复数的加法与减法

1、2021/3/10讲解：XX1 2021/3/10讲解：XX2 一、复习提问：一、复习提问： 1、复数的概念：形如、复数的概念：形如_的数叫做复的数叫做复 数，数，a，b分别叫做它的分别叫做它的_。 2、复数的分类：复数、复数的分类：复数a+bi (a，bR)，当，当b=0时，时， 就是就是_;当当b0时，叫做时，叫做_; 当当a=0， b0时，叫做时，叫做_; 3、复数、复数Z1=a1+b1i与与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是相等的充要条件是 _。 a1=a2，b1=b2 a+bi (a，bR) 纯虚数纯虚数 实数实数虚数虚数 实部和虚部实部和虚部 2021/3/10讲解：XX3 ),

2、(Rdcbadiczbiaz 21 ，如如果果两两个个复复数数 复数的加法运算：复数的加法运算： idbcazz)()( 21 则则定定义义： )()( 321321 1221 zzzzzz zzzz 容容易易验验证证： 点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定，规复数的加法运算法则是一种规定，规 定以后就按规定进行运算。定以后就按规定进行运算。 （2）复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部）复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部 与虚部相加。很明显，两个复数的和仍与虚部相加。很明显，两个复数的和仍 然是一个复然是一个复 数。对于复数的加数。对于复数的加 法可以推广到多个复数相加的情法可以推广

3、到多个复数相加的情 形。形。 2021/3/10讲解：XX4 ),(Rdcbadiczbiaz 21 ，如如果果两两个个复复数数 复数的减法运算：复数的减法运算： idbcazz)()( 21 则则定定义义： 复数的减法复数的减法的的规定是加法的逆运算规定是加法的逆运算.即把满足即把满足 （c+di） +（x+yi）=a+bi的复数的复数x+yi叫做复数叫做复数a+bi减去复数减去复数 c+di的差，记作的差，记作 （a+bi) （c+di） 2021/3/10讲解：XX5 x o y Z1(a,b) Z2(c,d) Z(a+c,b+d) z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +O

4、Z +OZ2 2 = OZ = OZ 符合符合 向量向量 加法加法 的平的平 行四行四 边形边形 法则法则. 1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义? ? 2021/3/10讲解：XX6 x o y Z1(a,b) Z2(c,d) 复数复数z2z1 向量向量Z1Z2 符合符合 向量向量 减法减法 的三的三 角形角形 法则法则. 2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ? 2021/3/10讲解：XX7 复数加法与减法运算的几何意义 x y Z Z 1 Z Z 2 Z Z 0 (1) x y Z Z 1 Z Z 2 0 (2) 复数的和对应向量的和复数的和对应向量的

5、和 复数的差对应向量的差复数的差对应向量的差 归纳总结 2021/3/10讲解：XX8 8.设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,yR),且z1+z2 = 5 - 6i,求z1-z2 解：z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i (3+x)+(2-y)i=5-6i z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i 3+x=5, 2-y=-6. x=2 y=8 2021/3/10讲解：XX9 例3 已知 求向量 对应的复数. 变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点 A,O,B对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点C对应的 复数. ,2 ,23,i

6、iOBOA对应复数是 AB 几何意义运用 2021/3/10讲解：XX10 变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点C对应的复数. 解:复数-3+2i ,2+i,0对应点A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图. 点C对应的复数是-1+3i 在平行四边形 AOBC中, x y A 0 C B ) 3 , 1() 1 , 2()2 , 3( OC OBOAOC 几何意义运用 2021/3/10讲解：XX11 第四个顶点对应的复数是6+4i，-4+6i，-2-i 变式 已知复平面内一平行四边形三个顶点对 应复数是 -3+2i,

7、2+i, 1+5i求第四个对应的复 数. X y 2021/3/10讲解：XX12 则则称称为为共共轭轭复复数数 等等，虚虚部部互互为为相相反反数数，如如果果两两个个复复数数的的实实部部相相 共轭复数共轭复数 互互为为共共轭轭复复数数即即：),(,Rbabiazbiaz 性性质质： 点点关关于于实实轴轴对对称称互互为为共共轭轭复复数数所所对对应应的的. 1 | .zz 2 2121 3zzzz. | . 212121 4zzzzzz 2021/3/10讲解：XX13 zz Rbabiaz 条条件件是是 是是实实数数的的充充要要例例：求求证证：一一个个复复数数),( 充充分分性性 ,),(zzR

8、babiaz若若设设复复数数 0bbiabia即即 是是实实数数复复数数 z 必必要要性性 0bRbabiaz是是实实数数，则则设设复复数数),( zzbiabia 为为实实数数的的充充要要条条件件是是复复数数 zzz 2021/3/10讲解：XX14 互互为为共共轭轭复复数数， 为为纯纯虚虚数数 例例：判判断断对对错错： 2121 R2 1 zzzz zzz )( )( 错错误误 错错误误 zzz为为纯纯虚虚数数，则则性性质质：若若 Rzzzz 2121 互互为为共共轭轭复复数数，则则若若, 2021/3/10讲解：XX15 复平面上两点间的距离：复平面上两点间的距离： 设设Z Z1 1=a

