北师大版初二数学下册利用平方差公式进行分解因式

1、运用公式法 ( 第一课时 )范润仙教学目标1 、经历平方差公式的产生过程，会用公式 a2 b2=( a b)( a b )分解因式。2、认识 a2 b2= (a+ b) ( a b)与(a+ b) ( a b) =a2 b2 之间的区别联系。了解因式分解的思考步骤。3 、 体 验换元思想，培养学生观察、分析和解决问题能力。4、体会用符号表示公式的意义，形成初步的符号感。重点难点分析重点：掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式。难点：例 1 第( 4)题和本节的“合作学习”的因式分解和化简过程较为复杂，以及把多项式 转换到能用平方差公式分解因式的模式，综合运用多种方法因式分解，是本节的难点。学

2、情分析：这节课学生已掌握了整式乘法储备知识的基础上，用类逆运算的方法让学生接受此概念不难。但让学生把多项式转换到能用平方差公式分解因式的模式，综合运用多种方法因式 分解，其方法及必要性对学生来说均有些难度。教学准备每两名学生准备一张正方形纸板和画图工具教学过程 一、创设问题情景，引导学生观察、设想、引出课题1 、填空： 25m2= ( ) 2 ； 9/16c2= ( ) 2 ； 16( m+n= ( ) 22( 1) 看谁算得快：20122 20112=(2) 若 n 是整数 你能说明 ( 2n+1)2-(2n-1)2 是 8 的倍数的理由吗？(3) 1993-199 能被 200 整除吗 ?

3、还能被哪些整数整除?二、合作交流，探索新知 师 下面我们来做一个游戏，如图：在边长为 a 的大正方形的一角剪去一个边长为 b 的小正方形。(1) 图中的阴影部分面积是? 答： a2b2(2) 你能否将阴影部分拼成一个完整的长方形图案吗？你拼出的长方形的面积是 ?答： ( a b)( a b)你能从这个游戏中得出什么结论呢？ a2b2=(a b)( a b)点评： 通过探究两个图形的变换而面积不变，从而引出公式，这是根据初二学生年龄特点， 采用图形 变化来激发学生学习兴趣。 师 ：我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此呢？运用整式乘法与因式分解的这种关系， 可以得到因式分解的方法。如果把乘法公式

4、反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种 分解因式的方法叫做运用公式法，提问：公式 (a+ b) ( a b) =a2- b2 有什么作用？公式是多项式乘法的特殊形式，能简化计算。 ( 学生能说出最好，若有困难，教师点拨)( a + b) ( ab) =a2- b2 反过来就是因式分解， a2- b2= ( a+ b) ( ab)这就是说：两数的平方差等于两数的和与两数差的积。 师 ：运用这个公式可以把形式是平方差的多项式分解因式，我们来看一个例子如：x2-16= x 2- 42= (x+ 4) (x- 4)9m2-4m2=(3m)2-(2m)2=(3m+2m)(3m -2m) 教师指出本

5、课时就应用平方差公式因式分解。从而提出课题。例 1 、 把下列各式分解因式(1)1-25b2 (2)x2y2 -z2 (3)m2-0.01n2点评： 问题是知识能力生长点，通过富有实际意义的问题，激发学生原有认知，促使学生主 动地进行探索和思考。 三、整理新知，形成结构1、下列各式能用平方差公式a2- b2= (a+ b) ( a- b)分解因式吗？ a、b分别表示什么？把下列各式分解因式 ( 1) m2- 9 能，分解为： (m+3)(m-3)( 4) 4x2+ y2 ( 4) 能，分解为 ( y+2x)(y-2x)( 5) 64x2 -(- y) 2 (5) 能，分解为： (8x+y)(8

6、x-y)( 6)- 4x2- y2( 6)不能分解 (7)a2 +a+1 不能分解 a2、比一比，谁反应快： 1 .选择题：1) 下列各式能用平方差公式分解因式的是()a.4x2+y2 b. 4 x- (-y)2 c. -4 x2-y2 d. - x2+ y22) -4a2+1 分解因式的结果应是( )a.-(4a+1)(4a-1) b. - ( 2a - 1)(2a - 1)c.-(2a +1)(2a+1) d. -(2a+1) (2a-1)3) )64a?-b2 因式分解为 ( ).(a) (64a?-b)(a?+b);(b) (16a?-b)(4a?+b);(c) (8a2-b)(8a2

