兰州大学姜孟瑞电动力学 1-5 电磁场边值关系[重要知识]

1、 麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内 部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷、部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷、 面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦 克斯韦方程组不再适用。克斯韦方程组不再适用。 因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的 场强以及界面上电荷电流的关系。场强以及界面上电荷电流的关系。 第五节第五节 电磁场边值关系电磁场边值关系 1重点辅导 边值关系是描述两侧场量与界面上电荷电流的边值关系是描述两侧场量与界面上电荷电流的 关系。由于场量跃变的原因

2、是面电荷、电流激发附关系。由于场量跃变的原因是面电荷、电流激发附 加的电磁场，而积分形式的麦氏方程可以应用于任加的电磁场，而积分形式的麦氏方程可以应用于任 意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此，意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此，在两在两 介质分界面上，应该用介质分界面上，应该用麦氏方程组的积分形式求解麦氏方程组的积分形式求解 电磁场。边值关系就是电磁场。边值关系就是两介质分界面上经过化简以两介质分界面上经过化简以 后的麦氏方程组的积分形式后的麦氏方程组的积分形式。 下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量 的跃变。的跃变。 2重点辅导 麦氏方程组

3、的积分形式为：麦氏方程组的积分形式为： (1) (2) (3) (4) 我们先从最简单的开始。在分界面上化简我们先从最简单的开始。在分界面上化简 0d SB 0d dd d d d d d d d d f S VS SL SL VQ t I t SB SD SDlH SBlE 3重点辅导 当柱体的厚度趋于零时当柱体的厚度趋于零时,对侧面对侧面 的积分趋于零的积分趋于零,对上下底面积分对上下底面积分 得得(B2nB1n) S=0 。 1. 关于磁感强度的边值关系：关于磁感强度的边值关系： 0d SB将方程将方程应用到两介质应用到两介质 2 B 1 B B2n=B1n 或矢量形式：或矢量形式：n(

4、B2- -B1)=0 此式表示界面两侧此式表示界面两侧B的法向分量连续。的法向分量连续。 由此得到：由此得到： 分界面上的一个扁平状柱体表面。分界面上的一个扁平状柱体表面。 上式左边的面积分遍及柱体的上上式左边的面积分遍及柱体的上 下底和侧面。下底和侧面。 4重点辅导 质边界上的一个扁平状柱体表质边界上的一个扁平状柱体表 面。上式左边的面积分遍及柱面。上式左边的面积分遍及柱 体的上下底和侧面。当柱体的体的上下底和侧面。当柱体的 厚度趋于零时厚度趋于零时,对侧面的积分趋对侧面的积分趋 于 零于 零 , 对 上 下 底 面 积 分 得对 上 下 底 面 积 分 得 (D2nD1n) S 。 2.

5、关于电位移的边值关系：关于电位移的边值关系： 2 D 1 D 将方程将方程应用到两介应用到两介 f dQ SD (D2nD1n) S =f S 即即 D2nD1n=f n(D2- -D1)=f或矢量形式：或矢量形式： 由此得到：由此得到： 5重点辅导 为了弄清楚边界条件的物理意义，我们先把总电场的麦氏为了弄清楚边界条件的物理意义，我们先把总电场的麦氏 方程方程: 上式左边的面积分遍及柱体的上下上式左边的面积分遍及柱体的上下 底和侧面底和侧面,Qf和和Qp分别为柱体内的总分别为柱体内的总 自由电荷和总束缚电荷自由电荷和总束缚电荷,它们等于相它们等于相 应的电荷面密度应的电荷面密度f 和和p乘以底

6、面积乘以底面积 S。当柱体的厚度趋于零时。当柱体的厚度趋于零时,对侧对侧 Pf0 dQQS E 应用到两介质边界上的一个扁平应用到两介质边界上的一个扁平 状柱体。状柱体。 面的积分趋于零面的积分趋于零,对上下底面积分得对上下底面积分得0(E2nE1n) S 。 6重点辅导 如右图如右图:通过薄层右侧面进通过薄层右侧面进 入介质入介质2的正电荷为的正电荷为: - -P2dS ，由介质，由介质1通过薄通过薄 层左侧进入薄层的正电荷层左侧进入薄层的正电荷 为为P1dS ，因此，薄层内，因此，薄层内 出现的净余电荷为出现的净余电荷为(P2 P1) dS ，以，以P表示束缚电荷面密表示束缚电荷面密 度，

7、有度，有 0(E2nE1n) S = Qf+Qp 0(E2nE1n) =f+p SPPd)(d 21P S )( 21P PPn由此，由此， n为分界面上由介质为分界面上由介质1指向介质指向介质2的法线。的法线。 7重点辅导 由此看出，极化矢量的跃变与束缚电荷面密度相由此看出，极化矢量的跃变与束缚电荷面密度相 关，关，Dn的跃变与自由电荷面密度相关，的跃变与自由电荷面密度相关，En的跃变的跃变 与总电荷面密度相关。与总电荷面密度相关。 P12 nn PP与与0(E2nE1n) =f+p 相加，相加，将将 利用利用得：得： nnnnnn22021101 PEDPED， f12 nn DD 由上面

