抛物线最值问题求法[青苗教育]

1、抛物线中常见最值问题求法抛物线中常见最值问题求法 1技能教育 一、复习引入一、复习引入 1.1.抛物线的定义抛物线的定义: : 2.2.抛物线的标准方程和性质抛物线的标准方程和性质: : 2技能教育 2 4, F yxM MAMF 在抛物线上找一点 使最小，其中，A(3,2), （1，0） 求M点的坐标及此时 问题一 值。 、 的最小 M M F F x x y y A A1 M 1 M =MAMFMAMM MAMM 如图，由抛物线定义 当且仅当、 解： 、 三点共线时， 最小，此时（，） 3技能教育 已知抛物线和定点（，）， 抛物线上有一动点，到点的距离为，到抛物 线准线距离，求 、 的最小

2、值及此时 变式训练1 点坐标 M M F F x x y y A A 1 M 解、由抛物线定义 当且仅当、三点共线 最小是 易求此时（，） 4技能教育 22 1 412 (1,4), 2 + xy F APPAPF 已知点 是双曲线的左焦点， 定点是双曲线右支上的动点， 变式训 求 的 练 。 ： 最小值 F F A A P P y y x x 5技能教育 F, F =2PFPa 解：设双曲线右焦点是 由双曲线定义 y y F F A A P P x x F 2 P FP A aP AP F 49 AF 6技能教育 ( , ) 求点 到抛物线上点距离的最小值， 并求此时抛物线上 问题二： 点的

3、坐标 A M M F F x x y y ( , ) 4yx= 2 解：设点是抛物线 上任一点,则 22 (3)AMxy=-+ 2 (3)4xx=-+ 2 29xx=-+ 2 (1)8x=-+0 x min 12 2,(1,2)xAMM=当时，此时 7技能教育 变式训练变式训练1： 2 22 4 31 Myx xyMQ = -+= 动点在抛物线上运动，动点Q在圆 ()上运动，求的最小值 x x M M F F y y A Q Q 只需求出动点M到圆心A(3,0) 距离最小值再减去圆半径即可。 分析：“动中求静” min 2 21=-MQ 8技能教育 变式训练变式训练2： ( , ) 求点 m到

4、抛物线上点距离的最小值， 并求此时抛物线上点的坐标 A M M F F x x y y ( , ) 4yx= 2 解：设点是抛物线 上任一点,则 22 ()AMxmy=-+ 2 ()4xmx=-+ 22 (42 )xm xm=+-+ 2 (2)44xmm=+-+- 0 x 2 max 20,;mxAMm=当时， max 22,44;mxmAMm=-=-当时， 9技能教育 M 2 动点在抛物线y =4x上,求点M到直线y=x+4 距离d的最小值，并求此时点 问题三： M的坐标 M M F F x x y y ( , ) 4yx= 2 解法一：设点是抛物线 上任一点,则 4 2 xy d -+ =

5、 2 4 4 2 y y-+ = 2 (2)12 4 2 y-+ = min 3 2 2,(1,2) 2 ydM=当时，此时 10技能教育 yxb=+解法二、设直线与抛物线相切 22 2 (24)0 4 yxb xbxb yx = + +-+= = 联立 22 (24)401bbbD =-= 1,2此时，切点（）即为所求点M 4010 xyxy-+=-+= 3 2 两平行线和的距离d=即为所求 2 A M M F F x x y y 11技能教育 M 2 2 x 动点在椭圆+y =1上,求点 4 M到直线y=x+4距离d的最大值 和 变式训练： 最小值。 4yx=+思路求与直线平行的椭分析：圆

6、的切线 4yx=+切线与直线的距离即为最值 minmax 4 2104 210 , 22 dd -+ = x x y y o o 12技能教育 三、课时小结三、课时小结 13技能教育 2 13yx、定长是 的线段AB的端点A、B在抛物线 上移动，求线段AB的中点M到y轴距离d的最小值 F F x x y y A B B M 1 M 1 B 1 A 11 2 AABB+ = 1 分析：如图 MM 2 A FB F+ = 3 22 A B = 135 424 dd+ 14技能教育 2 2 )1 4 x y 3 2、求点P(0,到椭圆上点的最大距离， 2 并求此时椭圆上点的坐标 分析：将椭圆上任意一点分析：将椭圆上任意一点Q与点与点P 的距离表示成一个变量的函数然后的距离表示成一个变量的函数然后 求最值。求最值。 x y Q P 15技能教育 ( , )Q x y解：设点是椭圆上任一点， 2 2 1 4 x y+=则 222 325 (0)()33 24 PQxyyy=-+-=-+ 2 1 3()7 2 y=-+ 11y