9、+bi(a,bR) Z=a+bi(a,bR) Z2 2=c+di(c,dR)=c+di(c,dR) 分别对应点分别对应点Z Z1 1(a,b),Z(a,b),Z2 2(c,d)(c,d) 22 21 )db()ca(| i )db()ca( |ZZ| 的的模模也也等等于于之之间间的的距距离离、表表示示两两点点 212121 ZZ,ZZ|ZZ| | i32| 看成看成A(2,-3)A(2,-3)到原点到原点O O的距离的距离|AO|AO| 也看成也看成B(2,0)B(2,0)到到C(0,3)C(0,3)的距离的距离|BC|BC| 1| ) i 43(Z| 表示复平面上点表示复平面上点Z Z到到3

10、-43-4i i对应的点对应的点D D(3,-4)(3,-4) 间的距离为间的距离为1 1，即，即Z Z在在(3,-4)(3,-4)为圆心，为圆心，1 1为为 半径的圆周。半径的圆周。 2021/3/10讲解：XX16 | )(| )(| )(|)(izizizz z 14 23 22 1|1 A何何意意义义：，说说出出下下列列复复数数模模的的几几对对应应点点例例：若若复复数数 的的距距离离到到点点表表示示),()(01A1 的的距距离离到到点点表表示示),()(12A2 的的距距离离到到点点表表示示),()(20A3 的的距距离离到到点点表表示示),()(11A4 什什么么图图形形？ 所所对

11、对应应点点的的集集合合是是则则满满足足例例：若若复复数数zizz,| 143| 为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，表表示示以以143),( 2021/3/10讲解：XX17 r r 、如果复数对应着复平面上的点(，)， 一些常用曲线 复数形式的的方程为： 0 (1)zr方程 表示以 为圆心, 为半径的圆; 0 zzr (2) 1 2 方程 表示线段ZZ的垂直平分线; 12 z zz z (3) 12 方程 表示以Z、Z为焦点,2a为长轴的椭圆; 12 2z zz za 12 2)aZZ（ 12 ,2aZZ若则方程表示 12 以Z，Z为端点的线段; (4) 12 方程 表示以Z、Z为焦点,2a为

12、实轴的双曲线; 12 2z zz za 12 2)aZZ（0 12 ,2aZZ若则方程表示 12 以Z、Z为端点的射线. 2021/3/10讲解：XX18 例、例、设复数设复数z=x+yi,(x,yR),z=x+yi,(x,yR),在下列条件在下列条件 下求动点下求动点Z(x,y)Z(x,y)的轨迹的轨迹. . 1.|z-2| 1.|z-2|= =1 1 2.|z-i|+|z+i|=4 2.|z-i|+|z+i|=4 3. 3.|z-2|=|z+4|z-2|=|z+4| 2021/3/10讲解：XX19 x x y y o o Z Z 2 2 Z Z Z Z Z Z 当当|z-z|z-z1 1

13、|=r|=r时时, , 复数复数z z对应的点的轨迹是以对应的点的轨迹是以 Z Z1 1对应的点为圆心对应的点为圆心, ,半径为半径为r r的圆的圆. . 2021/3/10讲解：XX20 1 1 -1-1 Z Z Z Z Z Z y y x x o o |zz1|+|zz2|=2a |z|z1 1z z2 2|2a|2a|2a 椭圆椭圆 线段线段 无轨迹无轨迹 2021/3/10讲解：XX21 y y x x o o 2 2 -4-4 x=-1x=-1 当当| z- z| z- z1 1|= | z- z|= | z- z2 2| |时时, , 复数复数z z对应的点的轨迹是对应的点的轨迹是

14、 线段线段Z Z1 1Z Z2 2的中垂线的中垂线. . -1-1 2021/3/10讲解：XX22 的的模模的的范范围围求求复复数数满满足足例例：已已知知复复数数21|zzz,| ),(Rbabiaz法法一一：设设 1 22 ba 22 22baz)(| aaa4512 22 )( ,314511aa ,|312 z 法法二二：几几何何法法 ),(02 ,|312 z | 212121 zzzzzz法法三三：利利用用 2|2|2|zzz ,|312 z 2021/3/10讲解：XX23 图图形形？对对应应的的点点的的集集合合是是什什么么数数例例：满满足足下下列列条条件件的的复复z 121|

