电磁场与电磁波(第2章)

1、1. 1. 电场力、磁场力、洛伦兹力电场力、磁场力、洛伦兹力 4. 4. 微分形式的麦克斯韦方程微分形式的麦克斯韦方程 重点重点： 第第2 2章章 电场、磁场与麦克斯韦方程电场、磁场与麦克斯韦方程 3. 3. 麦克斯韦方程的导出及意义麦克斯韦方程的导出及意义 2.2. 电磁场中的三种电流以及电流连续性原理电磁场中的三种电流以及电流连续性原理 7. 7. 电磁场的能量与坡印廷矢量电磁场的能量与坡印廷矢量 5. 5. 积分形式的麦克斯韦方程积分形式的麦克斯韦方程 6. 6. 时谐形式的麦克斯韦方程时谐形式的麦克斯韦方程 2.1 电场力、磁场力与洛伦兹力电场力、磁场力与洛伦兹力 1. 1. 电场力电

2、场力 库仑定律库仑定律 1 2 0 1 ()() 4 E qqR F RR 适用条件适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; ; 无限大真空情况无限大真空情况 ( (式中式中 12 9 1085. 8 36 10 0F/m)F/m) 可推广到无限大各向同性均匀介质中可推广到无限大各向同性均匀介质中 )( 0 结论：电场力符合矢量叠加原理结论：电场力符合矢量叠加原理 当真空中引入第三个点电荷当真空中引入第三个点电荷 时，试问时，试问 与与 相互间的相互间的 作用力改变吗作用力改变吗? ? 为什么？为什么？ 3 q 1 q 2 q 库仑定律还可以换一

3、种方式来阐述：库仑定律还可以换一种方式来阐述： 假定电荷假定电荷q=1C，于是电场力，于是电场力 即为即为q1对单位电荷的作用对单位电荷的作用 力力,我们将这个特定大小的电场力我们将这个特定大小的电场力 称为电场强度矢量称为电场强度矢量 E F E F E 1 2 0 1 4 qR E RR 由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对 静止的电荷之间的作用力，所以静止的电荷之间的作用力，所以电场强度电场强度表示表示 了电场力。了电场力。 结论结论 2. 2. 磁场力磁场力 当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线

4、，会 发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷 即电流之间的作用力，我们称其为磁场力即电流之间的作用力，我们称其为磁场力 。 假定一个电荷假定一个电荷q以速度以速度 在磁场中运动，则它所受在磁场中运动，则它所受 到磁场力为到磁场力为 v B FqvB 这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以 用一个磁感应强度用一个磁感应强度 来描述。来描述。 B 3.3.洛伦兹力洛伦兹力 当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用 时，我们称这样的合力为洛伦

5、兹力。时，我们称这样的合力为洛伦兹力。 FqEqvB 我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的 定义式。定义式。 即即 2.2 由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程 定义定义 穿过一个单位有向面积穿过一个单位有向面积dS的力线的条数为的力线的条数为 电通密度电通密度(electric flux density)，用，用 表示。表示。 D 在自由空间中，穿过有向面积在自由空间中，穿过有向面积S的电通量为的电通量为 E s D dSq 根据高斯定律根据高斯定律 s VV D dSDdVQqdV 可得麦克斯韦

6、可得麦克斯韦第一方程第一方程 ：D 0 /E 或或 4 32 3 00 4 9 Udx 2.3 由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第二方程导出麦克斯韦第二方程 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 m d e dt 可得麦克斯韦第二方程可得麦克斯韦第二方程 ： B E t 感应电动势感应电动势 l eE dl 闭合路径所包围的磁通闭合路径所包围的磁通 m s B dS 根据斯托克斯定律根据斯托克斯定律 () l ss B E dlE dSdS t 2.4 由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程 磁通连续性原理

7、磁通连续性原理 0 s B dS 可得麦克斯韦第三方程可得麦克斯韦第三方程 ： 0B 穿过开表面积穿过开表面积S S的磁通的磁通 m s B dS 根据高斯定律根据高斯定律 0 sV B dSBdV 1. 1. 传导电流、运流电流和位移电流传导电流、运流电流和位移电流 此式说明传导电流密度服从于欧姆定律此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohms law)，并且，并且 传导电流为传导电流为 自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成 传导电流传导电流 2.5 由安培环路定律与斯托克斯定律由安培环路定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第四方程导出麦克斯韦第四方程 传

