高中数学必修三1.3三角函数的诱导公式

1、 1 讲解：XX 2021/3/10 y Ox P(x,y) 的终边的终边 P(x,y) 的终边的终边 y Ox 任意角的三角函数的定义 x r M y M x r y y Ox P(x,y)的终边的终边 P(x,y) 的终边的终边 y O x x r M y Mx r y sin y r cos x r tan y x 222 rxy 复习复习 回顾回顾 2 讲解：XX 2021/3/10 三角函数的三角函数的诱导公式一诱导公式一: Zkk,sin2sin Zkk,cos2cos Zkk,tan2tan 实质：终边相同，三角函数值相等 用途：用途：可将任意角的三角函数化到可将任意角的三角函数

2、化到 0,2）的三角函数。）的三角函数。 3 讲解：XX 2021/3/10 给定一个角给定一个角 (1)终边与角终边与角的终的终边边关于原点对称关于原点对称的角的角 与与有什么关系有什么关系?它们的三角函数之间有它们的三角函数之间有 什么关系什么关系? 探究探究 + y x O P(x,y) 公式二公式二 sin(+)=sin cos(+)=cos tan(+)=tan 单位圆单位圆 4讲解：XX2021/3/10 (2)终边与角终边与角的终边的终边关于关于x轴对称轴对称的角与的角与 有什么关系有什么关系?它们的三角函数之间有什么它们的三角函数之间有什么 关系关系? sin()=sin co

3、s()=cos tan()=tan 公式三公式三 y x O P(x,y) - 单位圆单位圆 5讲解：XX2021/3/10 (3)终边与角终边与角的终边的终边关于关于y轴对称轴对称的角与的角与 有什么关系有什么关系?它们的三角函数之间有什么它们的三角函数之间有什么 关系关系? y x O P(x,y) - sin(-)=sin cos(-)=cos tan(-)=tan 公式四公式四单位圆单位圆 6讲解：XX2021/3/10 公式二公式二 sin(+)=sin cos(+)=cos tan(+)=tan sin()=sin cos()=cos tan()=tan 公式三公式三 sin(-)

4、=sin cos(-)=cos tan(-)=tan 公式四公式四 +k2(kZ), ,的三的三 角函数值角函数值,等于等于 的的同名同名函数值函数值, 前面加上一前面加上一个个 把把看成锐角时看成锐角时 原函数值原函数值的符的符 号号. 公式公式一一函数名不变，函数名不变， 符号看象限符号看象限 （将（将看成锐角）看成锐角） 7讲解：XX2021/3/10 诱导诱导公式归纳公式归纳 公式一，二，三，四都叫做公式一，二，三，四都叫做诱导公式诱导公式。 简化成简化成 “函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限”的口诀。的口诀。 概括如下：概括如下： 的三角函的三角函 数值等于数值等于 的的同

5、名同名函数值，函数值， 前面加上一个把前面加上一个把 看成看成锐角时锐角时原函数值原函数值的符号。的符号。 2 (),kk Z 8 讲解：XX 2021/3/10 练习练习 将下列三角函数转化为将下列三角函数转化为锐角三角函数锐角三角函数, ,并并 填在题中横线上填在题中横线上 13 1 cos_; 2 sin 1_; 9 3 sin_; 4 cos70 6_. 5 4 cos 9 sin1 sin 5 cos7016 9讲解：XX2021/3/10 例例1:求三角函数值求三角函数值: 00 2040cos4); 3 16 sin(3; 3 11 sin2;225cos1 2 2 45cos)

6、45180cos(225cos) 1 ( : 解 2 3 3 sin) 3 4sin( 3 11 sin)2( 2 3 3 sin) 3 5sin( 3 16 sin) 3 16 sin(3 2 1 60cos)60180cos(120cos )1203606cos(2040cos)2040cos(4 0000 0000 典例品味典例品味 10 讲解：XX 2021/3/10 ) 6 5 sin(, 3 1 ) 6 sin(:1 ) 6 5 cos(, 3 1 ) 6 cos(:2 挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用 互补关系互补关系 能力能力 提升提升

7、11 讲解：XX 2021/3/10 利用公式一四把利用公式一四把任意角任意角的三角函数转的三角函数转 化为化为锐角锐角函数函数, ,一般可按下面步骤进行一般可按下面步骤进行: : 任意负角的任意负角的 三角函数三角函数 任意正角的任意正角的 三角函数三角函数 用公式用公式 三或一三或一 锐角三锐角三 角函数角函数 用公式用公式 二或四二或四 02的角的角 的三角函数的三角函数 用公式一用公式一 12讲解：XX2021/3/10 )180cos()180sin( )360sin()180cos( )180cos()180sin( )360sin()180cos( 解： 例例2:化简化简: 1

8、)cos(sin sin)cos( )180(cos)180(sin sincos )180cos()180sin( sincos 典例品味典例品味 13 讲解：XX 2021/3/10 课堂课堂 练习练习 5 3 )7cos(,2 1、已知、已知 , 求求。的的值值)3sin( 2、已知、已知 ,是第四象限角是第四象限角,则则 的的值是值是_. 5 3 )sin()2cos( 的值cos-cossin3sin2求 ),(cos)3(sin2、已知3 22 4、 在在ABC中，求证中，求证： （1）cos(A+B)=-cosC，（，（2）sin(A+B)=sinC. 14 讲解：XX 2021