15、)(iz 4112| )(zz 8553| )(zz | )(izz224 为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，所所对对应应的的点点表表示示以以1201),()(z 为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，所所对对应应的的点点表表示示以以120),( z 为为长长轴轴的的椭椭圆圆为为焦焦点点，表表示示以以401012),(),()( 为为实实轴轴长长的的双双曲曲线线左左支支为为焦焦点点，表表示示以以805053),(),()( 为为端端点点的的线线段段的的中中垂垂线线表表示示以以),(),()(-20024 2021/3/10讲解：XX24 2 izzz|:复复数数例例：根根据据下下列列条条件件，求求

16、 ),(Rbabiaz法法一一：设设 ibabiaibiabia22 22 即即| 1 2 22 b baa 1 4 3 b aiz 4 3 法法二二： izz|2 12 22 |)|(|zz144 2 |zz 4 5 54|zz iizz 4 3 2| 2021/3/10讲解：XX25 yx ixyiyxyx , ,)(, 求求 互互为为共共轭轭复复数数，且且例例：已已知知643 2 Rxyyxyx,互互为为共共轭轭复复数数 2 2 63 4 2 xy yx xy yx)( 1)Re( x 1 222 )(Re(|)Im(|xxxxxy且且 iyixiyix iyixiyix 1111 11

17、11 , , 或或或或 或或 2021/3/10讲解：XX26 ）求求实实根根的的范范围围（ 的的轨轨迹迹方方程程当当方方程程有有实实根根时时，求求点点 的的方方程程例例：已已知知关关于于 2 1 0242 2 ),()( ),( )()( ba Rba ibaabxixx )( )( ,)( 202 1042 1 2 bax abxx x 则则设设实实根根为为 0422212 2 ababababx)()()(式式得得：代代入入把把 2112 22 )()(ba整整理理得得： 0242122 2 )()()(axaxxaxb式式得得：代代入入把把 0248 22 xxaxaa的的方方程程得得

18、：整整理理成成关关于于 ,)(04028416 22 xxxx 2021/3/10讲解：XX27 例例3 3、 （1 1）已知复数满足）已知复数满足|Z|=2,|Z|=2,求复数求复数Z-2Z-2的模的取值范围。的模的取值范围。 （2 2）已知复数满足已知复数满足|Z-|Z-（1+i1+i）|=1,|=1,求求| |Z+3-4i|Z+3-4i|的取值范围。的取值范围。 （3 3）若复数）若复数Z Z满足满足|Z+i|+|Z-i|=2,|Z+i|+|Z-i|=2,则则| |Z+1+i|Z+1+i|的最值。的最值。 （4 4）集合）集合M=Z|Z+1|=1,ZC,P=Z|Z+i|=|Z-i|,ZC

19、,Z|Z+1|=1,ZC,P=Z|Z+i|=|Z-i|,ZC, 则则 MP=_MP=_ 2021/3/10讲解：XX28 的的轨轨迹迹求求点点 满满足足例例：已已知知实实数数 ),( ,)()(, yx iyxxyaiayxa022 2 022 2 iyxaxyaa)(原原式式 0 022 2 yxa xyaa 022 2 xyxyxy xya )()( 代代入入第第一一式式，得得：由由第第二二式式得得： 211 22 )()(yx整整理理得得： 为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，轨轨迹迹是是以以211),( 2021/3/10讲解：XX29 333| 03 的的最最小小值值 求求且且满满足足

20、例例：设设 | , iziz yxyixz 距距离离之之和和的的最最小小值值。，对对应应的的两两点点 和和到到上上找找一一点点在在直直线线原原题题 BA 33i3-03iZyx 的的同同侧侧两两点点在在直直线线03 yxBA, ),(),(360330BByx的的对对称称点点关关于于可可求求得得 5363 22 |BA 53原原式式 2021/3/10讲解：XX30 的的范范围围求求（的的范范围围求求 满满足足例例：已已知知复复数数 x y z izRyxyixz 2) 1 131| |)( ,| )(),( 为为半半径径的的圆圆为为圆圆心心，对对应应的的点点表表示示以以1311),()(z

21、的的距距离离表表示示该该圆圆上上一一点点与与原原点点| z ,|31 z 线线的的斜斜率率表表示示圆圆上上一一点点与与原原点点连连 x y )(2 ,( 3 3 x y 2021/3/10讲解：XX31 32330zzizz 例 ：设复数 满足，求的最大值与最小值。 解解:zxyi xyR设（ ，） 233xyiixyi 2222 233xyxy（） （） 22 8xyxy（）+24=0 2 448xy 2 （） （） 所以复数z所对应的点的轨迹是： 以（4，4）为圆心，2 2为半径的圆。 y x o z，4 2-2 24 2+2 2 6 2 z2 2，即： 实数化是解决复数问题的重要方法之一。 2021/3/10讲解：XX32 |ziziz，求求例例：设设403232 22 A B O Z ),(),(3232BA设设 40 Z 22 |ZBZA z 则则 ，对对应应的的点点为为设设复复数数 AOZOAzzcos|2|OA|ZA|AOZ 222 中中，在在 BOZOBzzcos|2|OB|ZB|BOZ 222 中