分式和一元二次方程考点例讲和习题训练

1、2.2分式方程和一元二次方程【教学目标】1 .了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来2 .会解可化为一元一次方程(或一元二次方程)的分式方程，体验转化的数学思想；了解增根的概念，会进行 分式方程的验根.3 .能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.【重点难点】重点：解可化为一元一次方程(或一元二次方程)的分式方程的一般步骤与方法难点：根据实际问题中的数量关系，列出分式方程，并检验解的合理性考点聚集考点1 一元二次方程的概念及一般形式1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式方程；2) 一般形式：ax2+bx

2、+c=0 (aw0)考点2 一元二次方程的解法：1)直接开平方法：它适合于(x a)2 = (cx d)2形式的方程；2)因式分解法：它最常用的方法主要运用提公因式法，平方差公式，完全平方公式和二次三项式x2 +(p+q) x+pq型因式分解；3)公式法：它是一种“万能”的公式，一定要先把方程整理成一般形式；方程ax2+bx+c=0,且b2-4ac方0在因式分解不能奏效时，往往用公式法，使用公式法时，则不,2 =b b2 4ac2a4)配方法：这是一种重要数学方法，也是一种“万能”的方法，若没有特别的规定一般不用来解方程；配方法解方程的步骤：化方程项系数为 1 一把常数项移到方程的另一边一在方

3、程两边加上一次项系数一半的平方一把方程整理成(x a)2 =b的形式一运用直接开平方法解方程。考点3 一元二次方程的应用:1)增长率中的等量关系：增长率=增量+基础量； 设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1 m)n=b,当m为平均下降率时a(1 m)n=b；2)利率中的等量关系：本息和二本金+利息；利息二本金x利率x期数；利息税总额=利息总额x利息税率;3)利润中的等量关系：毛利润二售出价-进货价；纯利润=售出价-进货价-其他费用;利润率=利润+进货价。考点4 一元二次方程的根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(aw 0)的根的判别式= b2 4ac当

4、40时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根。考点5 一元二次方程的根与系数的关系：1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的两个根是xi, x2,那么x1 x2 b, x1x2 - aa2)如果方程x2+px+q=0的两个根是xi, x2,那么xi+x2=p,xix2=q 3)以xi, x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2 (xi + x2)x + xix2=0 ；考点6 分式方程：i)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；2)使方程的分母等于零的根：在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0,

5、因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为0;3)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，即分式方程一整式方程。考点7分式方程的常用解法：直接去分母法，方程两边同乘各分式的公分母，约去分母，化为整式方程，再求根、验根。考点8列分式方程解应用题的注意事项：列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是 否为原方程的根，又要检验是否符合题意。【考点例解】例i如果关于x的分式方程i a无解，那么a的值是()x 3 x 3a. i b. -i c. 3 d. -3.分析：本题主要考查分式方程的增根概念.需要注意的是：分式方程的增根应该满足

6、变形后的整式方程，但不满足原分式方程.解答：a.xi例2解分式方程：-i -2.x 2 x 4分析：本题主要考查分式方程的解法.在解答时，应按照解分式方程的一般步骤进行，并注意验根解答：去分母，得 x x 2 x 2 x 2 i去括号，得x2 2x x2 4 i移项，合并同类项，得2x 3方程两边同时除以2,得x 323经检验，x 3是原方程的解.2例3某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司经调查发现：乙工程队单独完成工程所需的时间是甲工程队单独完成工程所需时间的2倍，；甲、乙两队合作完成工程需要20天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为 550元.

