控制系统的时域数学模型[教学内容]

1、封 面 1优学课堂 2-1控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 1、线性元件的微分方程、线性元件的微分方程 2、控制系统微分方程的建立、控制系统微分方程的建立 3、线性系统的基本特性、线性系统的基本特性 4、线性定常微分方程的求解、线性定常微分方程的求解 5、非线性微分方程的线性化、非线性微分方程的线性化 2优学课堂 数学模型：数学模型：描述系统输入，输出变量以及内部各描述系统输入，输出变量以及内部各 变量之间关系的数学表达式。变量之间关系的数学表达式。 静态数学模型静态数学模型：变量的各阶导数为：变量的各阶导数为0。 动态数学模型动态数学模型：变量的各阶导数不为：变量的各阶导数不为0

2、。 分类分类 动态数学模型动态数学模型 微分方程微分方程 差分方程差分方程 状态方程状态方程 传递函数传递函数 结构图结构图 频率特性频率特性 时域中常用时域中常用 频域中用频域中用 复数域中用复数域中用 建立数学模型的方法建立数学模型的方法：解析法、实验法。：解析法、实验法。 3优学课堂 电阻、电容、电感(补充) R C L + )(tu i(t) u(t)= i (t)R )(tu i(t) i(t)= dt tdu C )( u(t)= C 1 i(t)dt i(t) )(tu + u(t)= Ld i (t) dt i(t)= dttu L )( 1 + i(t)= R tu )( 1

3、、线性元件的微分方程、线性元件的微分方程 4优学课堂 RLC无源网络无源网络(P21),(P21),弹簧质量阻尼器弹簧质量阻尼器(P22)(P22) )t (u)t (Ridt)t )i Cdt )t (di L i 1 dt)t ( i C )t (uo 1 )t (u)t (u dt )t (du RC dt )t (ud LC io oo 2 2 maF牛顿定律 方向见图外力),t (F. 1 相反方向与比弹簧恢复力与位移成正)t (x),t (kx. 2 相反方向与成正比阻尼器阻力与位移速度)t (x, dt )t (dx f. 3 2 2 dt )t (xd a 加速度 2 2 dt

4、 )t (xd m dt )t (dx f)t (kx)t (F )t (F)t (kx dt )t (dx f dt )t (xd m 2 2 5优学课堂 电枢控制直流电机(P22) aaa a aa E)t (iR dt )t (di L)t (u ：电枢回路电压平衡方程 电枢反电势： )t (CE mea 电磁转矩方程：)t (iC)t (M amm ：电机轴上转矩平衡方程 )t (M)t (M)t (f dt )t (d J cmmm m m 电机轴上总的转动惯量 m J 系数电机轴上总的粘性摩擦 m f )t ()CCfR( dt )t (d )JRfL( dt )t (d JL m

5、emma m mama m ma 2 2 )t (MR dt )t (dM L)t (uC ca c aam 可得下式：忽略 a L )t (MK)t (uK)t ( dt )t (d T cam m m21 电机的时间常数 m T 电机的传递系数 1 K 6优学课堂 减速器(P23) 两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同 2211 rr 2211 MM 2 1 2 1 Z Z r r 齿数与半径成正比 1 2 Z Z i 速比 为输出的微分方程：为输入以 21 ,)t ( i )t ( Z Z )t ( 11 2 1 2 1 7优学课堂 （1） 确

6、定系统的输入变量和输出变量。确定系统的输入变量和输出变量。 2、 控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立 一个系统通常是由一些环节连接而成一个系统通常是由一些环节连接而成 的，将系统中的每个环节的微分方程求出的，将系统中的每个环节的微分方程求出 来来 ，便可求出整个系统的微分方程。，便可求出整个系统的微分方程。 列写系统微分方程的一般步骤：列写系统微分方程的一般步骤： 根据各环节所遵循的基本物理规律，分根据各环节所遵循的基本物理规律，分 别列写出相应的微分方程，并构成微分方别列写出相应的微分方程，并构成微分方 程组。程组。 （2） 建立初始微分方程组。建立初始微分方程组。 将与输入量有关