7、+b);(d) (8a?-b)(8a?+b).点评： 设计说明：通过以上几题训练，使学生能进一步理解能用平方差公式分解多项式的特 点是-运用平方差公式分解的多项式是二项式，这两项必须是完全平方式，且这两项的符号相 反。以上几题采用抢答形式并做比赛四、组织探索 ,延伸提高a 、 b 分别表示什么？让例 2 、把下列各式分解因式( 1)( x+p) 2-(x+q)2 (2) (a-b)2-9(a+b) 2 师生一起对话交流，对每一题都提问学生经历这过程后，能充分体验到 a 、 b 可以是单项式，也可以是多项式。解题反思：上述的多项式都可用平方差公式分解因式，它们有什么共同点，学生讨论、发言， 老师

8、纠正、完善：都可以转化两数的平方差，而且这两数可以是单项式，也可以是多项式。若部分学生理解有困难，不妨把两数用符号“口”和“”表示，那么公式形象地表示为:口 2a 2= (口 +) (口-)点评：教学应遵循学生的认知规律，由浅如深，循序渐进，既面向全体学生，又体现出例题的层次性 内化知识，尝试成功课内练习 : 把下列各式分解因式(1) (x+z)2-(y+z)24( a + b)2- 9(a - b)2 (由学生上台板演，教师巡视指导)例 3 、分解下列因式( 1) x?-x3 (2)x?-y?巩固练习 :(3) a? -81b? (4) 4x3y 9xy3 ( 由学生上台板演，教师巡视指导

9、)教师注意观察几个小组的活动情况，并给予适当的说明和引导，鼓励学生大胆发表自己的意见 和观点，对学生的结论作出评价。解题反思 : 对于复杂的多项式，我们应该怎么做？ 学生可能会说先应该先提取公因式，或者说把多项式转化可以采用平方差公式分解的模型。或 者说应该把多项式分解到每个因式不能再分解为止。等等，教师予以完善总结。设计说明 : 如想直接利用平方差分解因式，则思维受阻，产生认识冲突，但通过讨论，结合上面学生知识先提取公因式，然后采用公式则可解决，至于(3)题在于提醒学生一定要分解每个因式不能分解为止。 五、开放探讨，培养创新1 、创新与应用( 1) 已知： x+y =7, x-y =5, 求

10、代数式 x 2- y2-2y+2x 的值 .( 2)探索规律观察下列各式： 1x 3=3=22-1 , 2 x 4=8=321 , 3 x 5=15=42-19 x 11=99=102-1 ，你能发现什么规律，请用代数式来表示这一规律，你能用这节课的知识来说 明你的发现吗？解题分析：观察各式可知等式左边是两个差为 2 的自然数相乘, 等式右边是介于两数之间的自 然数的平方与 1 的差 , 故发现规律是： n(n+2)=(n+1 ) 2- 1 解 : 右边 =(n+1)2-1= ( n+1+1 ) (n +1-1)=n(n+2)= 左边? (n+1)2-1 =n(n+2)点评： 以上几题既可培养

11、学生探究、创新能力 , 又可让学生体验平方差公式分解因式的用处, 学以致用。 六、目标检测题：1 、下列多项式可否用平方差公式因式分解 , 如果可以应分解成什么式子？如果不可以请说明 理由：(1) 、 x2+1(2) 、 x2+y2( 3 ) 、 0.9x2 y2 (4) 9 16y2( 5) 、 4( x+y) 2+( x y) 2 ( 6) 、 x2y? 92 、用平方差公式进行简便计算:1)382-3722) 992 98x 1003 、试一试让学生编一些能用平方差公式进行因式分解的多项式 , 展示在黑板上, 并让其他同学解答、评 价4 、课本 56 页 3 题七、知识构建, 概括储存小结：你这节课有什么收获？ ( 先由学生讲, 然后教师归纳总结)1. 具有两式 ( 或 ) 两数平方差形式的多项式可运用平方差公式分解因式。2. 公式 a2- b2= (a - b)( a -+ b ) 中的字母 a ,b 可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。同时要注意“整体” “换元”思想的运用。如：整体化归思想x2y?-9= (xy2)2-32=(xy2+3)(xy2-3)3. 若多项式中有公因式，应先提取