直线、平面垂直的判定和性质

1、8.5直线、平面垂直的判定和性质考点直线、平面垂直的判定和性质1.(2014浙江,6,5分)设m,n是两条不同的直线，“，3 是两个不同的平面.()a.若 ml n,n a ,则 ml ab.若 m” 3 , 3，a ,贝u ml ac.若 ml 3 ,n，3 ,n，a ,则 ml ad.若 ml n,n，3,3，a,则 ml ac答案 c2 .(2014 课标1,19,12 分)如图，三棱柱 abc-abici中，侧面bbcc为菱形，bic的中点为。，且 aol平面 bbgc.(1)证明:b1cab;(2)若 acl ab1,/c bb=60 ,bc=1,求三棱柱 abc-abq 的高.。解

2、析连结bc,则。为b1c与bc的交点.因为侧面bbgc为菱形，所以bc bc1.又aol平面 bbgc,所以bicao,故bc平面 abo.由于ab?平面 abo,故b1cab.(2)作odl bc,垂足为 d,连zad.作ohlad,垂足为 h.由于 bclao,bcl od,故 bcl平面 aod所以 ohl bc.又ohl ad,所以 ohl平面 abc.因为/cbb=60 ,所以4cbb1为等边三角形，又bc=1,可彳# od=.由于 aclab,所以 oa=bc=.由 oh- ad=od oa且 ad=,得 oh=.又。为b1c的中点，所以点b到平面abc的距离为.故三棱柱abc-a

3、bq的高为.3 .(2014辽宁,19,12分)如图， abc和 bcd所在平面互相垂直，且 ab=bc=bd=2；abcw dbc=120 ,e,f,g 分别为 ac,dc,ad的中点.(1)求证:efl平面 bcg;(2)求三棱锥d-bcg的体积.附：锥体的体积公式 v=sh,其中s为底面面积，h为高.嘘解析 (1)证明：由已知得 ab隼adbc.因止匕ac=dc.又g为ad的中点，所以cglad.同理bglad,因此adl平面bgc. 又ef/ ad,所以efl平面bcg.(2)在平面abc内，作aol cb,交cb延长线于 o,由平面 abcl平面 bcd知aol平面 bdc.又g为a

4、d中点，因此g到平面bdc勺距离h是aol度的一半.在4aob中,ao=ab sin 60 =，所以 vd-bcg=vg-bc= - s adbc- h=x bd- bc- sin 120 =4.(2014重庆,20,12分)如图，四棱锥p-abcd中，底面是以o为中心的菱形，pol底面abcd,ab=2/ bad=,m 为 bc上一点，且 bm=.(1)证明:bcl平面pom;(2)若mplap,求四棱锥 p-abmo勺体积.士解析(1)证明：如图，连结ob,因为abcm菱形，o为菱形的中心，所以aolob.因为/ bad=,f以 ob=ab sin zoab=2sin=1,又因为 bm=m

5、/ obm女以在 obm 中,om2=oe2+bhm- 2ob- bm cos/ obm=12+-2x 1 x x cos=.所以 ob=om+bm,故 oml bm.又pol底面abcd所以pol bc.从而bc与平面po泌两条相交直线 om,pcs垂直，所以bcl平面pom.(2)由(1)可得,oa=ab- cos/oab=2 cos=.设po=a,由pol底面abcd口，4poa为直角三角形，故 p晨po+oa=a2+3.又 pom&是直角三角形，故pm=po+om=a2+.连结 am,在abm中,am2=aba+bhm-2ab- bm- cosz abm=22+-2x 2x x cos

6、=.由于mplap,故apm为直角三角形，则pa2+pm=am,即a2+3+a2+=，得2=或a=-(舍去)，即po=.此时 s 四边形 abm=saaob+som= - ao- ob+, bm. om= x 1 + x x =.所以 vp-abm= s 四边形 abmo- po= x =.5.(2014湖北,20,13分)如图，在正方体 abcd-abcd中,e,f,p,q,m,n 分别是棱ab,ad,dd,bb1,a1bi,aq 的中点.求证：直线bc/平面efpq;(2)直线 ac,平面 pqmn.*证明 (1)连结ad,由abcd-abigd是正方体,知ad / bc, 因为f,p分别是 ad,dd的中点，所以fp/ ad1.从而 bc / fp.而fp?平面efpq且bc?平面efpq, 故直线bc/平面efpq.(2)如图,连结 ac,bd,则 aclbd.由ccl平面 abcd,bd?平面 abcd可彳导cccxbd.又a6 cc=c,所