x x的极大与极小值。二、填空题4 .函数y x3 x2 x 1在区间2, 1上的最小值为。5 .若函数f(x) x3 a x在r上有两个极值点，则实数a的取值范围是。6 .函数f(x) sin x cosx在，一上的最大值为,最小值为。227.已知函数f(x) a x3 b x2 3x 2在x1处取得极

4、值，讨论 f( 1 )和(1 )是函数f(x)的极大值还是极小值。函数的单调性与极值专题1. 利用导数判断函数的单调性( 1 )函数单调性与其导函数的正、负关系在区间 (a， b) 内， 若 f(x)0 ， 则函数 y=f(x) 在区间 (a， b) 内单调递增. 若 f (x)0 ，则函数y=f (x)在区间(a, b)内单调递减，若f x 0,则函数y=f (x)是常函数，在 区间(a, b)内不具有单调性.( 2 )导数与函数图像的关系若函数在某一区间( a， b )内的导数绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数图像比较“陡峭”(向上或向下) ，反之，函数图像就“平缓”一些.2.

5、求可导函数单调区间的一般步骤与方法( 1)确定函数y=f ( x )的定义域(2)求f (x),令f (x) 0,解此方程，求其在定义域内的一切实根.(3)把函数y=f (x)的间断点的横坐标及上面求出的各实根按由小到大的顺序排列， 然后用这些点把函数 f (x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f(x)在各个小区间的符号，判定函数y=f (x)在每个相应小开区间的单调性.3. 函数极值的概念已知函数 y=f ( x ) ，设 x0 是定义域内任意一点，若对x0 附近所有的点 x ，都有f(x)f(x0),则称函数y=f (x)在x0处取极大值，即y极大 f(x0), x0称为函数的一个极

6、大值点.反之若f(x) f(x0),则函数y f(x)在x0处取得极小值，即y极小f(x0),x0 称为函数的一个极小值点.注意： ( 1 ) 函数极值是局部性概念， 极值点是定义域内的点， 而定义域的端点绝不是极 值点 .(2)若函数y=f (x)在a , b内有极值，则函数y f (x)在区间a , b内一定不是单 调函数，即给定区间上的单调函数无极值.(3)当函数y f (x)在区间a , b内连续且有有限个极值点时，函数 y f(x)在区间 a ， b 内的极大值点与极小值点是交替出现的 .4. 求函数 y=f ( x )极值的方法( 1)求导数f x .( 2)求方程f x =0 的

7、所有实数根.( 3)考察x0附近的每一个根(从左到右)，导函数f (x)的符号变化，若f (x)的符号由正变负，则f(x0) 是极大值，若 f (x) 的符号由负变正，则 f (x0) 是极小值 .注意：可导点不一定是极值点，如f(x) x3, f(0) 0,则x=0不是极值点.故导数为零的点是该点为极值点的必要条件.不可导点可能是极值点， 如 f (x) | x | ， 在 x=0 处不可导， 但 x=0 是函数的极小值点 .【典型例题】考点一：判断函数在给定区间上的单调性例1、已知函数f (x) x -,(x 0), x(1)当a 0时，函数在区间(，0)及(0,)上的单调性如何?(2)当

8、a0时，判断函数在区间(0,丁5)及(ji,0)上的单调性.132例2、已知函数f(x) -x3 x2 ax(a r),讨论函数的的单调性。3考点二：求函数的单调区间例3、求函数f (x) 3x2 21nx的单调区间考点三：求函数的极值及其综合应用2 x例4、求函数f (x) x e 的极值x(,0)0(0, 2)2(2, + )f (x)一0+0一f(x)极小值0极大值4e 2例5、已知函数f (x) =x3+bx2+cx+2在x= 2和x=处取得极值.3(1) 确定函数f(x)的解析式(2) 求函数f(x)的单调区间；(3)作出函数f(x)的大致图像.a 3 ，例6、已知函数f(x) x

9、- x (a 1)x 1,其中a为实数， 32(1)已知函数f (x)在x=1处取得极值，求 a的值(2)已知不等式f(x) x2 x a 1对任意的a (0,)都成立，求x的取值范围考点四：求函数的最值一 ，一，。 o2 .例7、求函数y x3 2x2 x 3,x ,1的值域。3例8、证明：ex 1 x同步练习：1、设 x=1 ， x=2 是函数 f (x) x5 ax3 bx 1 的两个极值点( 1)求 a， b 的值 . ( 2)求 f ( x )的单调区间.2.讨论函数f(x)alnx x2 (a 2)x(a r)的单调性与极值。3、设函数f (x) = sin xcos x + x+ 1,0x2k ,求函数f(x)的单调区间.变式 1. 求函数 f (x) 的极值 .变式 2. 作出函数 f (x) 的草图 .变式 3. 设函数 f (x) sin x cosx x a ， x 0,2 有且仅有两个零点， 求实数 a 的值 .变式 4. 设方程 sinx cosx x a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围 .4