9、/3/10 【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】 )2cos( )2sin( k k )cos( )sin( cos sin 公式一：公式一： 公式二公式二: 公式三公式三: 公式四公式四: cos sin cos sin )cos( )sin( cos sin )cos( )sin( )2tan(k )tan( tan tan tan )tan( tan )tan( 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式: 简记成简记成 “函数名不变，符号看象限函数名不变，符号看象限”的口诀。的口诀。 15 讲解：XX 2021/3/10 (4)终边与角终边与角的终边关于的终边关于直线直线y=x对称对称的的 角与

10、角与有什么关系有什么关系?它们的三角函数之间有它们的三角函数之间有 什么关系什么关系? y x O y=x P(x,y) 2 sincos , 2 cossin . 2 公式五公式五 单位圆单位圆 16讲解：XX2021/3/10 sincos , 2 cossin . 2 公式六公式六 如何如何求求 的三角函数值？的三角函数值？ 2 sincos , 2 cossin . 2 公式五公式五 17讲解：XX2021/3/10 sin) 2 cos( cos) 2 sin( 公式六公式六:公式五公式五: sin) 2 cos( cos)sin( 2 的正弦的正弦(余弦余弦)函数值函数值,分别等于

11、分别等于的余弦的余弦 (正弦正弦)函数值函数值,前面加上一前面加上一个把个把看成锐角时原函看成锐角时原函 数值数值的符号的符号. 2 公式五和公式六实现了公式五和公式六实现了正弦函数和余弦函数的相互转化正弦函数和余弦函数的相互转化. 公式一公式一公式六公式六叫做叫做诱导公式诱导公式 函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限 （将（将看成锐角）看成锐角） 18 讲解：XX 2021/3/10 3 sin ()cos 2 3 cos()sin 2 1 1 、 求求 证证 ： ( ( 1 1 ) ) ( ( 2 2 ) ) 典例品味典例品味 例例3、证明：、证明： 注：这四个也是公式，与注：这四

12、个也是公式，与公式五和公式六公式五和公式六是一体！是一体！ sincos , 2 cossin . 2 公式五公式五 sincos , 2 cossin . 2 公式六公式六 19 讲解：XX 2021/3/10 ) 3 cos(, 3 1 ) 6 sin(:1 ) 4 sin(, 3 1 ) 4 cos(:2 挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用挖掘角的相互关系，寻求诱导公式的应用 互余关系互余关系 能力能力 提升提升 20 讲解：XX 2021/3/10 公式二：公式二： tan)tan( cos)cos( sin)sin( tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( k

13、k k 公式一：公式一： 公式三：公式三： tan)tan( cos)cos( sin)sin( 公式四：公式四： tan)tan( cos)cos( sin)sin( 公式五：公式五： sin) 2 cos( cos) 2 sin( 公式六：公式六： sin) 2 cos( cos) 2 sin( 21 讲解：XX 2021/3/10 口诀：口诀：奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限 意义：意义： 2 1 2 kkZ k k （）的三角函数值 ）当 为偶数时，等于 的同名三角函数值，前面加上 一个把 看作锐角时原三角函数值的符号； ）当 为奇数时，等于 的异名三角函数值，前面加上 一

14、个把 看作锐角时原三角函数值的符号； 【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】 口诀口诀：奇变偶不变：奇变偶不变，符号看象限，符号看象限 22 讲解：XX 2021/3/10 例例4 4 : : 化简：化简： ) 2 9 )sin(-)sin(-)sin(3-cos( )- 2 11 )cos( 2 )cos()cos(-sin(2 解：解：)2sin(sin )cos(cos ) 2 cos( sin ) 2 11 cos( ) 2 (6cos ) 2 (cos sin 23 讲解：XX 2021/3/10 ) 2 9 )sin(-)sin(-)sin(3-cos( )- 2 11 )cos( 2

15、)cos()cos(-sin(2 )cos( )3sin( )sin( ) 2 9 sin( cos sin sin cos cossinsin)cos( )sin)(sin)(cos)(sin( 原式原式 tan 24 讲解：XX 2021/3/10 )2cos()2sin( 2 5 sin 2 cos ) 1 ( 例例5、化、化简下列各题简下列各题: 2 3 cos 2 5 sin 4cos3sin 2 cos 2 sin 2 33 口诀口诀：奇变偶不变：奇变偶不变，符号看象限，符号看象限 25 讲解：XX 2021/3/10 ) 3 2 sin( 2 3 2 , 3 1 ) 6 cos(.1 ，则 课堂课堂 练习练习 的值是则在第四象限，) 2 3 sin(, 5 4 ) 2 cos(. 2 5 4 . 5 3 . 5 3 . 5 3 .DCBA 26 讲解：XX 2021/3/10 3.3.已知已知 , ,为第三象限角为第三象限角, , 求求 的值的值 3 1 )75cos( 0 )15sin()15cos( 00 课堂课堂 练习练习 的值 求 02020202 89sin88sin2sin1sin44. 27 讲