8、导电流的电流密度传导电流的电流密度 与电场强度与电场强度 的关系为：的关系为： c J E c JE cc s iJ ds 形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用，形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用， 即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微，即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微， 可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。 电荷在无阻力空间作有规则运动而形成电荷在无阻力空间作有规则运动而形成 运流电流运流电流 vv s iJ ds 假设存在一个电荷体密度为假设存在一个电荷体密度为 的区域，在电场作用下，电的

9、区域，在电场作用下，电 荷以平均速度荷以平均速度 运动，则运动电荷垂直穿过面积运动，则运动电荷垂直穿过面积S 的运流的运流 电流为电流为 v v v di Jv ds 式中运流电流密度为式中运流电流密度为 通常，传导电流与运流电流并不同时存在。通常，传导电流与运流电流并不同时存在。 则穿过闭合面则穿过闭合面S的位移电流为：的位移电流为： 电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成 位移电流位移电流 作一个闭合面作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定，根据高斯定 律可知律可知 s qD dS dd ss dqD idSJ

10、dS dtt 式中式中位移电流密度位移电流密度 0d DE J tt 73 2.32 10 Cm 2.2.电流连续性原理电流连续性原理 麦克斯韦假设，麦克斯韦假设， S S面内自由电量面内自由电量q q的增长应与穿出的位移电流的增长应与穿出的位移电流 相一致，并且若指定穿出相一致，并且若指定穿出S S面的电流为正，则面的电流为正，则 在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则，则 穿入的传导电流和运流电流应等于穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量面内自由电量q的增加率的增加率 ，即，即 cv dq ii dt () cvd sss D J

11、dSJdSidS t 于是可得于是可得()0 cvd s JJJdS 此式称为电流连续性原理此式称为电流连续性原理 即即 0 cvd iii 电流连续性原理表明：在时电流连续性原理表明：在时 变场中，在传导电流中断处变场中，在传导电流中断处 必有运流电流或位移电流接必有运流电流或位移电流接 续。续。 0cvd E JJJJEv t 其中其中称为全电流密度称为全电流密度 通常，又将通常，又将电流连续性原理称为电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭全电流定律，该定理揭 示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。 它与变化的磁场激发电场形

12、成自然界的一个对偶关系。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。 麦克斯韦由此预言电磁波的。麦克斯韦由此预言电磁波的。 0 s J dS 或或 解：解： 忽略极板的边缘效应和感应电场忽略极板的边缘效应和感应电场 d ) t ( u ED, d u E 位移电流密度位移电流密度 位移电流位移电流 ) dt du ( dt D JD C S DD i dt du C) dt du ( d S dSJi 例例: : 已知平板电容器的面积为已知平板电容器的面积为 S S , , 相距为相距为 d d , , 介质的介介质的介 电常数电常数 , ,极板间电压为极板间电压为 u(t)u(t)。试求

13、位移电流试求位移电流 i iD D； ；传导电 传导电 流流 i iC C与与 i iD D 的关系是什么的关系是什么? ? 电场电场 传导电流与位移电流传导电流与位移电流 3.3.磁场强度与安培环路定律磁场强度与安培环路定律 静电场的环流为零静电场的环流为零0 l E dl 稳恒磁场的环流如何呢？稳恒磁场的环流如何呢？ ? l B dl 说明静电场是保守场；说明静电场是保守场； 对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的通量和对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的通量和 环流。环流。 对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。 安培环路定理安培环路定理

14、与环路成右旋关系的电流取正与环路成右旋关系的电流取正。 0 i i l B dlI 內內 在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 沿任意闭沿任意闭 合曲线的线积分（也称合曲线的线积分（也称 的环流）的环流）, , 等于穿过该闭合曲线的等于穿过该闭合曲线的 所有电流强度所有电流强度 （即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流 强度）的代数和的强度）的代数和的0 0倍。倍。 B B I 磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一上一 点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。

15、点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋 场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。 讨论讨论0 i i B dlI 內內 当电流呈体分布时当电流呈体分布时 0 S B dlJ dS 定义自由空间用磁场强度定义自由空间用磁场强度 表示的磁通密度为表示的磁通密度为 H 0 BH 则安培环路定律可写成则安培环路定律可写成 l HdlI i i II內 內 4.4.麦克斯韦第四方程麦克斯韦第四方程 在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电在时变场中