8、的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚由上面的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚 电荷在边值关系中所起的作用。由于在通常情况电荷在边值关系中所起的作用。由于在通常情况 下只给出自由电荷，因而实际上主要应用关于下只给出自由电荷，因而实际上主要应用关于Dn 的边值关系式。的边值关系式。 8重点辅导 面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变，面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变， 我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向 面电流分布面电流分布: 面电流实际上是在靠近面电流实际上是在靠近 表面的相当多分子层内表面的相当多分子层内 电流的平均宏观效应。电流的平均

9、宏观效应。 3. 关于磁场强度的边值关系：关于磁场强度的边值关系： 分量生跃变。我们先说明表分量生跃变。我们先说明表 面电流分布的概念。面电流分布的概念。 9重点辅导 图示为界面的一部分，其上有面图示为界面的一部分，其上有面 电流，其线密度为电流，其线密度为，l为横截为横截 线，垂直流过线，垂直流过l段的电流为段的电流为: I=l 关于磁场强度的边值关系：关于磁场强度的边值关系： 旁取一狭长形回路，回路的一长边旁取一狭长形回路，回路的一长边 在介质在介质1中，另一长边在介质中，另一长边在介质2中。中。 长边长边l与面电流与面电流正交。正交。 定义电流线密度定义电流线密度，其大小等于垂，其大小等

10、于垂 直通过单位横截线的电流。直通过单位横截线的电流。 由于存在面电流，在界面两侧的磁由于存在面电流，在界面两侧的磁 如图，在界面两如图，在界面两 场强度发生跃变。场强度发生跃变。 10重点辅导 在狭长形回路上应用麦氏方程：在狭长形回路上应用麦氏方程： SL t ISDlHd d d d f 取回路上下边深入到足够多分子层取回路上下边深入到足够多分子层 内部，使面电流完全通过回路内部。内部，使面电流完全通过回路内部。 其中其中t表示沿表示沿l的切向分量。的切向分量。 lHH L )(d 1t2t lH If=fl 由于回路所围面积趋于零，由于回路所围面积趋于零， 而而D/t为有限量，因而为有限

11、量，因而 0d d d S t SD 从宏观来说回路短边的长度仍从宏观来说回路短边的长度仍 可看作趋于零，因而有可看作趋于零，因而有 通过回路内的总自由电流为通过回路内的总自由电流为 11重点辅导 把这些式子代入把这些式子代入得得: SL t ISDlHd d d d f f12 tt HH 上式可以用矢量形式表示。设上式可以用矢量形式表示。设l为为 界面上任一线元，界面上任一线元，t为为l方向上的单方向上的单 位矢量。流过位矢量。流过l的自由电流为的自由电流为 对于狭长形回路，应用对于狭长形回路，应用 得得 lnln fff I SL t ISDlHd d d d f lnlHHlH ff1

12、2 )(dI L 12重点辅导 由于由于l为界面上任一矢量，因此为界面上任一矢量，因此 上式再用上式再用n叉乘叉乘 注意到注意到 这就是磁场切向分量的边值关系。这就是磁场切向分量的边值关系。 nHH f/12 )( )()( 12/12 HHnHHn 0 f n 得到得到 f12 )(HHn 式中式中/表示投射到界面上的矢量。表示投射到界面上的矢量。 13重点辅导 4. 关于电场强度的边值关系：关于电场强度的边值关系： 即即E2tE1t=0 2 E 1 E n l SL t SBlEd d d d同理，应用同理，应用 可得电场切向分量的边值关系。可得电场切向分量的边值关系。 此式表示界面两侧此

13、式表示界面两侧E的切向分量连续。的切向分量连续。 0)(d 1t2t lEE L lE 对应的矢量形式为：对应的矢量形式为：0)( 12 EEn 14重点辅导 以后在公式中出现的以后在公式中出现的和和, 除特别声明者外，都代表自由除特别声明者外，都代表自由 电荷面密度和自由电荷线密度，不再写出角标电荷面密度和自由电荷线密度，不再写出角标f。 这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面 两侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实质上是两侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实质上是 边界上的场方程。边界上的场方程。 0)( )( )(

14、 0)( 12 12 12 12 BBn DDn HHn EEn nn nn tt tt 12 12 12 12 BB DD HH EE 或或 总括我们得到的边值关系为：总括我们得到的边值关系为： 15重点辅导 同样，把边值关系应用到上板与介质同样，把边值关系应用到上板与介质2界面上得界面上得 无穷大平行板电容器内有两层介质无穷大平行板电容器内有两层介质(如图如图)，极板，极板 上面电荷密度上面电荷密度f，求电场和束缚电荷分布。，求电场和束缚电荷分布。 例例: 解解: 由对称性可知，电场沿垂直于平板的方向，把边由对称性可知，电场沿垂直于平板的方向，把边 值关系应用于下板与介质值关系应用于下板与介质1界面上，因导体内场强界面上，因导体内场强 为零，故得为零，故得 由此可得：由此可得： f1 D ， f2 D f2 D 2 f 2 E， 1 f 1 E 束缚电荷分布于介质