7、的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右 边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。 （3）消除中间变量，将式子标准化。）消除中间变量，将式子标准化。 8优学课堂 ui R1 负负 载载 SM TG k1 k2 功功 放放 u2u1ua ut c R2 R1R1 R + m eti uk)uu(ku: 111 1 运放 )u dt du (ku: 1 1 22 2 运放 23 :uku a 功放 ccamm m m Mkuk dt d T: 直流电机 m i : 1 齿轮系 tt ku:测速发电机 ccig i gm Mkuk dt du k dt

8、d T 负载扰动力矩 c M 9优学课堂 位置随动系统原理图位置随动系统原理图(补充补充) W1 负载负载 W2 ur uc u 放大器放大器电机电机 减速器减速器 测速电机测速电机 u ut ua 操纵手柄操纵手柄 r m c m m c c r r + _ + _ SM TG J L fL W1W2 E u ut u ua RaLa if Z1 Z2 放大器放大器 操纵手柄操纵手柄 测速电机测速电机 电机电机 负载负载 电位器对电位器对 减速器减速器 r r c c 方块图的绘制 10优学课堂 W1W2 + _ + _ SM TG J L fL E u ut u ua RaLa if Z1

9、 Z2 放大器放大器 m c r r c )()()( max tkt E tu ccc )()()(tututu cr dt td ktu m tt )( )( )()(ttk cr )()(tuktu aa )( )()( 2 2 tuk dt td dt td T am mm m )( 1 )(t i t mc )()()( max tkt E tu rrr 位置随动系统位置随动系统结构图绘制结构图绘制 )()()(tututu t u 操纵手柄操纵手柄 W1 JLfL W2 ur uc 放大器放大器电机电机 减速器减速器 测速电机测速电机 u ut ua m m c c r 11优学课

10、堂 3、 线性系统的基本特性线性系统的基本特性 叠加性和均匀性（或齐次性）叠加性和均匀性（或齐次性） 对线性系统进行分析和设计时，如果有几对线性系统进行分析和设计时，如果有几 个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处 理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输 出，然后将它们叠加。出，然后将它们叠加。 12优学课堂 4、线性微分方程的求解、线性微分方程的求解 方法方法 解析法解析法 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 步骤：步骤： 1、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变为变 量的代数方

11、程。量的代数方程。 2、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表 达式。达式。 3、将输出的象函数表达式展开成部分分式。、将输出的象函数表达式展开成部分分式。 4、对部分分式进行拉氏反变换，即得微分方程、对部分分式进行拉氏反变换，即得微分方程 的全解。的全解。 13优学课堂 r(t) =(t), c(0) = c(0) = 0 + 2c (t) = r(t) +2 d2c(t) dt2 dc(t) dt 用一个例子来说明采用拉氏变换法用一个例子来说明采用拉氏变换法 解线性定常微分方程的方法。解线性定常微分方程的方法。 4、线性微分方程式的求解线性微分方程式

12、的求解 例例 已知系统的微分方程式，求系统的已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。输出响应。 解：解：将方程两边求拉氏变换得：将方程两边求拉氏变换得： 求拉氏反变换得：求拉氏反变换得： s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s) R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +2 1 = (s+1)2 + 1 1 c(t) = e t sin t 14优学课堂 输出响应曲线输出响应曲线 c(t)r(t) r(t) t 0 c(t) 15优学课堂 5、非线性微分方程的线性化、非线性微分方程的线性化 绝大多数物理系统在参数某些范围绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线

13、性特性。当参数范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。制时，所有的物理系统都是非线性的。 对每个系统都应研究其线性特性和相对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围应的线性工作范围。 16优学课堂 线性系统具有叠加性和齐次性。线性系统具有叠加性和齐次性。 叠加性：叠加性：x x1 1(t)(t)y y1 1(t)(t) x x2 2(t)(t) 则则 y y2 2(t)(t) x x1 1(t)+x(t)+x2 2(t) (t) y y1 1(t)+y(t)+y2 2(t) (t) y=xy=x2 2 二阶系统是非线性的二阶系统是非线性的 因为它