7、根据以上信息，从节约资金的角度考虑，该公司应选择哪个工程队来承包这个项目？公司应付出的费用为多少元？分析：本题考查了列分式方程解应用题 .解答本题的关键是根据题意求出甲、乙两队单独完成工程所需的时间，进 而求出各自的总费用.解答：设甲队单独完成工程需要 x天，则乙队单独完成工程需要 2x天.根据题意，得1120 - -1解得 x 30x 2x经检验，x 30是原方程的解，且 x 30和2x 60都符合题意.应付甲工程队的费用为：30 1000 30000 （元），应付乙工程队的费用为：30 2 550 33000 （元）. 30000 33000,该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为3000

8、0元.答：该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元.【考题选粹】1. （2007 青岛）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路.为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%结果提前8小时完成任务.若设原计划每小时修路 x米，则根据题意可得方程.2. （2007 怀化）解方程:5x 23-2zx x x 1一元二次方程【教学目标】1 .理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式2 .理解配方法，会用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公 式.3 .能用一元二次方程解决实际问题，能

9、根据具体问题的实际意义检验结果的合理性【重点难点】重点：用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程难点：配方法，列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性【考点例解】 例1 （1）下列方程中，肯定是一元二次方程的是（a. ax2bx c 0 b.3x2 2x 1 mx2122c. x 1d.a 1 x 2x 3 0x（2）已知x 1是一元二次方程x2 2mx 1 。的一个解，则m的值是（）a. 1 b. 0 c. 0或 1 d. 0或-1.（3） 一元二次方程x2 2x 1 0的根的情况是（）a.有两个相等的实数根b.有两个不相等的实数根c.只有一个实数根d.没有实数根分析：本题

10、主要考查一元二次方程的有关概念和性质，其中第（1）小题考查一元二次方程的概念，第（ 2）小题考查一元二次方程的解的意义，第（3）小题考查一元二次方程的根的判别式.在一元二次方程ax2 bx c 0 a 0中，当b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根；当 b2 4ac 0时，方程没有实数根.解答：（1） d;（2） a;（3） a.例2解下列方程：（1） x2 3 3 x 1；（2） 2x2 2x 1 0.分析：本题主要考查一元二次方程的解法，其中第（1）小题可选用因式分解法，第（2）小题应该选用公式法.2解答：（1）原万程可化为：x 3x 0

11、将方程左边因式分解，得 x x 30x 0 或 x 3 0由x 3 0得 x 3原方程的解是x1 0, x2 3.（2）这里 a 2, b 2, c 1b2 4ac 22 4 2112 0b . b2 4ac 2122 2.3x 2a2 242 2 3. 3 12 2 3. 3 1x1 , x2 .4242例3某商场将进价为30元的台灯以40元的价格出售，平均每月能销售600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少 10台.如果该商场想实现每月 10000元的销售利润，那么这种台灯的售价应定为多少元？这时商场应进台灯多少台？分析：本题考查了列一元二次方程解应用题.在降价销售问题中

12、，利润=（现售价进价）x原销量+ （原售价现售价）/单位涨价x变化销量.、，40 x ， l解答：设这种台灯的售价为 x元，则现在的销量为（ 10）台.根据题意，得140 xx 30 600 10100001整理，得 x2 130x 400 0 解得 x1 50, x2 80 .答：这种台灯的售价应定为 50元或80元.当售价定为50元时，应进500台；当售价定为80元时，应进200台.【考题选粹】1. （2007 巴中）三角形的一边长为10,另两边长是方程 x2 14x 48 0的两个实数根，那么这个三角形是三角形.2. （2007 绵阳）已知x1, x2是关于x的方程x 2 x m p 2

13、pm的两实根.（1）试求x , x2的值（用含m , p的代数式表示）；m , p满足什么条件时，这个直角三角形的面积（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问：当实数最大？并求出其最大值【自我检测】 一、填空题：（每题3分，共36分）1、当a 时，方程 （a1） x2 + x2=0是一元二次方程。2、方程 2x （1 + x） = 3的一般形式为。3、当x的时，分式 =1的值等于2x + 254、方程 2x2=32的解为。5、方程 2 2 _ 1 = l_的解为。1 - x 1 + x6、方程 x2 5x6=0可分解成 与 两4一元一次方程。7、已知 m是方程x2x2。3 = 0的一

14、个根，则 m2m的8、2x2+4x + 10=2 （x+）2的。9、以 一2和3为根的一元二次方程为 （写出一个即可）10、如果方程x2-3x + m=0的一根为1,那么方程的另一根为11、如果方程 子马-1 = 7m-有增根，那么 m的。12,若四周未铺地毯的留x22x12、长20m、宽15m的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的空宽度相同，则留空的宽度为12345、6135四12二、选择题：（每题4分，共24分）卜列方程中是一元二次方程的是（）当 k2=1 时，m=2，m=0或=2a、x+3=5b、xy=3c、x2+-=0d、2x2-1=0x、若关于x的方程=1无解,则a的值等