16、，应将安培环路定律中的电流拓广为全电 流，即流，即 () cvd ls HdlJJJds 其中其中 麦克斯韦麦克斯韦 第四方程第四方程 由斯托克斯定律得由斯托克斯定律得 () cvd lss HdlHdsJJJds cvdd HJJJJJ 即即 0 ED HJJ tt 2 0 /cBJEt 或或 2.6 微分形式的麦克斯韦方程组微分形式的麦克斯韦方程组 将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微将上面推导出的麦克斯韦方程列写在一起，就得到了微 分形式的麦克斯韦方程组分形式的麦克斯韦方程组 。 0 2 0 E/ E/ t B0 B/ t B cJE 或或 D E/ t B0 H/ t B

17、JD 0 /E 将电场与其场源将电场与其场源电荷密度电荷密度 联系了起来，实际上，它是库联系了起来，实际上，它是库 仑定律的另一种形式。仑定律的另一种形式。 第一方程第一方程 /EBt 表明了随时间变化的磁场会产表明了随时间变化的磁场会产 生电场生电场 这是法拉第电磁感这是法拉第电磁感 应定律的微分形式应定律的微分形式 。 第二方程第二方程 0B 表明了在形成磁场的源中，不表明了在形成磁场的源中，不 存在存在“点磁荷点磁荷磁力线始终磁力线始终 闭合闭合 。 第三方程第三方程 2 0 /cBJEt 表明了产生磁场的源是电流或表明了产生磁场的源是电流或 变化的电场变化的电场安培定律的另安培定律的另

18、 一种表现形式。一种表现形式。 第四方程第四方程 2.7 积分形式的麦克斯韦方程组积分形式的麦克斯韦方程组 根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯 韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。韦方程转化为积分形式的麦克斯韦方程。 D E/ t B0 H/ t B JD 转化为转化为 0 () s s s s s s D dSQ B E dldS t B dS D H dlJdS t 其中引出了三个其中引出了三个 媒质特性方程媒质特性方程 以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方以上即为麦克斯韦所总结的微分形式（包括三个媒质特性方 程

19、）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组程）与积分形式（包括三个媒质特性方程）的电磁场方程组 ，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为，又称为电磁场的完整方程组。其所以称为“完整完整”方程组方程组 ，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面，是因为方程组全面地描述了作为统一的电磁场的两个方面 电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的电场与磁场的相互关系，以及电场、磁场本身所具有的 规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。具体地说规律，和电场、磁场与其所处空间的媒质的关系。具体地说 ，第一方程表明，电场是有散度场，即电场可以由点源电荷，第一方程表明，电场是有散度场，

20、即电场可以由点源电荷 所激发；第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由所激发；第三方程表明，磁场为无散度场，即磁场不可能由 单极磁荷所激发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相单极磁荷所激发；而第二和第四方程则描述了电场与磁场相 互依存、相互制约并且相互转化。互依存、相互制约并且相互转化。 0 0 c BH DE JE 2.8 麦克斯韦方程的时谐形式麦克斯韦方程的时谐形式 时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场（时变电磁场的一种最重要的类型是时间简谐场（time time harmonic field harmonic field）, ,简称时谐场。所谓时谐场即激励源简称时谐场。所谓时谐

21、场即激励源 按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正按照单一频率随时间作正弦变化时所激发的也随时间按照正 弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所弦变化的场。在线性系统中，一个正弦变化的源在系统中所 有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对有的点都将产生随时间按照同样规律（正弦）变化的场。对 于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态于时谐场，我们可以用相量分析获得单频率（单色）的稳态 响应。响应。 0 D E B0 H iB JiE 微分形式的时谐表示微分形式的时谐表示 0 () s s s s s s Dd SQ Ed liB d S B d

22、S Hd lJiDd S 积分形式的时谐表示积分形式的时谐表示 2.9 电磁场的能量与坡印廷矢量电磁场的能量与坡印廷矢量 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律 坡印亭定理，坡印亭定理，坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量 。 由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方由麦克斯韦方程组可以导出电磁场能量的守恒方程，该方 程中包含了这样一项，它可以用电磁场中任何一点处的程中包含了这样一项，它可以用电磁场中任何一点处的能量流能量流 动速率动速率来表示。来表示。 0 2 0 E/ E/ t B0 B/ t B cJE （1） （2） （3） （4） 麦克斯韦方程组如下麦克斯韦方程组如下 两式相减，可得两式相减，可得 2222 0 0 () 2 cEBE JEc B t 此式称为此式称为 坡印廷定理坡印廷定理 2 0 Sc EBEH 式中，令式中，令称其为坡印廷矢量