14、不满足叠加性因为它不满足叠加性 齐次性：齐次性： 为常数为常数 x(t)x(t)y(t)y(t) 则则 x(t) x(t) y(t) y(t) y=mx+b y=mx+b 系统也不是线性的，因为它不满系统也不是线性的，因为它不满 足齐次性。足齐次性。 17优学课堂 y=mx+b y=mx+b 对在工作点对在工作点(x(x0, 0,y ,y0 0) )附近作小范围附近作小范围 变化的变量变化的变量x x和和y y而言，而言，则是线性的。则是线性的。 非线性系统非线性系统 设设 又又 则则 x=xx=x0 0+ +x x y=yy=y0 0+ +y y y y0 0=mx=mx0 0+ +b y

15、y0 0+ +y=y=mx+b=y=mx+b =m=mx0+m+m x+b+b y=my=mx x 大部分非线性系统在一定的条件下大部分非线性系统在一定的条件下 可近似看成线性系统。可近似看成线性系统。 18优学课堂 y(t)=gx(t)y(t)=gx(t) 线性化：线性化： 设非线性元件为设非线性元件为: : 系统的正常工作点为系统的正常工作点为x x0 0 有条件地把非线性数学模型有条件地把非线性数学模型 近似处理成线性数学模型。近似处理成线性数学模型。 若非线性函数连续，且各阶导数存若非线性函数连续，且各阶导数存 在，可在工作点附近按泰勒级数展开在，可在工作点附近按泰勒级数展开. =g(

16、x=g(x0 0)+)+ + dgdg dxdxx=xx=x0 0 d d2 2g g dxdx2 2 x=xx=x0 0 (x-x(x-x0 0) )2 2 2!2! x-xx-x0 0 1!1! 当当(x- xx- x0 0) )小范围波动时，略去高于小范围波动时，略去高于 一次的小增量项，方程可简化为一次的小增量项，方程可简化为 ： y(t)=g(xy(t)=g(x0 0)+)+ dgdg dxdxx=xx=x0 0 (x-x(x-x0 0) ) =y=y0 0+m(x-x+m(x-x0 0) ) m为工作点处的斜率。最后可改写为工作点处的斜率。最后可改写 成下列线性方程：成下列线性方程

17、： y=m=mx x (y-y(y-y0 0)=m(x-x)=m(x-x0 0) ) 或或 19优学课堂 非线性系统的线性化步骤非线性系统的线性化步骤 1）写出原始方程）写出原始方程 2）将非线性函数线性化，并将增量符号）将非线性函数线性化，并将增量符号略略 去，可得非线性函数的增量线性化方程。去，可得非线性函数的增量线性化方程。 3）将非线性函数的增量线性化方程代入原）将非线性函数的增量线性化方程代入原 始方程。始方程。 20优学课堂 解：解： 按泰勒级数展开为按泰勒级数展开为 dh(t)dh(t) dtdt h(t)h(t)+a+a=q=qi i(t)(t)A dh(t)dh(t)1 1

18、= =q qi i(t)(t) dtdtA A h(t)h(t) 2A2A + + a a h h0 0 d d + + dhdh h h0 0 h h0 0= =h(t)h(t) h h d d2 2 dhdh2 22!2! + + 1 1 h h0 0 (h-h(h-h0 0)+)+ h h (h-h(h-h0 0) )2 2 略去高于一次的增量项得略去高于一次的增量项得 h h 2 2 + + 1 1 h h0 0= = h h0 0 h h d d + + dhdh h h0 0 h h0 0= =h(t)h(t) h h y(t)= h(t) h2 1 y(t) 0 为：线性化 处处理理非非线线性性函函数数 例例 将液