15、于（）a、0b、1c、2d、4、方程 2x （x 2）=3 （x-2）的根是（a、3 x=eb、x= 2c、xi=k，x2=2 d、x=22、把方程 x2+3=4x配方得（）a、（x 2）2=7b、（x 2）2=1c、(x + 2)2= 1 d、(x+2)2=2某车间原计划 x天内生产零件任务，则可列出的方程为（50个，由于采用新技术，每天多生产零件5个，因此提前3天完成5050-= x 3 x50505050-x-= x 3 5c、- 3 = -x- d、50 50xx 3、把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中高度当h = 20时，小球的运动时间为（）a、20sb、2sc、（2

16、2 + 2） sh (m)与时间t (s)满足关系:d、(2/2 2) sh=20t-5t2,、解下列方程：（每题6分，共36分）、x (x +5)=242、2x2= (2 + 4 3) x4、 4 (x-1)2=(x+1)2立=7xx- 2-1= jx1 x 1、解答题：（每题8分，共32分）、解关于x的方程ax a = 1 + x （awb）b解、axa=b+bxax bx=a+b （a b） x = a+ b. aw ba+ b a b、方程 x2 + 3x+m=0的一个根是另一根的2倍，求 m的值。及谈、设两根为k、 2k,则-k2+ 3k + m = 0 14k2+ 6k+ m =

17、0解得 k1= 0, k2=- 1当 k1 = 0 时，m = 03、电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件, 它们都具有电阻。如图所示，当两个电阻 r1、r2并联时,总电阻满足 != i ,若r1 = 4, r2=6,求总电阻 ror r1 r2解.1=1+1=2- + 工川午, r 4612124、电力局的维修工要到 30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走,15分钟后，抢修车装载所需的材料出发，结果他们同时到达，已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度。解：设摩托车的速度为x千米/时至=喘蔡x = 40检验：1.5x=60五、如图，矩形 abcd中，ab =

18、6cm, bc=12cm,点p从 a开始沿ab 从点b开始沿bc边向点c以2厘米/秒的速度移动，如果 p、q分别是从 pbq的面积等于8平方厘米？五边形apqcd的面积最小？最小值是多少？边向点b以1厘米/秒的速度移动，点 q a、b同时出发，求经过几秒时，2秒或4秒 3秒时，面积最小，最小值为 63cm2六、（12分）小明的爸爸下岗后一直谋职业，做起了经营水果的生意，一天他先去批发市场，用一u-的0元购甲种水果,用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发附千克高0.50 元,然后到零售市场，都按每千克2.80元零售，结果，乙种水果很快售完，甲种水果售

19、出乡时，出现滞销,5售价的5折售完剩余的水果。请你帮小明的爸爸算一算这一天卖水果是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素） 若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？解：设甲种水果批发价为 x元/千克，则乙种水果的批发价为 （x+0.5）元/千克由题意，他又按原零100 , “1502信m+10=xtk5x -4.5x+5=0- x1=2.5x2=2经检验：都是原方程的根但x=2.5时，乙种水果的批发价 2.5+0.5= 3元，高于零售价,不含题意舍去100411.甲：2.8x t* （4+?xi）- 100= 2.8x 45t00= 26150_ _ 一 一乙-50-x2.8- 150=18 x+ 0.526+ 18= 44（元）七.已知：如图11,在矩形abcd中，e,f分别是边bc,ab上的点，且ef =（1）求证：ae平分/ bad. （4分）（2）若ab = 4, ad = 7, ae与df相交于点o,求4doe的面积.（4分）证明：（1）在矩形 abcd中/ fed=90 / aeb+ / ced=90 . / cde+ z ced=90 ./ cde= zaeb /b=/c=90 , ef=de . bef= / cde.cd=beab=cd.ab=be6、x-6=0x